工程数学课件3-2概率分布.ppt

第二节 概率分布 第三章第三章 概率论概率论 在学习随机事件及其概率时,我们了解了 样本空间的概念 1、抛掷一骰子出现点数 2、抛掷一硬币正反面出现情况 3、某城市120电话台一昼夜的呼唤次数 4、一批产品中任取一产品的合格情况 一、随机变量 实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色. S=红色、白色 非数量 将 S 数量化 可采用下列方法 红色 白色 即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了. 实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. S=1，2，3，4，5，6 样本点本身就是数量 恒等变换 且有 则有 1、随机变量的定义 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律. (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是 定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是 实数). 2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同 实例1 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则 是一个随机变量.且 X(e) 的所有可能取值为: 实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 是一个随机变量.且 X(e) 的所有可能取值为: 实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: 3、随机变量的分类 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 1、定义 二、离散型随机变量 离散型随机变量的分布律也可表示为 说明：离散型随机变量有以下性质 例 离散型随机变量的分布律如下： 试求：(1)常数c的值；(2) 概率 (3)概率 解：(1)根据分布律的性质， 所以， 例 离散型随机变量的分布律如下： 试求：(1)常数c的值；(2) 概率 (3)概率 解：(2) (3) 例：一只袋中装有5只球，编号1，2，3，4，5在 袋中同时取出3只，以X表示取出3只球中的最大 的号码，写出随机变量X的分布律。 解 练 2、常见离散型随机变量的概率分布 贝努利试验： 如果随机试验E只有两个可能结果 与 ，就 称该试验为贝努利试验 新生儿性别登记； 抛掷硬币正面出现情况； 检查产品质量是否合格； 明天会不会下雨； 参加英语等级考试结果；射手对目标进行射击； 参加总统竞选结果； 例 我国新生儿的性别登记情况. 随机变量 X 服从 (01) 分布. 其分布律为 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为 则称 X 服从 (01) 分布或两点分布. 1.(0-1)分布 实例 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 1)分布. 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布. 说明 n重贝努利试验（贝努利概型）： 将贝努利试验独立重复进行n次，则称这一串重 复的独立试验为n重贝努利试验 若在一次贝努利试验中，关心事件A是否发生 。那么在n重贝努利试验中，则会关心事件A的 发生次数 发生k次的情形有多少种？ 发生k次的概率？ 称这样的分布为二项分布.记为 二项分布两点分布 2.二项分布 二项分布是常见的一类分布 如：独立地进行射击5次，击中目标次数 独立地进行试验5次，成功次数 k个灯泡，使用超过1000小时的灯泡个数 n个供水设备，正在使用的个数 它们都是服从二项分布的 二项分布是应用广泛的一类重要分布 如：在港口建设中要了解n年中年最大波高过 米的次数； 在机器维修问题中要了解n台机床需要修理的机 床数； 在昆虫群体问题中要了解n个虫卵中能孵化成虫 的个数； 在高层建筑防火安全通道的设计中要了解n层楼 中发生火灾楼层数； 它们都是服从二项分布的 例 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次 射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 的分布律. 故 X (5,0.6) 大学英语六级考试（旧）是为全面检验大 学生英语水平而设置的一种考试，具有一定的 难度。除英文写作占15分外，其余85道多种答 案选择每题1分，即每一道题附有A，B，C，D 四个选择答案，要求考生从中选择最佳答案。 这种考试方式使有的学生产生想碰运气的侥幸 心理，那么靠碰运气能通过英语六级考试吗？ 选择题能考出真实成绩吗？ 分析：按及格计算，85道选择题必须答对51道题 以上。如果瞎猜测的话，则每道题答对的概率为 1/4，答错的概率是3/4。显然，各道题的解答互 不影响，因此，可以将解答85道选择题看成85重 贝努利试验。 请问刚好答对51道选择题的概率？ 例：现有张一百元的人民币，已知其中混 有张假币，从中取张，如果正好将张假 币取出来算是成功一次，某人这样做了次 ，成功次，设各次成功与否相互独立，试问 此人对假币有没有一定的鉴别能力？ 解：设成功为事件A，古典概型P(A)=1/C210=1/45 设为成功次数，据题意知(10,1/45),成功 次的概率为 因此，他对假币有一定的鉴别能力 小概率原理：概率很小的事件在一次试验中认为是不会发生的 。 例：某柜台上有4位售货员，只准备了两台台秤 ，已知每位售货员在8小时内均有2小时时间使用 台秤，求台秤不够用的概率。 解：已知每位售货员在8小时内均有2小时时间使用 台秤，说明每位售货员使用台秤的概率皆为p=1/4 。 同时使用台秤的售货员个数X是一个离散型随机 变量，它服从参数为n=4,p=1/4的二项分布，即 台秤不够用，意味着同时使用台秤的售货员超过2 个，因此时间X2表示台秤不够用。注意到X2范围 内，离散型随机变量X的可能取值只有两个，即X=3 与X=4，有概率 所以，台秤不够用的概率是0.0508。 . 泊松分布 泊松分布的背景及应用 泊松分布是一种比较常见的离散型随机变 量的分布.第二次世界大战时，德军隔着英吉 利海峡用飞弹轰击伦敦，后来发现，各区落下 的飞弹数服从泊松分布。 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事 业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 它常常用来描述“稀有事件”的数目. 如:某页书上印刷错误的字数； 某医院一天内的急诊病人数； 某地区某一时间间隔内发生的交通事故数； 一年内爆发战争的数目； 腐败现象的发生和发展； 等等都服从泊松分布 例：某城市每天发生火灾的次数服从参数 的泊松分布，求该城市一天发生次或次以上火 灾的概率 解：设该城市一天发生火灾的次数为， 则XP(0.8) 0.10.20.30.40.50.60.70.8 0.9048.8187.7408.6703.6065.5488.4966.4493 1.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.3595 2.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.1438 3.0002.0011.0003.0072.0126.0198.0284.0383 4.00010.0007.0016.0030.0050.0077 50.0002.0004.0007.0012 60.0001.0002 700 公元1500年至1931年这432年间，有223年没有爆 发战争（已爆发，正继续的不算），一年中爆发1次、 2次、3次和4次的总年数分别是142年、48年、15年和4 年，平均每年爆发0.69次战争。把实际数据与参数为 0.69的泊松分布的理论数据作比较，见下表。 1年中战争数实际年数理论年数 0223216.6809 1142149.5098 24851.5809 31511.8636 442.0465 例 有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆 车在一天的某段时间内出事故的概率为0.001.在某 天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故车辆数 不小于2的概率是多少？ 将每辆车通过看成一次试验，设出事故的车辆数为X ，则随机变量X的服从参数为n=1000,p=0.001的二项 分布，其分布律为： 泊松定理 注：一般情况下，n10，p0.1时，可以用泊松 分布代替二项分布。 此题中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（参数 ）近似代替。 例(寿命保险问题)在保险公司里有2500名同一 年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一 年中每人死亡的概率为0.002，每个参加保险的 人在1月1日必须交12元保险费，而在死亡时家 属可从保险公司里领取2000元赔偿金，求(1)保 险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于 10000元的概率 在农村尤其是偏远地区和经济落后地区，人 们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早 享福”等观念意识还很强，一对夫妇一定要生个 儿子才肯罢休的现象并不少见；假设生女儿的概 率为p，求生到儿子为止，子女数目X的分布律。 4. 几何分布 例 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如 果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 实际上“某人等到2分59秒”的这种随机事件几乎不 可能发生，研究0，5中一个点的概率无意义，通 常关注取值落在一个区间上的概率。 三、连续型随机变量 1.概率密度函数定义 1 2.概率密度函数的性质 注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 例 解 解 1. 均匀分布 常见连续型随机变量的分布 解由题意,R 的概率密度为 故有 例 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 1100 求 R 的概率密度及 R 落在 950 1050 的概率 练：某公共汽车站从上午6时起，每15分钟来 一辆车，即6:00,6:15,6:30,6:45等时刻有汽车进 站。如某乘客到达此站的时间是6:00到6:30之 间均匀分布随机变量，试求该乘客等待时间少 于5分钟的概率。 2. 指数分布 指数分布在实际应用中经常碰到，在排队 论及可靠性理论中指数分布常用来表示机器的 维修时间，寻呼台收到服务到达的时间间隔， 元器件的使用寿命生物的寿命等。 应用与背景 练：到某服务单位办事总要排队等待。设等待 时间T是服从指数分布的随机变量，概率密度 函数为 某人到此处办事，等待时间若超过15min，他就 愤然离去。设此人一个月去该处10次，求（1） 正好有两次愤然离去的概率（2）至少有2次愤然 离去的概率 3. 正态分布(或高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的概率密度函数图形 解 例 一般正态分布与标准正态分布的关系 例 例:公共汽车车门的高度是按成年男子与 车门顶碰头的概率不大于1%的要求设计 的.若成年男子的身高X(cm)服从 分布,问车门的高度应确定为多少? 某公司在某次招工考试中，准备招工300名（ 280名正式工，20名临时工），而报考的人数是 1657名，考试满分为400分。 考试后不久，通过当地新闻媒介得到如下信 息：考试平均分166分，360分以上的高分考生31 名。某考生A的成绩是256分，问他能否被录取? 如被录取能否是正式工？ 解：设考生考试成绩为X，则X是随机变量，对 于一次成功的考试来说，X应服从正态分布，本 题中， 因为考试成绩高于360分的频率是31 / 1657,所以 下面预测该考生的考试名次，他的考分为256分 ，查表知 说明考试成绩高于256分的人数大约占总认识的 16.6%，所以，考试名次排在该生之前的大约有 即该考生大约排名276名，所以被录为正式工的 可能性较大。 解：因为最低分数线x0的确定应使高于此线的考 生的频率等于300/1657，即 所以能录取的最低分数线是251分，该考生能被 录取。 3.2.2 随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 1. 数学期望 引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出赌金100 元,并约定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元.由于出现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分 赌金,该如何分配才算公平? 注:1654年,一个骑士就此问题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论 这一问题, 共同建立了概率论的第一个基本概念-数学期望 在已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)的基础上，若继续赌 A 胜 1/2 B 胜 1/2 A 胜 1/2 B 胜 1/2 A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4 B胜出的概率 1/2*1/2=1/4 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的可能性大小 之比为 即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加.即为 若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 引例2(射击问题) 射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机 变量 ，其分布律如下： 求该射手平均每次命中的环数。 数学期望又可以称为期望，均值。 离散型随机变量的数学期望 关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,它是一种加权平均, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变 . 试问哪个射手技术较好? 例 谁的技术好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 例 投资理财决策 某人现有10万元现金进行为期一年的投资，现有2 种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。 若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（ 概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%） 三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能获 利10000元，形式差就要损失20000元。若存入银行， 则按8%的年利率获得利息8000元。 解设 X 为投资利润，则 存入银行的利息: 故应选择股票投资. 0132 p 0.4 0.30.20.1 02123222 p 0.40.30.20.1 -1153 p0.40.30.20.1 例3 最优订购方案 某商场订购下一年的挂历，零售价80元/本，进价 50元/本，若当年卖不出去，则降价到20元/本全部销售 出去。根据往年经验，需求概率如下：在当年售出150 本、160本、170本和180本的概率分别为0.1，0.4，0.3 ，0.2。有以下四种订购方案 ：(1)订购150本； (2)订 购160本； (3)订购170本； (4)订购180本，请问哪种方 案可使期望利润最大？ (1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元) (2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元) (3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下的利润(百元) (4)订购180本:设随机变量R表示该方案下的利润(百元) 选择方案2或3，可使期望利润最大。 例 设由自动生产线加工的某种零件的内径X(mm)服 从正态分布 ，内径小于10或大于12为不合 格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售 每件不合格品亏损。已知销售利润T(元)与销售零件 内径X有如下关系： 求销售一个零件的平均利润是多少？ 注意T是离散型随机变量。 连续型随机变量的数学期望 例 已知随机变量 在区间a,b上服从均匀分布， 求 例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间 a,b上，求圆的面积的数学期望。 例 设随机变量XE (1)，求 解 X的概率密度为 例 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随 机变量X(吨),它服从2000,4000上的均匀分布.已 知每售出1吨,可挣得外汇3千元,但如售不出去而 积压,则每吨需花库存费用及其他损失工1千元,问 需组织多少货源,才能使国家收益期望最大? 小结 三、 数学期望的性质 性质1 若C是常数,则E(C)=C. 性质2 若C是常数,则E(C )=CE( ). 分布 期望 3 方差 一、 随机变量方差的概念 二、 随机变量方差的计算 三、 随机变量方差的性质 X2 P 2 3 5 7 8 1/8 1/8 1/2 1/8 1/8 X1 P 4 5 6 1/4 1/2 1/4 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下： 两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大， 如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。 引例 一、随机变量方差的概念 若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？ 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点 距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 1、方差的定义 称为均方差或标准差. 即 方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离程 度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性. 设 是一随机变量，如果 存在，则称 为 的方差，记作 或 . 2. 方差的意义 (2)若方差 ，则随机变量 恒取常数值。 (1)方差是一个常用来体现随机变量 取值分散 程度的量. 如果 值大, 表示 取值分散程度 大, 的代表性差; 而如果 值小,则表示 取值比较集中, 以 作为随机变量的代表性好. （常用的）计算方差的简化公式: 解 P 4 5 6 1/4 1/2 1/4 例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下： 求 。 三 、方差的性质 C 为常数 a为常数 一、二元离散型随机变量 二、二元连续型随机变量 3.2.3 二元随机变量及其分布 一、二元随机变量的定义 在实际问题中,一个随机试验的结果w对 应的不仅是一个随机变量,常常要考虑多个随 机变量.例如:考虑某地区儿童的健康情况要同 时考虑身高X