二0一一年全国高中数学联合竞赛一试试题.doc

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膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄膇蒆袇蝿膆蕿虿肈膆芈袅羄芅莁蚈袀芄蒃袃螆芃薅蚆膅节莅葿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿袅莅蒈薂膄莄薀袇肀莄蚃蚀羆莃莂袆袂罿蒅虿螈肈薇袄肆肈芆蚇羂肇荿袂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃肄莃螃聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀肆膀蒂薃肂腿蚄袈 二0一一年全国高中数学联合竞赛一试试题考试时间：2011年10月16日 8：009：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上1设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 2函数的值域为 3设为正实数，则 4如果，那么的取值范围是 5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）6在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为 7直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 8已知C，则数列中整数项的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本小题满分16分）设函数，实数满足，求的值10（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小yxOPAB11（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积二0一一年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上1设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 2函数的值域为 3设为正实数，则 4如果，那么的取值范围是 5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）6在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为 7直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 8已知C，则数列中整数项的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本小题满分16分）设函数，实数满足，求的值10（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小yxOPAB11（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积二0一一年全国高中数学联合竞赛加试试题考试时间：2011年10月16日 9：4012：10一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证明：ABCDQP二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有三、（本题满分50分）设是给定的正实数，对任意正实数，满足的三元数组的个数记为证明：四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求A中“坏格”个数的最大值二0一一年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有三、（本题满分50分）设是给定的正实数，对任意正实数，满足的三元数组的个数记为证明：四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求A中“坏格”个数的最大值 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