高一数学圆的标准方程(1).ppt

4.1.1 圆的标准方程 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 复习引入复习引入 A M r x O y 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径 x O y A(a,b) M r (x, y) 引入新课引入新课 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐 标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心A (a,b) 的距离 一、引入新课 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点定长圆心半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法 来表示这个集合吗？ 符合上述条件的圆的集合： 圆的方程圆的方程 x O y A(a,b) M r (x, y) 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示？ 圆的方程圆的方程 根据两点间距离公式 ： 则点M、A间的距离为： 即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的标准方程圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）. 特殊位置的圆方程特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x0，y0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得 ： 整理得： 圆的标准方程 x y O C M(x,y) 圆心C(a,b),半径r 若圆心为O（0，0），则圆的方程为： 圆的标准方 程 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 ， 是否在这 个圆上 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准 方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 典型例题典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不 在这个圆上 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 ， 是否在这 个圆上 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准 方程是： 典型例题典型例题 A x y o M1 M2 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 A x y o M1 M3 M2 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程 成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆 上 如果设点M到圆心的距离为d,则 可以看到： 点在圆上 d =r ； 点在圆外 d r ； 点在圆内 d r 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)， C(2, 8)，求它的外接圆的方程 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆 解：设所求圆的方程是 （1） 因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐 标都满足方程（1）于是 典型例题典型例题 所以， 的外接圆的方程 典型例题典型例题 解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆 解 ： 例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)， C(2, 8)，求它的外接圆的方程 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C 在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，由于圆心C与A, B 两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又 圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长 等于|CA|或|CB| 解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标 直线AB的斜率: 典型例题典型例题 因此线段AB的垂直平分线 的方程是 即 圆心C的坐标是方程组 的解 典型例题典型例题 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C 在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 解： 所以圆心C的坐标是 圆心为C的圆的半径长 所以，圆心为C的圆的标准方程是 典型例题典型例题 解此方程组，得 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C 在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程 解： 知识小结知识小结 圆的基本要素 圆的标准方程 圆心在