(新课程)高中数学1.1.3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件新人教A版选修.ppt

1.1.3分类计数原理 与分步计数原理（三） 一、复习回顾: 两个计数原理的内容是什么? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 有哪些技巧? 练习： 三个比赛项目，六人报名参加。 ）每人参加一项有多少种不同的方法？ ）每项人，且每人至多参加一项，有多 少种不同的方法？ ）每项人，每人参加的项数不限，有多 少种不同的方法？ 例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数 字不允许重复的四位数? 一、排数字问题 1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个 方格里,每格填一个数字,则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_种 引申: 号方格里可填，三个数字，有种填 法。号方格填好后，再填与号方格内数字相 同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只 有种填法。 所以共有3*3*1=9种不同的方法。 二、映射个数问题: 例2 设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从A到B共有多 少种不同的映射? 三、染色问题: 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色. (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n (1) (2) 、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。 、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？ 若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种 等。 思考： .如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 AB C D 分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A 与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两 不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色 ，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。 解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5432120种方法。 根据分类计数原理，共有120+60180种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种 方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理，共有54360种方法。 、某城市在中心广场建造一个花圃 ，花圃分为6个部分（如右图）现要 栽种4种不同颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的 花，不同的栽种方法有_种. （以数字作答） （1）与同色，则也同色或也同色，所以共有 N1=43221=48种； 所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与同色，则或同色，所以共有 N2=43221=48种； （3）与且与同色，则共N3=4321=24种 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 6、将种作物种植在如图所示的块试验 田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）42 5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白 、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种 颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可 反复使用，那么共有多少种涂色方法？ 四、子集问题 规律：n元集合 的不 同子集有个 。 例：集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空子 集个数为 ，非空真子集个数为 。 五、综合问题: 例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的 数字,则方程所表示的不同的直线共有多 少条? 、75600有多少个正约数?有多少个奇约 数? 解:由于 75600=2433527 (1)75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , , 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5432=120个. 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。 3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条？ 4、如果把两条异面直线看成“一对”，那 么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直 线共有（ ）对 A.12 B.24 C.36 D.48 B 5.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙 地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4 条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。 从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 甲地乙地 丙地 丁地 解:从总体上看,由甲到丙有