七级数学思维探究多边形的边与角（含答案）.docx

泰勒斯（公元前前），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前年月日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳”25多边形的边与角解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面一般地，由条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为边形，又称多边形边、角、对角线是多边形中最基本的概念多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略多边形的内角和性质反映出一定的规律性：随的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是的一个常数把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧问题解决例1 如图，_试一试 运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（ ）A B C D试一试 把凸多边形内角问题转化为外角问题例3 凸边形除去一个内角外，其余内角和为，求的值试一试 设除去的角为，可建立关于，的不定方程；又，又可得到关于的不等式，故有两种解题途径，注意为自然数的隐含条件例4 如图，四边形中，已知，于，于证明：试一试 从四边形内角和入手角星例5 （1）如图，任意画一个五角星，求度数（2）如图，用“一笔画”方法画成的七角形，求度数（3）如图，用“一笔画”方法画成的角形，且是凸边形，求度数分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示解 （1）（2）（3）（个三角形，的内角总和减去多边形外角和的倍）完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图如图，这样的图有个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形一个完全边形共有条连线例6 证明：任何个人中，必有个人互相认识，或者有个人互相不认识分析与解 借助图表示这一抽象的思想用点，代表个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形考虑与条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有条同色，不妨设，同为红色；若，中有红边，则有红色；若，无红边，则为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形数学冲浪知识技能广场1如图，、是五边形的个外角，若，则_2如图，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图中的四边形，那么的度数为_3如图，的度数为_4用个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为_5将五边形纸片按如图所示的方式折叠，折痕为，点、分别落在、上，已知，则等于（ ）A B C D6如图，已知正五边形中，则（ ）A B C D7一个凸多边形的每一内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A条 B条 C条 D条8一个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则的值是（ ）A B C D不能确定9如图，已知，求的度数10如图，在四边形中，、分别平分和求证：思维方法天地11从凸边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为_12一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是，则原多边形是_边形13如图，设，则_14如图，的度数为_15如图，的度数等于（ ）A B C D16在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为，则这个多边形的边数为（ ）A B或 C D或17有一个边长为的正六边形客厅，用边长为的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）A块 B块 C块 D块18一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转，被称为一次操作，若次操作后发现赛车回到出发点，则角为（ ）A B或 C D或19如图，在凸六边形中，已知成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的20已知凸四边形中，（1）如图，若平分，平分的邻补角，判断与的位置关系并证明；（2）如图，若、分别平分、的邻补角，判断与的位置关系并证明应用探究乐园21（1）如图，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_；（2）如图，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段请你把得到的图形画在图中，并写出这个图形的边数；（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？22平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图，若，点在，外部，则有，又因为是的外角，故，得将点移到，内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）如图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，则，之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论，求图中的度数微探究平面镶嵌平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为，镶嵌图案有下列多种方式：1任意三角形和任意四边形都能镶嵌；2用同一种正多边形进行镶嵌；3用几种正多边形组合镶嵌对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有种如图：例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为、，则的值为_试一试 从建立、的等式入手例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）A种 B种 C种 D种试一试 假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有个正三角形，个正方形，则，即，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式例3 问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点周围围绕着个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_个正六边形的内角问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2：_结论2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想3：_验证3：_结论3：_拼图的背后例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组解 设可以拼成凸边形，边形的内角只可能是，并设其个数分别为，（，为大于等于零的整数）则由得 得 由此可见，拼得的多边形最大边数为下面我们分情况一一探讨（1）当时，由，得，这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为，如图（2），当时，由，得，这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为，其余各内角均为，如图（3）当时，由，得，这说明可以拼成十边形，且这十边形中有个内角为，有个内角为，如图（4）当时，由，得，这说明可以拼成九边形，且这九边形中有个内角为，有个内角为，如图同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图、练一练1用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组；在它的周围铺上块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满_组，还剩_块瓷砖2花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺圈，共需砖_块，其中正三角形砖_块若铺圈，则共需砖_块3有下列五种正多边形地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形；正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）A种 B种 C种 D种4如图，一个正方形水池的四周恰好被个正边形地板砖铺满，则等于（ ）A B C D5在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形（1）请根据下列图形，填写表中空格；正多边形边数正多边形每个内角的度数（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础例1 不等边三角形的两条高的长度分别为和，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_试一试 设的面积为、第三条高的长为，则三边都可用的代数式表示，由三边关系建立关于的不等式组例2 已知三角形的三边、的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有（ ）A个 B个 C个 D个试一试 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定的取值范围，列表枚举出所有的可能性例3 如图，已知为内任一点（1）与哪个大？证明你的结论；（2）与哪个大？证明你的结论试一试 对于（2），解题的关键是先证明：， ，例4 现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长为不小于的整数如果其中任意小段都不能拼成三角形，试求的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段？试一试 因段之和为定值，故欲尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列整边三角形例5 将长度为的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记为三边分别为，且的一个三角形（1）试尽可能多地写出满足题意的；（2）你能否提出一些进一步的问题？分析与解 （1）由题意可知，且，由此得，即，故满足题意的共有如下组：；（2）以下问题供参考：将长度为的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；将长度为的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？练一练1现有、长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是_2若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是和，则这个三角形是_三角形（按边分类）3如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，一个行人在马路上行走问：当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于_米4将长度为的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是、，且满足，则有_组解，所构成的三角形都是_三角形5三角形的三边长为，那么的取值范围是（ ）A B C D6三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为，这样的三角形有（ ）A种 B种 C种 D种7条长度均为整数的线段，满足，且这条线段中的任意三条都不能构成三角形，若，则（ ）A B C D8已知的两条高线的长分别为、，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A B C D9在平面内，分别用根，根，根，火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：火柴数示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形问：（1）根火柴能搭成三角形吗？（2）根、根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图10有长度分别为、（单位：）的细木棒各根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？11周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？25多边形的边与角问题解决例1 连，四边形的内角和例2 C 设凸多边形的边数为，个内角中恰有三个是锐角，则其余个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过，即，解得例3 设除去的角为，则，得，例4 ，又，故数学冲浪1 2 34 得到的正多边形的一个内角为5B 6D 7D 8B 910，又，得，故11 12十八边形，或十九边形或二十边形13 14 连 15C16D 设这个多边形为边形（为正整数），由，得，或17C 18D 19可以证明20（1）；（2）（证明略）21（1）；（2）这个图形的边数是（如图所示）；（3）得到的图形的边数是22（1）不成立，结论是（2）结论：（3）平面镶嵌（微探究）例1 依题意有：，化简得例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共种例3 问题再现：验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：整理得：，可以找到两组适合方程的正整数解为和结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形和个正六边形的内角或者围绕着个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌练一练1铺满组时，所用瓷砖总数为当时，当时，故最多能完