工程力学37-d20b(例题).ppt

工程力学（C ） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 37)( 37) （下册下册 ） 20 动量原理 20.5 动量矩 20.5.1.质点的动量矩 质点的动量对某点之矩(20.17) 若在点O建立直角坐标系Oxyz，则 x，y，z为质点的坐标， ， ， 分别为质点的速度 在x，y，z轴上的投影 。 x y z m O (20.18) （类比于力对点之矩、力对轴之矩） x y z m O 其中，质点动量对x，y，z轴之矩分别为： (20.18) (20.19) 质点动量对任意 l 轴之矩： 其中O为l 轴上任意一点。 (20.20) l 轴 显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点 对轴的动量矩是一个代数量。 当质点作平面运动时，动量对平面内 某点O之矩或对Oz轴之矩均为： O h m （20.21 ） 符号规定：为正，为负 20.5.2. 质点系的动量矩 设质点系中质点 相对于某一固定点O的矢径为 ， 动量为 。 x y z O (20.22) 质点系对某固定点O的动量矩 为： 1.质点系对固定点、固定轴固定点、固定轴的动量矩 质点系对某一固定轴 l 的动量矩 为： (20.23) x y z O l 轴 （20.24 ） 同理，质点系平面运动时，质点系动量 对平面内某点O之矩或对Oz轴之矩均为 ： O h m 符号规定：为正，为负 2. 质点系对动点动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为 。 固连于动点A建立平移直角坐标系 ， (20.25) (20.26)x y z A A O x y z 将质点系中各质点的绝对动量 对动 点A的矩的矢量和定义为质点系对动点质点系对动点 A A的绝对动量矩的绝对动量矩，用 表示，即： 质点系中质点 相对速度 绝对速度 相对矢径 绝对矢径 将质点系中各质点的相对动量 对动点A的矩的矢 量和定义为质点系对动点质点系对动点A A的相对动量矩的相对动量矩，用 表示 ，即： (20.27) x y z A A O x y z 质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系： 将式(20.25)代入式(20.26): x y z A A O x y z (20.28) 由质点系质心C相对于动点A 的矢径公式 可得： 故质点系对动点的绝对动量 矩和相对动量矩的关系为： 其中 为质点系质心C在动系中的 相对坐标， 为动点的绝对速度。 (20.29) 若取动点A为质点系的质心C时，故 ： (20.30) 质点系对质心的动量矩质点系对质心的动量矩，无论是在固定坐标系无论是在固定坐标系 还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。 故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为： （20.31） 注意 质点系对某点的动量矩不等 于质点系动量对该点之矩！ 即 （见书上例22.4） 3.对惯性系中不同的A，O两点的动量矩之间关系 类比于力对不同两点的力矩之间的关系， 力对A，O两点之矩关系为 A OO 20.5.3 刚体的动量矩 1. 平移刚体的动量矩 当刚体作平移时，建立质心平移坐标 系，各质点的相对速度 ，故 (20.32) 平移刚体对任意固定点A的动量矩为： (20.33) 平移刚体对任意确定点A的动量矩等于将平移刚体 的质量视为全部集中在质心C上时对点A的动量矩。 O x y z x y z C A 当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一 点的动量矩可视为代数量 。 h 2. 定轴转动刚体的动量矩 O 在转轴上任取一点O， 建立惯性参考空间中的直角坐标系Oxyz， 使z轴与转轴重合， 则定轴转动刚体的角速度为 设质量为 的微元，相对于点O的矢径为 ， 在直角坐标系Oxyz中的坐标为 ， 其速度为 定轴转动刚体对定点O的动量矩为 (20.34) (20.34) 故，定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量 一般不沿转轴的方向一般不沿转轴的方向。 O 特别，当转轴当转轴 z z 轴为刚体的惯量主轴时轴为刚体的惯量主轴时，有 动量矩矢量沿转轴方向动量矩矢量沿转轴方向 也可用代数量表示： 与 转向相同 (20.35) 例如，刚体作平面定轴转动，转轴 垂直于刚体的质量对称面时。 3. 一般平面运动刚体的动量矩 建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质 心平移坐标系 ， (20.36) C O z x y z x y 使三对坐标轴分别平行，且使 ， 轴垂直于刚体的运动平面，则一般平面 运动刚体相对该平移坐标系为绕 轴 的定轴转动： 若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面， 则 轴为刚体对点C的惯量主轴，即 ， 上式变为 (20.37) 式中 为一般平面运动刚体对 的转动惯量。 (20.38) 也可视为代数量 C O z x y z x y (20.37) 若对该刚体运动平面上的任意 固定点A，则有： 对任意固定点A，则有： h A (20.40) (20.39) 例 题 20-6 2020 动量原理动量原理 例题 O r BM m 求系统对转轴O点的动量矩。 解 ： 轮O定轴转动，块B平动， （负号表示转向为） 例 题 20-7 2020 动量原理动量原理 例题 A C r m 均质圆柱，半径为r，质量为m，绕有细绳 ，A端固定，圆柱质心C以速度vC向下运动 ，求圆柱对质心C及定点A的动量矩。 解 ： 圆柱作一般平面运动 （） 若建立质心平移坐标系，则轮子的相对 运动为绕质心的定轴转动 （负号表 示） 例 题 20-8 2020 动量原理动量原理 例题 圆盘O半径为r，质量m，以角 速度转动，均质杆AB质量为 m，长为2r，滑块B质量为m， 在水平轨道内运动，A，B处为 铰接，某瞬时杆AB处于水平位 置，求此瞬时系统的动能，动 量，对O点的动量矩。 O A B 例 题 20-8 2020 动量原理动量原理 例题 O A B 解：圆盘为定轴转动，滑块为 平动，杆为一般平面运动 ， 杆AB此瞬时为平动 系统该时刻的动能： 系统该时刻的动量： 例 题 20-8 2020 动量原理动量原理 例题 O A B 系统该瞬时对点O的动量矩： （） 注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩 都是特殊位置的量，不可求导！ 20.6 动量矩定理 20.6.1 质点的动量矩定理 质点对固定点的动量矩定理 设质量为 的质点D对固定点O的矢径为 ，作用其 上的合力为 质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用于其上的合力对同一点的矩。 (20.41) 20.6.2 质点系的动量矩定理 1. 质点系对固定点的动量矩定理 设作用于质点系中各质点 上内力和外力的 合力分别为 和 ，各质点质量为 ，对每个质点： (20.42) (20.43) 质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。 对系统内所 有质点求和 ： x y z O 质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导 数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。 式(20.43)为一矢量式，它可以向过点O的某一固定 直角坐标轴（如z轴）上投影： (20.44) x y z O 若质点系作平面运动，O点为平面内一点， 可取为代数量： (20.45) 平面运动时质点系对固定点的动量矩定理 均以逆时针转动为正 质点系对固定轴 的动量矩定理 (20.44) (20.43) 质点系对固定点的动量矩定理 2. 质点系对动点的动量矩定理 (20.46) x y z A A O x y z 任选动点A，建立定坐标系及固连于动 点A的平移动坐标系，由对动点A的绝 对、相对动量矩之关系式（20.29）： 求导： C C 求导： 又： 质点系对动点A的绝对、相对动量矩导数之关系 x y z A A O x y z C C 设点O为惯性空间中某一固定点， 由O，A两点的动量矩之间关系： 其中 求导： 由对定点O的 动量矩定理 动量定理的 微分形式 及 得 ： 又 (20.47) 由式(20.46)和(20.47)得到 (20.47) 质点系对动点的 绝对动量矩定理 (20.48) 质点系对动点的 相对动量矩定理 (20.46) 由此可见，质点系对动点的动量矩定理形式复杂， 通常，对动点的动量矩定理只用其特例对动点的动量矩定理只用其特例： （1）取动点取动点A A为质点系的质心为质点系的质心C C (20.47) 质点系对动点的 绝对动量矩定理 (20.48) 质点系对动点的 相对动量矩定理 （20.49) 质点系对质心 的动量矩定理 (20.47) 质点系对动点的 绝对动量矩定理 (20.48) 质点系对动点的 相对动量矩定理 （2）当动点A的加速度 时，即固连于动点 A的平移动系也为一惯性系（A点在该惯性系中 为一定点）： (20.50) 注意 如果动点是任意选定的，动点的速度、加速度 一般未知，故对动点的动量矩定理的一般形式 （20.47）和（20.48）并不常用，经常使用的 是质点系对质心的动量矩定理（质点系对质心的动量矩定理（20.4920.49）。 对刚体、刚体系，动量矩定理常取以下形式： 对固定轴的动量 矩定理 (20.44) (20.43) 对固定点O的动 量矩定理 (20.49) 对质心C的动量 矩定理 小结小结 3. 有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的 表达式 若所研究的质点系为一个具有质量对称面的刚体，作 用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面 内作平面运动。 设A为刚体运动平面内某一定点，则该 刚体对A点的相对动量矩为 (20.51) 为刚体对Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该 刚体运动的角速度。 为刚体运动的角加速度。 (20.52 ) 由对动点的相 对动量矩定理 下面研究式(20.52)的几种特殊情形： （1）若点点A A固定不动（记为固定不动（记为O O点）点），则刚体绕O轴作 定轴转动，则有： (20.53 ) （2）若点点A A取为刚体的质心取为刚体的质心C C , 则有 ： (20.54 ) （3）若在某一瞬时，点点A A为该刚体的速度瞬心为该刚体的速度瞬心P P，则有 ： (20.55 ) (20.52) 式(20.55)与式(20.53)的形式不同，反映了瞬时定轴转瞬时定轴转 动与定轴转动的差别动与定轴转动的差别。 但若在不同瞬时，平面运动刚体的速度瞬心P与刚体质 心C的距离 恒等于某一常数 ，则 ， 求导得 ，根据平面运动刚体的两点加速度 关系： (20.56 ) (20.55 ) (20.53 ) 对固定点O 对速度瞬心P 一般地说， ， ， 也不与 平行， 所以 故一般 将上式沿图示 轴（其正向与 相同）投影得到 P C (20.57 ) 因PC与 轴垂直，说明 ，于是 当平面运动刚体的速度瞬心速度瞬心P P与刚体质心与刚体质心C C的距离恒保的距离恒保 持不变时持不变时，平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才 具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同 样简单的形式。 (20.56 ) (20.58 ) 0 例如：均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面 纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互 垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质 心的距离恒保持不变。 P C C P 在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心， 根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面 运动刚体的运动微分方程，形式