[中考]九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题.doc

九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题2一、解答题（共16小题）1、（2011随州）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由2、（2011苏州）巳知二次函数y=a（x26x+8）（a0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点（1）如图连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；（2）如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由3、（2011十堰）如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H（0，1）问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得SGHC=SGHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（2，0），F是OC的中点，连 接DF，P为线段BD上的一点，若EPF=BDF，求线段PE的长4、（2011深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点过点M 作MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由5、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由6、（2011铜仁地区）如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M已知点C的坐标是（4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQCM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得BAQ的面积是BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标7、（2011台州）已知抛物线y=a（xm）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线（1）如图1，求抛物线y=（x2）2+1的伴随直线的解析式（2）如图2，若抛物线y=a（xm）2+n（m0）的伴随直线是y=x3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式（3）如图3，若抛物线y=a（xm）2+n的伴随直线是y=2x+b（b0），且伴随四边形ABCD是矩形用含b的代数式表示m、n的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由8、（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由9、（2011武汉）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0），B（1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由10、（2011徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，2）（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由11、（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由12、（2011义乌市）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12） 两点，且对称轴为直线x=4设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N将PMN沿直线MN对折，得到P1MN在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒求S关于t的函数关系式（已经选用）13、（2011张家界）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB，（1）求该抛物线的解析式（2）求证：OAB是等腰直角三角形（3）将OAB绕点O按逆时针方向旋转135，得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由14、（2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由15、（2011岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上设矩形ABCD的周长为l求l的最大值II如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由16、（2011遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标答案与评分标准一、解答题（共16小题）1、（2011随州）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1x2的值（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状（4）根据题意可知y=1总与该圆相切解答：解：（1）直线y=kx+b过点F（0，1），b=1；（2）直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，可以得出：kx+b=x2，整理得：x2kx1=0，x1x2=4；（3）M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，FM12=FF12+M1F12=x12+4，FN12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22+8，FM12+FN12=M1N12，M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=1过M作MHNN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1x2）2+（y1y2）2，=（x1x2）2+（kx1+1）（kx2+1）2，=（x1x2）2+k2（x1x2）2，=（k2+1）（x1x2）2，=（k2+1）（16k2+16），=16（k2+1）2，MN=4（k2+1），分别取MN和M1N1的中点P，P1，PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2，PP1=MN即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半以MN为直径的圆与l相切点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置2、（2011苏州）巳知二次函数y=a（x26x+8）（a0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点（1）如图连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；（2）如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60得出AO，从而求出a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PCPB，从而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案解答：解：（1）令y=0，由a（x26x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a，点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3，OA=2，如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，由题意得：OA=OA=2，OA=2AM，OAM=60，OAC=OAC=60，即8a=2，a=；（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，如图，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，PB4，PC4，PCPB，又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），FG=3，GB=，3PB，PC4，PCPB，又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如图，点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，PA=PB，当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，a），点P的坐标是（3，t），PC2=32+（t8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，32+（t8a）2=（t+a）2，整理得：7a22ta+1=0有两个不相等的实数根a=，显然a=满足题意当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键3、（2011十堰）如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H（0，1）问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得SGHC=SGHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（2，0），F是OC的中点，连 接DF，P为线段BD上的一点，若EPF=BDF，求线段PE的长考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）分别从GHAC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得PBEFDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）解法一：假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=3时，AGH不存在当n3时，可得SGHA=+，SGHC=m，SGHC=SGHA，m+n+1=0，由，解得：或，点G在y轴的左侧，G（，）；当4n3时，可得SGHA=，SGHC=m，SGHC=SGHA，3mn1=0，由，解得：或，点G在y轴的左侧，G（1，4）存在点G（，）或G（1，4）解法二：如图，当GHAC时，点A，点C到GH的距离相等，SGHC=SGHA，可得AC的解析式为y=3x3，GHAC，得GH的解析式为y=3x1，G（1，4）；如图，当GH与AC不平行时，点A，C到直线GH的距离相等，直线GH过线段AC的中点M（，）直线GH的解析式为y=x1，G（，），存在点G（，）或G（1，4）（3）如图，E（2，0），D的横坐标为2，点D在抛物线上，D（2，3），F是OC中点，F（0，），直线DF的解析式为：y=x，则它与x轴交于点Q（2，0），则QB=QD，得QBD=QDB，BPE+EPF+FPD=DFP+PDF+FPD=180，EPF=PDF，BPE=DFP，PBEFDP，得：PBDP=，PB+DP=BD=，PB=，即P是BD的中点，连接DE，在RtDBE中，PE=BD=点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用4、（2011深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点过点M 作MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F（0，1），连接EF交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BDMN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x1）2+4，点B的坐标为（3，0）4a+4=0，a=1，此抛物线的解析式为：y=（x1）2+4=x2+2x+3；（2）存在抛物线的对称轴方程为：x=1，点E的横坐标为2，y=4+4+3=3，点E（2，3），设直线AE的解析式为：y=kx+b，直线AE的解析式为：y=x+1，点F（0，1），D（0，3），D与E关于x=1对称，作F关于x轴的对称点F（0，1），连接EF交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，设直线EF的解析式为：y=kx+b，解得：，直线EF的解析式为：y=2x1，当y=0时，2x1=0，得x=，即H（，0），当x=1时，y=1，G（1，1）；DF=2，FH=GH=，DG=，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+=2+2；（3）存在BD=3，设m（a，0），MNBD，即=，MN=（1+a），DM=，要使DNMBMD，需，即DM2=BDMN，可得：9+a2=3（1+a），解得：a=或a=3（舍去）当x=时，y=（1）2+4=存在，点T的坐标为（，）点评：此此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用5、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；（2）由直线AB经过点A（1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4）由S四边形EBFD=SBEF+SDEF即可求得；过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3），可得m22m2=，即可求得点P的坐标，又由过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3），可得n22n2=，求得点P的坐标，则可得使EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当t=时，EF的最大值为，点E的坐标为（，）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=（4）+（1）=；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3）则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用6、（2011铜仁地区）如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M已知点C的坐标是（4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQCM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得BAQ的面积是BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（2，2），故设其解析式为y=ax2+1，则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式，又由四边形OABC是平形四边形，则可求得点A与M的坐标；（2）作QHx轴，交x轴于点H，即可证得PQHCMO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x与t的关系式；（3）设ABQ的边AB上的高为h，可得SBCM=BMOM=2，则又由SABQ=2SBCM=ABh，即可求得点Q的坐标解答：解：（1）抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（2，2），故设其解析式为y=ax2+1，则有：2=（2）2a+1，得a=，此抛物线的解析式为：y=x2+1，四边形OABC是平形四边形，AB=OC=4，ABOC，又y轴是抛物线的对称轴，点A与B是抛物线上关于y轴的对称点，则MA=MB=2，即点A的横坐标是2，则其纵坐标y=22+1=2，即点A（2，2），故点M（0，2）（2）作QHx轴，交x轴于点H则QHP=MOC=90，PQCM，QPH=MCO，PQHCMO，即，而y=x2+1，（x2+1），t=x2+x2；（3）设ABQ的边AB上的高为h，SBCM=BMOM=2，SABQ=2SBCM=ABh=4，h=2，点Q的纵坐标为4，代入y=x2+1，得x=2，存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4），（2，4）点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用7、（2011台州）已知抛物线y=a（xm）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线（1）如图1，求抛物线y=（x2）2+1的伴随直线的解析式（2）如图2，若抛物线y=a（xm）2+n（m0）的伴随直线是y=x3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式（3）如图3，若抛物线y=a（xm）2+n的伴随直线是y=2x+b（b0），且伴随四边形ABCD是矩形用含b的代数式表示m、n的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）利用抛物线y=（x2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可；（2）首先得出点A的坐标为（0，3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；（3）由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，b），以及n=2m+b，即点B点的坐标为（m，2m+b），利用勾股定理求出；利用中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标解答：解：（1）由抛物线y=a（xm）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，抛物线y=（x2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），设所求直线解析式为y=kx+b，解得：，所求直线解析式为y=2x+5；（2）如图，作BEAC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，3），可得：AC=6，平行四边形ABCD的面积为12，SABC=6即SABC=ACBE=6，BE=2，m0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x3上，顶点B的坐标为（2，1），又抛物线经过点A（0，3），a=，y=（x2）21；（3）如图，作BFx轴于点F，由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，b），顶点B（m，n）在直线y=2x+b（b0）上，n=2m+b，即点B点的坐标为（m，2m+b），在矩形ABCD中，CO=BOb=，b2=m2+4m24mb+b2，m=b，n=2b+b=b，B点坐标为（m，n），即（b，b），BO=b，BD=b，当BD=BP，PF=bb=b，P点的坐标为（b，b）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握8、（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案解答：解：（1）当x=0时，y=3，当y=0时，x=1，A（1，0），B（0，3），C（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），3=a1（3），a=1，此抛物线的解析式为y=（x+1）（x3）=x2+2x+3；（2）存在抛物线的对称轴为：x=1，如图对称轴与x轴的交点即为Q1，OA=OQ1，BOAQ1，AB=Q1B，Q1（1，0）；当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），22+m2=12+（3m）2，m=1，Q2（1，1）；当Q3A=AB时，设Q3（1，n），22+n2=12+32，n=，Q3（1，），Q4（1，）符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，），Q4（1，）点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏解9、（2011武汉）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0），B（1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0），B（1，0）两点，代入解析式求出即可；（2）由（1）配方得y=（x+2）21，利用函数平移当抛物线经过点C时，当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出；（3）由点E、F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），得出m+n=kmn=3，利用作点E关于y轴的对称点R（m，m2），作直线FR交y轴于点P，由对称性知EFP=FPQ，此时PEF的内心在y轴上，求出即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0），B（1，0）两点，解得a=1，b=4，抛物线解析式为y=x2+4x+3；（2）由（1）配方得y=（x+2）21抛物线的顶点M（2，1），直线OD的解析式为y=x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移后的抛物线解析式为y=（xh）2+h，当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=，当x时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，得x2+（2h+2）x+h2+h9=0，=（2h+2）24（h2+h9）=0，解得h=4，此时抛物线y=（x4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意，综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或x；（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k0），点E、F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），由得x2kx3=0，m+n=kmn=3，作点E关于y轴的对称点R（m，m2），作直线FR交y轴于点P，由对称性知EFP=FPQ，此时PEF的内心在y轴上，点P即为所求的点由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（nm）x+mn记y=（nm）x3，当x=0时，y=3，p（0，3），y轴的负半轴上存在点P（0，3）使PEF的内心在y轴上点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握10、（2011徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，2）（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）将顶点坐标C（1，2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得PEF的面积解答：解（1）y=x2+bx+c的顶点为（1，2）y=（x1）22，y=x22x1；（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，由题意四边形ABCD是菱形，故直线PE必过菱形ABCD的对称中心M由P（0，1），M（1，0），得从而得y=x1，设E（x，x1）代入y=x22x1得x1=x22x1，解得x1=0，x2=3，根据题意得点（3，2）；（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x22x1），过点F做FGy轴，垂足为G点在RtPOM和RtFGP中，OMP+OPM=90，FPG+OPM=90，OMP=FPG，又POMP=PGF，POMFGPOM=1，OP=1，GP=GF，即1（x22x1）=x，解得x1=0，x2=1，根据题意得F（1，2）以上各步均可逆，故点F（1，2）即为所求，SPEF=SMFP+SMFE=2122=3点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题11、（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）AB是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x+4；设直线DC交x轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，直线DC的解析式为y=x+4，由y=x2x+4=（x+3）2+得顶点E的坐标为（3，），将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，右边=（3）+4=左边，抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用12、（2011义乌市）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12） 两点，且对称轴为直线x=4设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B