复变函数】第四章级数(工科.ppt

第四章 级数 目录 上页 下页 返回 结束 1 复数项级数 2 幂级数（复数项级数中最简单的级数） 3 泰勒级数 4 洛朗级数 目录 上页 下页 返回 结束 1 复数项级数 一. 复数项数列 1. 定义1.1: 设zn=an+bn (n=1,2,), 则称z1, z2, zn, 为复数项数列. 其中an , bn 是实数, 2. 定理1.1: 设z0= a+ib 第一次课 目录 上页 下页 返回 结束 【例1】下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 . 解:(1)由 收敛且 (2)由显然发散 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义1.2: (函数项级数的基本概念) 称为复数项级数 . (2). 如果 收敛于z0 , 否则称发散 . 二. 复数项级数 称为 的部分和. 设z1, z2,zn是复数项数列，则 则称此复数项级数 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定理1.2 (复数项级数的基本定理) 设zn=an + i bn , z0= a +i b, n=1,2, (3). 级数收敛的必要条件为 (1). (2). 目录 上页 下页 返回 结束 3. 绝对收敛与条件收敛 若 收敛，则称绝对收敛 . 若 发散，而收敛 .条件收敛 .则称 (1). 定义1.3 (2). 定理1.3 收敛收敛 若 收敛, 则收敛 . 反之不成立 . 级数收敛的一个充分条件 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证明定理1.3 若收敛, 则收敛 . Proof : 由 收敛, 及 所以 收敛, 故 收敛, 从而 收敛. 目录 上页 下页 返回 结束 【例2】判断下列级数的敛散性 (1) 原式=发散 , 因为 (2) 由比值判别法 级数收敛 , 所以原级数发散 . 所以原级数绝对收敛 . 目录 上页 下页 返回 结束 (3)发散 因为 收敛 所以原级数条件收敛 . 目录 上页 下页 返回 结束 2 幂级数（复变函数项级数中最简单的级数） 一 . 幂级数的概念 1. 定义2.1: 形如下列的级数称为幂级数 其中z 是复变量 zo, cn 是复常数 注：当zo=0时，幂级数为 目录 上页 下页 返回 结束 2. 幂级数在一点z0 的收敛性 和函数在收敛域中幂级数收敛于一个函数， (2). 收敛域收敛点的全体 该函数称为和函数. 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定理2.1: (Abel定理) 二 . 收敛半径与收敛圆盘 如果幂级数在z1收敛, 那么它在圆盘 |z| |z2|外发散 ； 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义2.2: (收敛圆和收敛半径的定义) 由Abel定理必存在一个正实数R， 当|z|R时发散 . 则: (1)称 R为收敛半径; (2)称|z|1时, 发散 当|z|R2时,没有公共部分,所以处处发散; 当R1R2时,在R1|z-z0|R2内收敛; 当R1=R2时,如收敛,则在圆周上收敛,需进一步讨论 . x y R1 R2 z0 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定理4.1: 设函数f(z)在圆环D:R1|z-z0|R2内解析, 则在圆环D内可唯一展开成洛朗级数 其中 C为圆环R1|z-z0|R2内任一闭域的正向, 注:一个很重要的用途:求积分 所以 目录 上页 下页 返回 结束 3. f(z)在z=z0处展开成洛朗级数的方法 假设 f(z)有三个奇点z1, z2, z3 , f(z)可在如下区域展开成z-z0的幂级数: 不管z0是否为奇点 泰勒展开式, 它为洛朗级数的一个特例) (如z0不为奇点, 此时为 目录 上页 下页 返回 结束 【例9】将 在1|z|2及1|z-1|+处展开 成洛朗级数. 解: (1)当1|z|2时, 有 , 于是 21x y 目录 上页 下页 返回 结束 解: (2) 在 1|z-1|+时, 有, 于是 21 x y 【例9】将 在1|z|2及1|z-1|+处展开 成洛朗级数. 目录 上页 下页 返回 结束 【例10】将 在0|z|+处展开成洛朗级数, 并求 (C为圆环域内任一条正向闭区域) 解:因为 在0|z|+内解析, 故可以展开 成洛朗级数 目录 上页 下页 返回 结束 【例11】求下列积分 解: z=0,-1,-4为奇点, 分为如下三个区域: 0|z|1,1|z|4, 4|z|+,由题意在1|z|4求值. 所以 41 x y 3 , 故 目录 上页 下页 返回 结束 解: z=0, 1为奇点, 分为如下两个区域: 10 x y 0|z|1, 1|z|+,由题意在1|z|+求值. 故 所以 课堂练习 目录 上页 下页 返回 结束 2. 证明:如果 存在()