(三)向量问题的一些思考.ppt

（三）向 量 南汇区教师进修学院 黄家礼 第一讲 中学向量教学的历史发展、基本内 容及教学定位 1.向量发展简史 关于向量的历史，可以追溯到公元 前350年前. 到19世纪末20世纪初，人们才把空 间的性质与向量运算联系起来，使向量 成为具有一套优良运算通性的数学体系 向量的形成与发展大体经历了四个阶段的转折 引入向量的定义和运算； l由向量的几何表示到坐标表示； l由三维向量拓展到n维向量空间； l计算机的问世使向量代数更添光彩. 2.向量进入中学教材 l我国在八十年代，向量进入中学教材. l九十年代，三维向量进入立体几何. l上海教材在部分专家的力挺之下，率先在九十年代 全面推行向量方法. l2004年，上海市中小学数学课程标准（试行稿 ）首次计划在初中引入向量， l2007年试验课本开始实施，这在国内开了一个先河. 向量进入中学在国外要更早一些 l美国在上世纪50年代就在中学引入向量（先在11年级 ，后在9年级） l英国由剑桥大学出版社出版的SMP教材（始于1961年） ，在初中教材中有“平移与向量”、“实用的向量” 、“向量几何”等章节. l法国初三教材（85年版）有“平移与向量”，初四（ 法国初中学制四年）有“向量相等、向量坐标、向量 加法”等内容. 向量进入中学在国外要更早一些 l德国巴伐利亚州92年版教材七年级有“平移 （位移矢）”八年级有“向量概念”等章 节. l俄罗斯课程标准（03年版） ，在初中有“向 量、向量的长、向量的运算、向量坐标、向 量在两个不共线方向上的分解、向量的数积 、几何中的坐标和向量方法、坐标法、向量 法”等内容. 齐民友教授说： 考虑到教育是国力的基础，如果我 国中学生的数学水平远远落后于世界平 均水平之下，则给我们带来的困难，将 会比我们现在努力改进，充实数学内容 ，提高教师准备程度等等遇到的困难， 大得无可比拟. 3.中学引入向量的意义 向量为什么受到如此厚爱呢？ 张奠宙教授说：说来简单，无非是向量“能 算”. 有了向量，使“点”可以运算，许多很费 事的几何问题，利用向量可以迎刃而解.利用向 量讨论直线与直线的垂直与平行、空间线面、 面面之间的位置关系，它能提供一个“一揽子 ”解决方案. 3.中学引入向量的意义 l向量还可以为拯救几何提供一个新的途径. l使中学、大学部分内容衔接更加紧密. l为理解“数形结合”提供了新的途径. l能够繁中求简，以简驭繁. l随着计算机技术的普及，课程改革的“与时 俱进”，向量还会有更大的空间. 4.中学向量基本内容 l中学向量基本内容可以概括为：初中931，高 中三大块. l初中931：即9个基本概念，3个运算，1个定 理. l高中三大块：即向量的数量积，向量的坐标 表示，空间向量及应用（理科拓展）. 初中向量基本内容 l（1）9个基本概念 l有向线段、向量、相等向量、相反向量、平 行向量、零向量、单位向量、向量的线性运 算、向量的线性组合. 初中向量基本内容 l（2）3个运算 l向量的加法，向量的减法，实数与向量相乘. l其中向量加法和减法运算包括4个法则 l向量加法和数乘运算中的5个运算律 l（3）1个定理 l平行向量定理 如果向量 与非零向量 平 行，那么存在唯一的实数m，使 =m . 高中向量基本内容 l高中部分（三大块） l第一块：向量的数量积 l第二块：向量的坐标表示 l第三块： 空间向量及应用（理科拓展） 5.向量知识结构 6.初中向量内容安排 7.教学定位 （1）拓展数学观念； （2）落实基本要求； 达到“三会”：会解释概念； 会画图表示； 会化简算式. （3）打下应用基础. 课程标准三级认知水平目标： l记忆水平（水平1）; l解释性理解水平（水平2）; l探究性理解水平（水平3）. 属于记忆水平的（水平1） : l知道向量的概念、要素及表述；知道零向量的意义 及特点；知道向量减法是向量加法的逆运算；知道 向量加法的交换律、结合律；知道实数与向量相乘 的运算律；知道向量分解的含义；知道一个非零向 量与同方向单位向量之间的联系；知道一个向量的 线性组合等. l记忆水平特征:能识别、再认、再现；能作简 单套用、能按照示例模仿. 属于解释性理解水平的（水平2） l理解有向线段、相等向量、相反向量、平行向量、 单位向量、实数与向量相乘的意义.（会解释概念 ） l初步掌握向量加法的三角形法则、多边形法则、向 量减法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则 ； 会用作图方法求两个向量的和向量、差向量；对 于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它 们相乘所得的向量.（会画图表示） l初步掌握向量的线性运算，会利用向量的线性运算 及其运算律对向量算式进行计算、化简.(会化简算 式) 解释性理解水平的特征： 明了知识的来龙去脉，领会知识的本质 ，能用自己的语言或转换方式正确表述知识 内容；在一定的变式情境中能区分知识的本 质属性和非本质属性，会把简单变式转换为 标准式，并解决有关问题. 在初中向量不作探究性理解水平（水平3） 要求 l教学时要严格控制难度，一般不推广、不拓 展、不深化.例如，对向量加法、数乘向量的 运算律，不要求进行论证.课本介绍了利用数 乘向量证明三角形的中位线定理，这里仅仅 是一种学习欣赏，不作一般要求. 第二讲 初中向量具体内容剖析 l（一）向量的有关概念 1.有向线段与向量 l有向线段是规定了方向的线段. l向量是既有大小又有方向的量（也叫矢量）. l有向线段有三个要素：起点，方向，长度（大小 ）. l向量有两个要素：大小，方向. 2.相等向量 l相等向量是指方向相同且长度也 相等的向量. l由于表示向量的有向线段只考虑大小（长度）与方 向，与起点无关，因此，有可能是不同的线段，它 们表示的是相等的向量.如图，在平行四边形ABCD 中，有 等. A B C D 3.相反向量 l方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相 反的向量(高中叫负向量) . l向量 的相反向量用- 表示. l +(- )= l注意,只有方向相反而长度不相等的向量不是 相反向量. 4.平行向量 l平行向量是指方向相同或相反的向量,也叫共线 向量.即两个向量平行或两个向量共线意义相同 . l从几何图形上看，任意一组平行向量都可以平 移到同一直线上. l若 是一个非零向量， =m ，则 . 这里m为全体实数，当m为0时， = ，因此 规定零向量平行于任一向量. 5.零向量 l长度为0的向量叫做零向量，记作 .零向量的方向 是任意的. l关于零向量 及任意向量 ，有 l ； . l关于零向量，还有如下规定（注意是规定）： l 所有零向量都相等. l 零向量与任一向量平行. l 零向量的相反向量仍是零向量. 6.单位向量 长度为1的向量叫做单位向量. l单位向量有无数个.不同的单位向量，是 指它们的方向不同. l对任意非零向量 ，与它同方向的单位 向量记作 ，且. （二）向量的线性运算 1.向量的加法 l求两个向量的和向量的运算叫做向量的加 法. l当两个向量不平行时，运用向量加法的三 角形法则或平行四边形法则. l当两个向量平行时，可以平移到一条直线 上采用“首尾相接”进行. 向量加法的三角形法则: l如图， ， l则 就是向量 l 的和向量 A B C 向量加法的平行四边形法则: 如图，有平行四边形 ABCD, ，则对角 线 就是向量 的和 向量 . 向量加法的多边形法则: l如图，有多边形 则向量 就是向量 ，的和向量: . . 2.向量的减法 l已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个 向量的运算叫做向量的减法. l向量减法是向量加法的逆运算. l减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 向量减法的三角形法则： l如图，若 ， 则 就是向量 的差向 量 . l向量减法的三角形法则 要特别注意差向量的方向， 其箭头是指向被减向量. 3.实数与向量相乘 l若k是实数， 是向量，则k 与 的积仍是一 个向量,记作k . l当k0时，k 与 同向； l当k0时，k 与 方向相反； l当k=0时，k = ，k 的方向任意. 关于实数与向量的积，要注意如下两点: l（1）要把握向量k 的两个要素：k 的大小 和方向； l（2）要牢记实数与向量积的运算律. l其中分配律有两个: l对实数加法的： . l对向量加法的： . （三）对教材中部分内容的把握与处理 l教材采用过程模式呈现内容，设置了“问题” 、“思考”、“想一想”、“议一议”等栏目. 这些栏目往往是问题的关键点， 相关知识的连接点， 新知识的生长点. 因此准确理解和正确处理这些内容是教学设计 的一个关键. 第二讲 初中向量具体内容剖析 l例如，在引入实数与向量相乘运算部分，教材 设置了如下“思考”： l思考：几个相同向量相加，是否能像几个相同 的数相加一样，把它表示为乘法运算的形式？ l这个“思考”，至少有两个作用： l 1.是一个切入点，认知的起点; l 2.激发认知冲突. l数的情况是这样,那么向量呢?它引导学生在一 个已有的思维模式下去思考新的问题. 关于实数与向量相乘,可有两种引入方式: l方式一:从n个相同的数连加切入;(代数方法) l方式二:从向量的放缩切入. (几何方法) l两种方式各有利弊.前者通过数的运算类比联想和归纳, 有较好的认知基础,容易纳入学生已有的知识结构.但从 正整数到实数有一个较大的跨越.后者数形结合,简明直 观,通过向量放缩前后之间的联系,得出放缩前后向量之 间的“倍数”关系，直接得出实数与向量的积.但却淡 化了“向量”与“数”的联系. 教材选择了第一种处理方式. l它通过“思考”这个切入点，得出正整数与向 量的积（ + + =3 ）和负整数与向量的积（ （- ）+（- ）+（- ）=-3 ），进而是有 理数与向量的积（如图： ），最后引出实数与向 量的积.以一个“低起点、小步子”的方式实现 了“跨越”. 各栏目具体介绍如下： l“问题”： 一般是具体的问题. l“思考”： 一般是为了叙述一段内容而提出的一般问 题. l“操作”： 按照一定的程序和技术要求进行活动，教 材在向量部分主要是作图. l“想一想”：一般是一个问题讨论后的拓展或延伸. l“议一议”：一般是对一个问题的变式进行讨论. l“页边说明”：一般是一个问题辅助性的解释，是必 读内容. 2.把握例题特征，重视“作图”、“识图” 训练 第三讲 典型课例剖析 课例：22.8平面向量的加法（1） l1.教材分析 l（1）围绕基本目标-建立向量运算体系 l这节课有如下基本内容： l向量加法的意义； l向量加法的三角形法则； l零向量及特性； l向量加法的交换律、结合律. 建立向量的运算体系是中学向量教学的重 要任务，也是中学向量教学的重要目的. l项武义教授说：“向量代数是空间结构全面而 且美妙的代数，而其运算律则是空间本质的一 种至精至简的表达”. l建立向量的运算体系，为向量的应用打下了基 础. （2）以过程模式呈现内容引导教学 l教材以过程模式的呈现方式，为这节课内容设计了 两个“问题”、一个“想一想”、两道“例题”. l上述栏目及例题的设计构成这节课的四个环节： l（1）向量加法的意义（问题1）； l（2）怎样求两个向量的和（问题2，引出向量加法 的三角形法则）？ l（3）引入零向量（零元）及特性（想一想）； l（4）法则的应用及运算律探讨（例1、例2）. （3）例题突出主干一箭双雕 两个例题都有一个“运用巩固”新知识（向 量加法的三角形法则）的功能，也有一个“ 探究归纳”新知识（向量加法的交换律、结 合律）的功能 这种设计体现了教材编写“充分反映内容本 质，注重通性通法，切实加强数学主干，落 实基本要求”的原则. 2.确定教学目标及教学重难点 l本节课教学目标应包含如下基本内容: l（1）经历引进向量加法的过程，初步掌握向 量加法的三角形法则，会用作图的方法求两个 向量的和向量. l（2）知道零向量的意义以及零向量的特性. l（3）通过作图归纳出向量加法的交换律和结 合律. 2.确定教学目标及教学重难点 l重点是那些贯穿全局、带动全面、应用广泛 、对学生认知结构起核心作用、在进一步学 习中起基础作用和纽带作用的内容. l难点是学生接受起来比较困难的知识点. l就这节课的内容而言，向量加法的三角形法 则是整个向量运算的基础，因此这一法则及 应用应该是本节课的一个教学重点.两个数相 加学生容易理解，但具有方向和大小的两个 向量怎么相加，是难以理解的，因此向量加 法的意义（两个向量的合成）是本节课的一 个难点. 3.教学方案设计 （1）确定课的类型 这是一节新授课. （2）选择教学模式 l常用教学模式有：讲练结合模式、自主探究模式、 引导发现模式、合作交流模式等.模式的选择一般根 据教学目标、教学内容、学生情况、教师特点来确 定. l一节课可以选择一种模式，也可以选择多种模式.因 为没有一种万能的数学教学模式，没有一种模式可 以适用各种情况.也没有一种模式是最好的.因此模 式的选择应综合各种因素来确定.根据本节课内容， 可能选择讲练结合（如向量加法的三角形法则及应 用）和引导发现 (如运算律的探究) 模式较适宜. （3）教学过程设计 l首先要强调教学过程的内在逻辑线索. 本节课的知识结构如下： l l从知识的内在逻辑联系看，本节课内容若采 取方案一：(教材的顺序)或 方案二：都应是可以的. 以“问题串”方式展示过程. 好问题有两个标准： 有意义；在学生最近发展区内. “有意义”，就是所提的问题能反映所 学内容的本质；“在最近发展区内”的问题 才能形成认知冲突、激发求知欲、激活思维 ，才能使学生的心理保持积极的、适度的求 知倾向. （3）教学过程设计 l下面是一位老师为这节课设计的问题序列，他采用 的是方案一的顺序. 教学环 节 问题序列 设计目的及要达到 的要求 引入 1.数量可以向加， 向量也可以向加吗 ？ 提出问题 2.两个向量相加的 意义是什么？（问 题1） 从实际问题引入， 通过画图操作直观 认识两个“位置移 动”的合成，得出 向量加法的意义. （3）教学过程设计 3.怎么相加？（问题 2） 两种情况：1.两向量 不平行；2.两向量平 行 4.在两向量不平行时 ，有两种情形：“首 尾相接”和“首尾不 相接”，若首尾不相 接呢？ 通过位置移动，变成 “首尾相接”，利用 “三角形法则”. 探究5. 在两向量平行时 ，和向量怎么确定？ 在一条直线上“首尾 相接”.两种情况： 1.方向相同；2.方向 相反. 6.怎样求互为相反向 量的和？(想一想) 引出零向量. （3）教学过程设计 探究 7.零向量有哪些特 性？ 8.怎么作两个向量 的和向量？（例题 1） 1.三角形法则的应用； 2.引出向量加法的交换 律 应用 9. 怎么作三个向 量的和向量？（例 题2） 1.三角形法则的应用； 2.引出向量加法的结合 律. 上述“问题串” 能让知识的发生发展原过程（再创造过程 ）与学生数学认知过程能达到较好统一. 第三，优化细节 细节决定成败.上面的讨论基本确定了这节课 的主题结构，但还有许多细节需要进一步优化. 比如：如何渗透数学思想方法？这节课包含多 种思想方法： 如：实数可以相加，向量也可以相加吗（与实 数类比）？将零向量 与数0类比，有类似特性 （ 与0类比）.这是类比的思想. 第三，优化细节 l又如： l + l这是分类讨论的思想. 第三，优化细节 l还如：问题的解决，画图操作理解两次“ 位置移动”的合成；例题、例题，作图 归纳向量加法的结合律、交换律等这体现 了数形结合思想. l再如练习题的处理，这节课的练习22.8（1） 第2题是有一定难度的，怎么处理？作适当的 铺垫？提示？还是补充一个类似例题？这都 是要根据学生情况作细致考虑的. 第四讲 初中向量知识拓展 向量方法证几何问题 l八年级第二学期新教材第22章末安排有阅读材 料：用向量方法证明几何问题. l在教参的对应部分，有“建议”：“在基 础较好的班级，可选用材料中的例题或另编类 似的例题，组织课堂教学.还可以参照本材料 ，编选活动资料，组织学有余力的学生进行探 究性学习.在九年级完成了向量的线性运算教学 以后，可进一步充实材料，组织学习活动.” 向量方法证几何问题 理论依据 l基本工具主要有如下几条： l（1）向量的线性运算及运算法则； l（2）两个基本定理： l平行向量定理、平面向量基本（或分解）定理 . 向量方法证几何问题 l例1 证明三角形中位线定理 l说明 三角形中位线定理九年级第一学期教材 （P45页）给出过一个证明，下面是它的另一 个证法. 向量方法证几何问题 证明 如图，D、E分别为ABC两边AB、AC的 中