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第五节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 1 一、指数函数 1.指数函数的定义: 2 指数函数的定义等价于关系式: 3 2. 加法定理 证 4 例1 解 5 6 例2 解 求出下列复数的辐角主值: 7 8 二、对数函数 1. 定义 9 其余各值为 特殊地, 10 例3 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 11 例5 解 12 例6 解 13 14 三、乘幂 与幂函数 1. 乘幂的定义 注意: 15 16 特殊情况: 17 18 例7 解 答案 课堂练习 19 例8 解 20 四、三角函数和双曲函数 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变 数取复值的情况. 21 22 例9 解 23 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. 24 (注意：这是与实变函数完全不同的) 25 其他复变数三角函数的定义 26 2. 双曲函数的定义 27 它们的导数分别为 并有如下公式: 它们都是以 为周期的周期函数, 28 五、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义 两端取对数得 29 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 30 例14 解 31 六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数 32 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 33 思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数 的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角
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