东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(文)含解析.docVIP

2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|1x3，集合B=x|，则AB=（）A（1，2）B（1，2）C（1，3）D（1，3）2的虚部为（）A2B2C2iD2i3已知向量=（2，1），=（0，1），则|+2|=（）A2BC2D44一组数据分别为12，16，20，23，20，15，28，23，则这组数据的中位数是（）A19B20C21.5D235已知函数，则f（f（1）=（）A2B0C4D66已知，则tan=（）A1B0CD17执行如图的程序框图，则输出的S=（）A21B34C55D898在ABC中，A=75，B=45，则ABC的外接圆面积为（）ABC2D49如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥PA1B1A的左视图可能为（）ABCD10将函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最小值为（）A0B1CD11已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）ABCD212已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间0，+）上是增函数，若，则f（x）的取值范围是（）A（0，）B（0，e）C（，e）D（e，+）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为14F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则|+|15设集合S，T满足ST且S，若S满足下面的条件：（）a，bS，都有abS且abS；（）rS，nT，都有rnS则称S是T的一个理想，记作ST现给出下列3对集合：S=0，T=R；S=偶数，T=Z；S=R，T=C，其中满足ST的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）16已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列bn是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列|an|的前n项和Tn18为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者（18名女志愿者中有6人喜欢运动）（）如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；（）如果从喜欢运动的6名女志愿者中（其中恰有4人懂得医疗救护），任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？19如图（1），在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为EC中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点（）求证：MN平面ADFE；（）求四棱锥MEFDA的体积20曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点（）求动点C的轨迹f（x）的方程；（）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnxx（I）判断函数f（x）的单调性；（II）函数有两个零点x1，x2，且x1x2求证：x1+x21请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-1：几何证明选讲22已知四边形ABCD为O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M过点B作O的切线交DC的延长线于点P（1）求证：ABMD=ADBM；（2）若CPMD=CBBM，求证：AB=BC选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2+32sin2=12，且曲线C的左焦点F在直线l上（）若直线l与曲线C交于A、B两点求|FA|FB|的值；（）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值选修4-5：不等式选讲24已知x0R使得关于x的不等式|x1|x2|t成立（）求满足条件的实数t集合T；（）若m1，n1，且对于tT，不等式log3mlog3nt恒成立，试求m+n的最小值2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|1x3，集合B=x|，则AB=（）A（1，2）B（1，2）C（1，3）D（1，3）【考点】交集及其运算【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A与B的交集即可【解答】解：集合A=x|1x3=（1，3），集合B=x|=（1，2），则AB=（1，2），故选：B2的虚部为（）A2B2C2iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部【解答】解： =1+2i，故虚部是2，故选：A3已知向量=（2，1），=（0，1），则|+2|=（）A2BC2D4【考点】向量的模【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可【解答】解：向量=（2，1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=故选：B4一组数据分别为12，16，20，23，20，15，28，23，则这组数据的中位数是（）A19B20C21.5D23【考点】众数、中位数、平均数【分析】把这组数据按从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均值即可【解答】解：把该组数据按从小到大的顺序排列，如下；12，15，16，20，20，23，23，28，排在中间的两个数是20，20，所以这组数据的中位数为=20故选：B5已知函数，则f（f（1）=（）A2B0C4D6【考点】分段函数的应用；函数的值【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值即可【解答】解：函数，则f（f（1）=f（24）=f（2）4故选：C6已知，则tan=（）A1B0CD1【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用【分析】利用两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知可得cos=sin，利用同角三角函数基本关系式即可计算求值tan【解答】解：，cossin=cossin，cos=sin，tan=1故选：A7执行如图的程序框图，则输出的S=（）A21B34C55D89【考点】程序框图【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，Q=1，i=3满足条件i10，F=2，Q=1，S=2，i=4满足条件i10，F=3，Q=2，S=3，i=5满足条件i10，F=5，Q=3，S=5，i=6满足条件i10，F=8，Q=5，S=8，i=7满足条件i10，F=13，Q=8，S=13，i=8满足条件i10，F=21，Q=13，S=21，i=9满足条件i10，F=34，Q=21，S=34，i=10满足条件i10，F=55，Q=34，S=55，i=11不满足条件i10，退出循环，输出S的值为55故选：C8在ABC中，A=75，B=45，则ABC的外接圆面积为（）ABC2D4【考点】正弦定理【分析】由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积【解答】解：在ABC中，A=75，B=45，C=180AB=60，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R=，解得R=1，故ABC的外接圆面积S=R2=，故选：C9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥PA1B1A的左视图可能为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥PA1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D故选D10将函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最小值为（）A0B1CD【考点】正弦函数的图象【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到y=sin2（x）+）=sin（2x+）的图象，图象关于y轴对称，由诱导公式和偶函数可得=k+，解得=k+，kZ，由|可得当k=1时=，故f（x）=sin（2x），由x0，可得2x，当2x=即x=0时，函数f（x）在0，上取最小值sin（）=，故选：D11已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=b=，由题意可得=b，即a=b，c=a，即离心率e=，故选C12已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间0，+）上是增函数，若，则f（x）的取值范围是（）A（0，）B（0，e）C（，e）D（e，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由奇函数的性质和条件判断f（x）在R上的单调性，由奇函数的定义和单调性化简不等式，利用对数函数的性质求出x的范围，即可得答案【解答】解：f（x）是在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f（x）在区间（，+）上是增函数，可化为：，即|f（lnx）|f（1），f（1）f（lnx）f（1），f（1）f（lnx）f（1），则1lnx1，即lnlnxlne，解得xe，不等式的解集是（，e），故选：C二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+0=4即z=2x+y的最大值为4故答案为：414F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则|+|6【考点】椭圆的简单性质【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有|+|=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：615设集合S，T满足ST且S，若S满足下面的条件：（）a，bS，都有abS且abS；（）rS，nT，都有rnS则称S是T的一个理想，记作ST现给出下列3对集合：S=0，T=R；S=偶数，T=Z；S=R，T=C，其中满足ST的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）【考点】元素与集合关系的判断【分析】：a=b=0S，满足ST：a，bS，都有ab，ab为偶数；rS，nT，都有rn为偶数，满足ST：rS，nT，可能rn为虚数，因此rnS则S不是T的一个理想【解答】解：a，bS，都有ab=00=0S且00=0S；r=0S，nT，都有rn=0S则S是T的一个理想，即ST：a，bS，都有ab，ab为偶数，因此abS且abS；rS，nT，都有rn为偶数，因此rnS则S是T的一个理想，即ST：a，bS，都有ab，ab实数，因此abS且abS；rS，nT，可能rn为虚数，因此rnS则S不是T的一个理想其中满足ST的集合对的序号是 故答案为：16已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设底面边长为a，用a表示出棱柱的高，得出体积关于a的函数，利用导数求出此函数的最大值【解答】解：过球心O作OD平面ABC，则D为正三角形的中心，连结OA，则OA=1设三棱柱的底面边长为a，则AD=（0）OD=棱柱的高DD=2OD=2棱柱的体积V=SABCDD=令f（a）=3a4a6则f（a）=12a36a5=6a3（2a2），令f（a）=0得a=或a=0（舍）或a=（舍）当0a时，f（a）0，当时，f（a）0当a=时，f（a）取得最大值f（）=4，当a=时，V=取得最大值1故答案为1三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列bn是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列|an|的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（ I）通过令等差数列an的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得an=112n；通过令数列bn的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，分n5与n6两种情况讨论即可【解答】解：（ I）令等差数列an的公差为d，S4=4（a3+1），3a3=5a4，解得，则an=112n；令数列bn的公比为q，b1b2=b3，2b1=a5，解得，则；（2）通过（I）知，于是18为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者（18名女志愿者中有6人喜欢运动）（）如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；（）如果从喜欢运动的6名女志愿者中（其中恰有4人懂得医疗救护），任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【分析】（I）用分层抽样的方法，求出每个志愿者被抽中的概率，由此能求出女志愿者被选中人数（II）喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，由此利用列举法能求出抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是，女志愿者被选中有（人）（II）喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率P（A）=19如图（1），在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为EC中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点（）求证：MN平面ADFE；（）求四棱锥MEFDA的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（I）连接ED，由中位线性质得MNED，故MN平面EFDA；（II）由平面EFCB平面EFDA可知CF平面EFDA，由M为EC中点得棱锥MEFDA的高为CF的一半【解答】证明：（）连接ED，M，N分别是EC，CD的中点，MNED，又MN平面EFDA，ED平面EFDAMN平面EFDA（）平面EFDA平面EFCB，平面EFDA平面EFCB=EF，CFEF，CF平面EFCB，CF平面EFDA，M是EC的中点，M到平面EFDA的距离h=CF=VMEFDA=220曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点（）求动点C的轨迹f（x）的方程；（）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；（）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N的切线方程，知x1，x2是方程的两根，进一步求得P的坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积【解答】解：（）设C（x，y），A（m，n），则，又，所求方程为x2=4y；（）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，联立，得x24kx4=0，则，切线PM的方程为，点P（x0，y0）代入化简得同理得，知x1，x2是方程的两根，则x1x2=4y0=4y0=1，代入圆方程得x0=0，存在点P（0，1）此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：S=121已知函数f（x）=lnxx（I）判断函数f（x）的单调性；（II）函数有两个零点x1，x2，且x1x2求证：x1+x21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出x1，x2，令t=，得到0t1，构造函数，根据函数的单调性求出h（t）h（1），从而证出结论【解答】解：（I）因为函数f（x）的定义域为（0，+），令，得0x1令，得x1所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+）（II）证明：根据题意，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，两式相减，可得，即，故，那么，令，其中0t1，则构造函数，则因为0t1，所以h（t）0恒成立，故h（t）h（1），即，可知，故x1+x21请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-1：几何证明选讲22已知四边形ABCD为O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M过点B作O的切线交DC的延长线于点P（1）求证：ABMD=ADBM；（2）若CPMD=CBBM，求证：AB=BC【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明PBC=BCA，利用PBC=BAC，证明BAC=BCA，即可得出结论【解答】证明：（1）由BC=CD可知，BAC=DAC，由角分线定理可知， =，即ABMD=ADBM得证（2）由CPMD=CBBM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PBAC所以