微积分中函数可导问题的研究.doc

济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - I - 摘 要 传统的微积分理论是经过许多数学家的不懈努力，经过缜密的逻辑推理论证， 利用极限理论对极限给出了纯数学语言的表述，进而，建立了关于连续性、可微 性、可积性的有关理论体系。但由于其定义及定理繁琐迂回，是当今微积分学习的 难点。本文首先，对与数学的发现过程同步的方式而建立新的极限理论体系非 极限理论，进行了关于数列极限、函数极限及其各自的性质的系统、详细总结。 不依赖实数完备性理论，而基于“连续归纳法原理”对有关函数连续性的性质进行 了证明。然后，应用一致不等式实现不用极限定义新概念导数乙函数，定义了比 传统的可导条件强烈的强可导的概念，但其推理简捷明快，实用性上几乎没有区别。 （宋体小四，1.25 倍行距） 关键词：（黑体五号）（黑体五号）电力系统；（宋体五号，关键词 3-5 个） （中文摘要应将毕业论文的内容要点简短明了地表达出来，约 300 字左右（限一页） 。内容 应包括工作目的、研究方法、成果和结论。要突出本论文的创新点，语言力求精炼。阅后删除。 ） 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - II - ABSTRACT In this paper （Times New Roman 小四，1.25 倍行距） Key words：（Times New Roman 五号，加粗）electric power system；（Times New Roman 五号） （外文摘要要求用英文书写，内容应与中文摘要对应。阅后删除。 ） 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - III - 目 录 摘要. .I ABSTRACT.II 1 前 言.1 2 非极限理论.3 2.1 数列极限.4 2.1.1 数列极限的定义及其基本性质.4 2.1.2 数列收敛判别法.5 2.2 函数极限.4 2.2.1 函数极限的定义及其基本性 质.4 2.2.2 单调函数与复合函数的极限.5 3 函数的连续性.4 3.1 连续性概念3 3.2 连续函数的性质3 4 新概念导数.3 4.1 导数新定义.3 4.1.1 甲函数与乙函数定义.4 4.1.2 乙函数和导数的关 系.4 4.2 函数的求导法则.4 4.2.1 求导法则.4 4.2.2 初等函数的乙函数证明.5 5 乙函数应用.3 5.1 预备知识3 5.2 应用3 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - IV - 6 非极限理论建立微积分.3 6.1 积分系统3 6.2 微积分定理3 结论.20 参考文献.21 致谢.22 附录 . . . .23 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 1 - 1 前言 微积分学的发展历程，应从最早的牛顿和莱布尼兹创建的第一代微积分算起， 那时的微积分是“说不清楚的微积分” ，因为其原理是模糊的，但其应用仍然在蓬勃 发展；而后，由柯西和维尔斯特拉斯等创建了“第二代微积分” ，建立了相对严谨的 极限理论，通过了缜密的逻辑推导证明，利用“” 、 “ ”语言对极限的概N 念给出了纯粹数学化得表达，并对敛散性、连续性、可微性进行了定义，于是，称 之为极限理论。但是在用“” 、 “ ”语言表述极限概念时，如张景中院N 士在教育数学探索1中所指出的“用极限理论定义极限，逻辑结构相当复杂” ， 用符号表述即“” ，我们不能 |, 0, 0,limaaNnNadaa nfn n 有 理解为什么用如此复杂逻辑结构的语言定义极限，于是，被称作是“听不明白的微 积分” ；究其原因，致使微积分学习困难的原因之一是其概念先用语言定义极限， 后定义无穷小和无穷大，不符合人类社会的“先无穷大，后无穷小”的认识过程， 本文采用基于“先无穷大，后无穷小”方式： 标准无穷小无穷大标准无穷大无上界递增)( ，定义新的极限理论。无穷小）极限（常数无穷小 在微积分学习中，实数的完备性定理也是一大难点，本文应用基于张景中院士 在教育数学理论中提出的关于实数理论的“连续归纳法原理”的第二连续归纳法原 理对微积分中涉及函数连续性的有关性质进行证明，表明了，微积分中的某些常用 定理的成立不依赖于实数理论的建立。 对于微积分中最基本、最基本的概念-导数，本文不用极限，采用一致不等式定 义新导数，并给出强可导、甲函数、乙函数等定义，推理论证“乙函数差商有界” 与“强可导” ，给出函数的求导法则及初等函数的乙函数证明。由于传统导数的定义 是基于极限理论，在微积分应用中存在某种局限性，本文利用乙函数解决传统导数 在 LHospital 法则中应用的局限性。 最后，本文从“的差商是的中值”这一基本思路出发，得出不用极限)(xF)(xf 而建立的微积分基本定理。然而，在实质上，甲函数和乙函数的概念已经给出了牛 顿-莱布尼兹公式，定理的表述既是数学形式的严谨化。 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 2 - 2 非 极限理论 对于无穷、极限等概念的认识，我们先通过对自然数的正确理解而逐渐认识了 无穷大，然后，再经过一些学习才正确认识无穷小和极限。但是，传统的微积分教 材的极限理论则是先用逻辑结构相对复杂的语言定义极限，后定义无穷小、无穷 大，本文采取了与数学的发现过程同步的方式建立新的极限理论体系。如下： 无穷小）极限（常数 无穷小标准无穷小无穷大标准无穷大无上界递增 )( 2.1 数列极限 2.1.1 数列极限的定义及其性质 有界数列与单调递增（减）数列 定义定义 2.1 设是一个数列：若存在某常数 M，对于一切， n a, 21 n aaa Nn 有，则称数列有上界；若存在某个常数 m,对于一切，有，Man n a Nnman 则称数列有下界。 n a 若存在某常数 M，对于一切，有，则称数列有界； Nn| Man n a 否则，若对于任意的正常数 K，总存在一个正整数，使得当时有 Nn0 0 nn ，则称数列无上界；若对于任意的正常数 k，总存在一个正整数，Kan n a Nn0 使得当时有，则称数列无下界；若数列既无上界又无下界， 0 nn kan n a n a 则称其为无界数列。 定义定义 2.2 设是一个数列，若有，则称为严 n a 121nn aaaa n a 格单调递增数列；若有，则称为严格单调递减数列。 121nn aaaa n a 严格单调递增数列与严格单调递减数列通称为严格单调数列。 若有，则称为单调递增数列；若有 121nn aaaa n a ，则称为单调递减数列。单调递增数列与单调递减 121nn aaaa n a 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 3 - 数列通称为单调数列。 无穷大（小）列 定义定义 2.3 设是一个单调递增的正数列，如果它也是无上界的数列。则称 n D 是一个恒正无穷大列，或称标准无穷大列。 n D 定义定义 2.4 设是一个无穷数列，若有一个恒正无穷大列，对于一切 n a n D ，有，则称是一个无穷大列，记作。若对于一切 Nn nn Da | n a n n alim ，有，则称是一个正无穷大列，记作。 Nn0 n a n a n n alim 如果数列有，是一个正无穷大列，则称是一个负无穷大 n a n Aa n A n A 列，。 n n alim 定义定义 2.5 设是一个数列，若有一个恒正无穷大列，使则称 n a n D n n D a 1 是一个恒正无穷小列，或称标准无穷小列。 n a 定义定义 2.6 设是一个数列，若有一个恒正无穷小列，使得，则 n a n nn a | 称是一个无穷小列。 n a 定理定理 2.12 设是一个恒正无穷小列，r 是一正常数，则存在一正整数 N，使 n a 得当时总有。Nn ran 数列极限的定义 定义定义 2.72 设是一个数列，如果存在常数 A 和无穷小列使， n u n nn Au 则称数列以 A 为极限，或收敛于 A，并称是收敛的，记作， n u n u n uAun n lim 否则，称没有极限，即是发散的。 n u n u 数列极限的基本性质 （1 1） （唯一性定理）若数列收敛，则仅有一个极限。 n u n u 证明：若收敛于 A，又收敛于，则存在两个无穷小列与， n u A n n 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 4 - 使，又有，因此有，得到，则 nn Au nn Au nn AA nn AA 常数列是无穷小列，故有，所以，唯一性得证。AA0 AAAA （2 2） （有界性定理）若（A 为常数） ，则存在某常数 M，对于一切Aan n lim ，有。 NnMan | 证明：因为，则存在无穷小列，有，于是有恒Aan n lim n nn Aa 正无穷小列，使，所以，对任意的正整数 n,有 n nn | 1 |AAAAa nnnn 有界性得证。 （3 3） （保号性定理）设（A 为常数）Aan n lim (i)若，则对充分大的 n,有；)0(0AA)0(0 nn aa (ii)若对充分大的 n, 有；则。)0(0 nn aa)0(0AA 证明：(i) 因为，则存在无穷小列，有，又，则Aan n lim n nn Aa0A 存在正数 r,使得，由定理定理 2.1 得知则存在一正整数 N，使得当时总有0 rANn ，从而当时有r n |Nn 0|rAAAa nnn (i) 如果，则存在一正整数 N，使得当时，有与已知矛0ANn 0 n a 盾。保号性得证。 （4 4） （四则运算）设，则Aan n limBbn n lim (i) 数列收敛，且； nn ba BAba nn n )(lim (ii) 数列收敛，且 nn ba BAba nn n )(lim (iii) )0, 0(lim Bb B A b a n n n n 证明：(i)因为，则有无穷小列，有Aan n limBbn n lim, nn ，于是，显然是无穷小 nnnn BbAa,)()( nnnn BAba nn 列，所以收敛，且； nn ba BAba nn n )(lim 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 5 - (ii)证明过程与(i)类似； (iii)先证，因为，存在一个恒正)0, 0( 11 lim Bb Bb n n n nn Bb 无穷大列，使，于是有 n D n n D 1 | n n n n n n nn DBB D BB D BBBBBb ) 1|(| 1 ) 1 |(| 1 | 11 | 11 | ）（ 所以，再由(ii)有。)0, 0( 11 lim Bb Bb n n n )0, 0(lim Bb B A b a n n n n 利用定理（3 3） 、 （4 4）即可得下面的定理： （5 5） （保序性定理）设，则Aan n limBbn n lim (i) 若，则对充分大的 n,有；)(BABA)( nnnn baba (ii) 若对充分大的 n,有，则。)( nnnn baba)(BABA 2.1.2 数列收敛判别法 （1 1） （迫敛性定理）设有数列，且当 n 充分 nnn cba、Aba n n n n limlim 大时有，则。 nnn acbAcn n lim 证明：因为，则有无穷小列，有Aba n n n n limlim, nn ，即， nnnn AbAa, nnnn AbAa, 由有 nnn acbAaAcAb nnn 即，所以 nnn Ac nnnn Ac|)| |,max(| 是一个恒正无穷小列，所以。 n Acn n lim （2 2） （单调有界定理）(i)若是一个单调递增有界的数列，则收敛于 n a n a ；(ii)若是一个单调递减有界的数列，则收敛于。1|supnan n a n a1|infnan 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 6 - 证明：(i)设不是常数列，由确界原理知存在，令其为 A，由 n a1|supnan 于单调递增，故单调递减，令，则是单调递增的， n a0 nn aA0 1 n n D n D 若有上界 M，即，使得。所以有 n D NmNn,mDn Nn ，这与 A 是的上确界矛盾；同理可证(ii)。 M Aan 1 n a （3 3） （柯西收敛准则）对于数列，若存在一个恒正无穷小列，使得对 n a n 一切正整数有，则称为柯西数列，且数列收敛。)(,nmmn nnm aa| n a n a 柯西准则：数列收敛的充要条件是：对于任意的正整数 p,有 n a 。0|lim npn n aa 证明：因为为柯西数列，则存在一个单减正无穷小列，使得对一切正 n a n 整数有。于是对任意的正整数 n 有)(,nmmn nnm aa| | 111 aaaaa nnn 所以，数列有界，为有界集。 n a, 1 mnnn aaaA 记，于是由 nnnn AdAcsup,inf 121nn AAAA 得 121121 ddddcccc nnnn 因此单调递增有上界，其极限存在：，且，即存在一个单 n cCcn n lim nn dCc 减正无穷小列，使得，不妨设，于是，至少存在正整数 n nn cC|Ccn ，使得，于是有)(nmm),(Cca nm nnnnmmnmmn aaaCaaaCaC | 所以。Can n lim 2.2 函数极限及其基本性质 以自变量趋于常数时函数的极限为例，定义自变量趋于常数时的无穷大量，无 穷小量。 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 7 - （1 1）设函数定义在邻域，若在上既是双向递)(xf);( 0 0 xU0)(xf);( 0 0 xU 增，又是无上界的，称函数定义在邻域上是一个恒正无穷大量，将恒)(xf);( 0 0 xU 正无穷大量记为。)(xD 设函数定义在邻域，若在邻域有一恒正无穷大量，)(xf);( 0 0 xU);( 0 0 xU)(xD 使得对一切，都有，则称是当 x 趋于时的无穷大);( 0 0 xUx)(| )(|xDxf)(xf 0 x 量，记作，类似可定义、。 )(lim 0 xf xn )(lim 0 xf xn )(lim 0 xf xn （2 2）设函数定义在邻域，若在邻域有一恒正无穷大量)(xf);( 0 0 xU);( 0 0 xU ，使得对一切，都有，称函数定义在邻域)(xD);( 0 0 xUx )( 1 )( xD xf)(xf 上是一个恒正无穷小量，将恒正无穷小量记为。);( 0 0 xU)(x 设函数定义在邻域，若在邻域有一恒正无穷小量，)(xf);( 0 0 xU);( 0 0 xU)(x 使得对一切，都有，则称是当 x 趋于时的无穷小);( 0 0 xUx)(| )(|xxf)(xf 0 x 量，记作。0)(lim 0 xf xn 2.2.1 函数极限的定义及其基本性质 函数极限的定义3 设函数定义在邻域，如果有一个实数 A 和一个上的无)(xf);( 0 0 xU);( 0 0 xU 穷小量，使得，则称当 x 趋于时以 A 为极限，记作)(x)()(xAxf 0 x 。Axf xn )(lim 0 函数极限的基本性质 （1 1） （唯一性定理）若存在，则其极限是唯一的。)(lim 0 xf xn （2 2） （有界性定理）若存在，则在上是有界的。)(lim 0 xf xn )(xf);( 0 0 xU （3 3） （保号性定理）若，则在上有)0(0)(lim 0 或Axf xn );( 0 0 xU 。)0(0)(或xf 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 8 - （4 4） （四则运算）设在上有极限：)()(xgxf、);( 0 0 xU ，则有BxgAxf xnxn )(lim,)(lim 00 (i) 在这时有极限，且)()(xgxfBAxgxf xn )()(lim 0 (ii) 在这时有极限，且)()(xgxfBAxgxf xn )()(lim 0 （5 5） （保序性定理）设在上有极限：)()(xgxf、);( 0 0 xU ，且有则在上有BxgAxf xnxn )(lim,)(lim 00 )(BABA);( 0 0 xU 。)()()()(xgxfxgxf （6 6） （迫敛性定理）设，且在上有Axgxf xnxn )(lim)(lim 00 );( 0 0 xU ，则。)()()(xfxhxgAxh xn )(lim 0 上述函数极限的基本性质的证明过程类似数列极限，故此处略。 2.2.2 单调函数与复合函数的极限 （1 1） （单调有界定理）(i)若函数在邻域上单调递增有上界，则)(xf);( 0 0 xU 存在，且；)(lim 0 xf xn );(| )(sup)(lim 0 0 0 xUxxfxf xn (ii)若函数在邻域上单调递减有下界，则存在，且)(xf);( 0 0 xU)(lim 0 xf xn 。);(| )(inf)(lim 0 0 0 xUxxfxf xn 证明过程类似数列极限的单调有界定理，故此处略。 （2 2）函数在邻域上有定义，且，函数在邻)(xf);( 0 0 xUAxf xn )(lim 0 )(tgx 域上有定义，且，同时在时，则有);( 0 0 tU 0 )(lim 0 xtg tt 0 tt 0 )(xtg 。Atgf tt )(lim 0 证明：由知，在时有，Axf xn )(lim 0 0 xx )()()( 210 xAxxfxf 与为时的无穷小量，又因为，在时有，)( 1 x)( 2 x 0 xx 0 )(lim 0 xtg tt 0 tt ，与为时的无穷小量，所以当时，)()()( 00 txttgtg )(t)(t 0 tt 0 tt 有，因为，、都为)()()()( 00 tAtxfttgftgf )(t)(t)(t 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 9 - 时的无穷小量，所以。 0 tt Atgf tt )(lim 0 3 函数的连续性 基于非极限理论，定义函数连续性的概念及其局部性质；对于闭区间上的连 续函数的性质，本文不再应用基于传统极限理论的实数完备性定理证明，而是利用 “连续归纳法原理”证明连续性的各个性质。 3.1 连续性概念 若函数在点处得极限值等于函数在点处的值：)(xf 0 x 0 x ，则称函数在点处连续。)()(lim 0 0 xfxf xn )(xf 0 x 如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断。)(xf 0 x)(xf 0 x 若函数在闭区间上（或开区间内）的任意一点都连续，称函数)(xf,ba),(ba 在闭区间上（或开区间内）连续。)(xf,ba),(ba 3.2 连续函数的性质 连续函数的局部性质 （1 1） （局部有界）设函数在点处连续，则函数在点的某个邻域)(xf 0 x)(xf 0 x 内有界。);( 0 xU （2 2） （局部保号性）设函数在点处连续，且，则存在点)(xf 0 x)0(0)( 0 或xf 的某个邻域，有。 0 x);( 0 xU);( 0 xUx)0(0)(或xf （3 3） （连续函数的运算）设函数与在点处连续，则)(xf)(xg 0 x (i)对于任意常数，也在点连续；)()(,xgLxfKLK、 0 x (ii)也在点连续；)()(xgxf 0 x 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 10 - (iii)若，函数在点连续。0)( 0 xg )( )( xg xf 0 x （4 4） （复合函数的连续性）设函数在点连续，函数在点连续，)(xfu 0 x)(ugy 0 u 并且，则复合函数在点连续。)( 00 xfu )(xfg 0 x 闭区间上连续函数的基本性质 连续归纳法原理2： 设是一个涉及实数 x 的命题，若)(xP (i)存在一个实数，使得对于所有的，成立； 0 x 0 xx )(xP (ii)若对于一切有成立，则有，使得对一切也成yx )(xP0)(y)(xP)(yyx 立； 那么，对于一切实数成立。)(,xPx 第二连续归纳法原理 设是一个涉及实数 x 的命题，是任意两个实数，)(xP)(,baba 若 (i)有不小于 a 的实数，使得对一切，有成立； 0 x 0 xxa)(xP (ii)有实数，若对实数有成立，则有，使对by yx )(xP0 y by y )(xP 一切实数也成立； y yx 那么，对于一切实数，成立。,bax)(xP 确界原理连续归纳法原理第二连续归纳法原理2 （1 1） （有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在上有界。)(xf,ba)(xf,ba 证明：引入命题：在上有界。)(xP)(xf,baxa (i)取，则对一切，成立；ax 0 axx 0 )(xP (ii)若对一切成立，由于在 y 点连续，所以，存在，使得)(xPbyxa)(xf, ，并有在上有界。在内取，则在上,bay)(xf),(),(y 1 x)(xf, 1 xb 有界，又在上有界，从而在上有界。取，则对任一个), 1 x),(b y 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 11 - ，成立，由第二连续归纳法，对所有成立，即byx)(xP)(xP,bax 在上有界。)(xf,ba （2 2） （最值定理）若函数在闭区间上连续，则在上取得最大值)(xf,ba)(xf,ba 和最小值。 证明：引入命题：存在一点 u,使得大于在上所取的一切值。)(xP)(uf)(xf,xa (i)对，成立，否则，则使成为在上的最大值；ax )(xP)(af)(xf,ba (ii)设对于某个，对一切，成立，由于不是在上的,bayyx )(xP)(yf)(xf,ba 最大值，则有，使得，因为在 y 点连续，则存在，使得 1 u)()( 1 yfuf)(xf, ，且在的取值均小于，在内取，由归纳假,bay)(xf),()( 1 uf),(y 1 x 设知，存在点，使大于在上的取值。取 2 u)( 2 uf)(xf)(xf, 1 xa ，则大于在上所有值，取，则对)()(max)( 21 ufufuf、)(uf)(xf,a y 任一个，成立，由第二连续归纳法，对一切 x 成立，即存在 u,使 yx)(xP)(xP 得大于在上的取值，即，产生矛盾。)(uf)(xf,ba)()(xfuf 所以，在上取得最大值，同理证得在上取得最小值。)(xf,ba)(xf,ba （3 3） （零点定理）若函数在闭区间上连续，则至少存)(xf,ba0)(, 0)(afbf 在一点，有。),( 0 bax 0)( 0 xf 证明：用反证法设对一切，有，不妨设对一切，,bax0)(xf,bax0)(xf 引入命题：函数在闭区间上恒为负。)(xP)(xf,ba (i)因为，则对成立；0)(af)(,xPax (ii)假设对任一，有成立，则对一切，有，由反证法假设，byx)(xPyx 0)(xf ，由在 y 点连续，则存在，使得，且在与0)(yf)(xf,),(y)(xf),( 同号。由知在，取，则对任一个，)(yf0)(af)(xf),( y yx 成立。由第二连续归纳法，对一切成立，即函数在闭区间)(xP)(xP,bax)(xf 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 12 - 上恒为负，而当时，有，与题设矛盾。,babx 0)(bf （4 4）设定义在区间，对于上的任意两点及正数，记)(xf),(ba),(ba 21,x x|)|(ab ，若有，则称函数在闭区|)()(sup|)( 2121 xxxfxfW0)(lim 0 W)(xf 间上一致连续。),(ba （一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间)(xf,ba)(xf 上一致连续。,ba 证明：记，当变小时，不会增大，|)()(sup|)( 2121 xxxfxfW)(W 则当时，有确定的极限：0)(W 0 w0)(lim 0 0 wW 要证明在闭区间上一致连续，只要证明即可，用反证法，设，)(xf,ba0 0 w0 0 w 记，,|)()(sup|lim 212121 0 xxxxxxfxfwx 引入命题：)(xP 2 0 w wx (i)对，显然，成立；ax 2 0 0 w wx)(xP (ii)设对某个 y,一切均使成立，由在 y 点连续，则存在，使得yx )(xP)(xf, ，且在上的上下确界之差小于，在内取，由归纳假),(y)(xf),( 2 0 w ),(y 1 x 设知，于是，所以对一切，成立。 2 0 1 w wx 2 0 w w yx)(xP 由连续归纳法，对一切 x 成立，取得，但由及的定义，显)(xPbx 2 0 w wb 0 w x w 然有，推出矛盾。 0 wwb 4 新概念导数 微积分中最基本、最核心的概念就是导数，由牛顿和莱布尼兹创建的微积分， 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 13 - 之所以说是不清楚的微积分，就因为其导数的概念说不清楚；由柯西和维尔斯特拉 斯建立了严谨的极限理论，用极限理论证明微积分定理，之所以说是不明白的微积 分，就因为其从导数的概念推导函数的性质听不明白，非数学专业的同学大都用 “导数正则函数增”的定向思维解题，还有微分中值定理、泰勒公式、微积分基本 定理，一般只是知其然而不知其所以然。所以改革微积分，首先应从导数的有关问 题入手。 4.1 导数新定义 一致可导 定义定义 4.1 4（一致可导的定义）设函数和都在区间上有定义，如果对)(xF)(xfba, 于上任意的和，一致的有ba,xhx )( )()( lim 0 xf h xFhxF h 则称在区间上一致可导，并称是的导函数，简称为的导数，)(xFba,)(xf)(xF)(xF 记作或，或。)()(xfxF)(xfy )(xf dx dy 可以证明，一致可导等价于连续可导，即的导数存在并且在连续。)(xFba, 一致不等式定义导数 一致可导的定义仍然是依赖极限的概念，考虑不用极限定义导数，林群指出5采用 “一致微商”的定义可简化微积分基本定理的论证，提出了用一致不等式定义导数， 即 定义定义 4.2 4（用一致不等式定义导数）设函数 F 在 上有定义。如果有一个在ba, 上有定义的函数 f 和正数 M，和一个在上正值递减无解的函数，ba, 0(ab )(xD 使得对上任意的和，有下列不等式：ba,xhx | )()()(|)(|hMhxfxFhxFhD 则称 F 在上是一致可导，并称是的导函数，简称为的导数，记ba,)(xf)(xF)(xF 作。)()(xfxF 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 14 - 上式也可写为以下的等价式：| ),(| )()()(|)(|hhxMhxfxFhxFhD 其中，是在区域上的有界函数。),(hxM,: ),(bahxbaxhx 可以证明，定义 4.1 和定义 4.2 是等价的，但定义 4.2 避免了极限的概念。 强可导 在定义 4.2 中取，得强可导定义 x xD 1 )( 定义定义 4.34（强可导定义）设函数在区间 I 上有定义，如果存在一个定义在)(xFy I 上的函数和正数 M，使得对 I 上的任意点和（这里 h 可正可负） ，成立)(xfxhx 不等式 2 |)()()(|MhhxfxFhxF 则称函数在 I 上强可导（或李普希兹可导） ，并称是的导数，记)(xFy )(xf)(xF 作或，或。)()(xfxF)(xfy )(xf dx dy 定理定理 4.14（强可导函数的导函数差商有界）设在区间 I 上的强可导，)(xF （） ，则存在，使得对任意，有)()(xfxFIx0MIvu, 。| )()(|vuMvfuf 证明：记，由强可导定义可知有，使得对任意，有vuh0MIvu, 2 |)()()(|MhhvfvFuF 2 | )()()(|MhhufuFvF 于是有 2 2|)()()( | )()()( | |)()()()()()( |)()( | MhhvfuFvFhvfvFuF hvfuFvFhvfvFuFhvfuf 两端约去，即得所要的结论。| h 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 15 - 4.1.1 甲函数与乙函数定义 不用极限理论，看待微积分的一个案例 例 用表示直线上运动的物体在时刻 t 所走过的路程，表示它在)(tss )(tvv 时刻 t 的瞬时速度，则它在时间区间上的平均速度的大小，应在时间区间上某,vu 两个时刻的瞬间速度之间。即有上的 m,n 有下列不等式成立,vu )( )()( )(nv vu vsus mv 即函数的差商是的中间值。)(ts)(tv 定义定义 4.46 设函数和都在区间 I 上有定义，若对 I 的任意子区间，)(xF)(xf,vu 总有上的 m 和 n，使不等式成立，则称是在区,vu)( )()( )(nf vu vFuF mf )(xF 间 I 上的甲函数，是在区间 I 上的乙函数。)(xf)(xF 定理定理 4.26（1）若是在上的乙函数，又是在上的乙函)(xg)(xf,ba)(xf,cb 数，则是在上的乙函数。)(xg)(xf,ca 定理定理 4.2（2） （i）函数是常数函数的乙函数。0)(xgCxf)( （ii）函数是一次函数的乙函数。kxg)(bkxxf)( （iii）若函数是的乙函数，则函数是 的)(xg)(xf)(xkgcxkf)( 乙函数。 （iv）若函数是的乙函数，则函数是 )(xg)(xf)(ckxkg)(ckxf 的乙函数。 定理定理 4.2（3）设在区间 I 上函数是的乙函数，在 I 的任意子区)(xg)(xf 上，若为正则递增；若为负则递减。,vu)(xg)(xf)(xg)(xf 上述定理可有甲、乙函数的定义直接推出，故证明略。 4.1.2 乙函数与导数的关系 对乙函数加上一些条件，可证明它就是导数。 乙函数与强可导 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 16 - 定理定理 4.3 若在区间 I 上是的乙函数，且在区间 I 上满足李普希兹)(xf)(xF)(xf 条件即差商有界，则存在正数 M 使对 I 上的任意两点和，和任意的uhu （或）有，也就是说，若,huus,uhus 2 |)()()(|MhhsfuFhuF 有一个满足李普希兹条件的乙函数，则是强可导的，且导函数为)(xF)(xf)(xF 。)(xf 证明：由乙函数的定义，对 I 上的任意两点和，在（或）uhu ,huu,uhu 上的任意两点 m 和 n，有 （i）)( )()( )(nf h uFhuF mf 将（i）的各项都减去得)(kf （ii）)()()( )()( )()(kfnfkf h uFhuF kfmf 因为，在区间 I 上差商有界，所以存在正数 M 有,huunmk)(xf （iii） | )()(| | )()(| hMknMkfnf hMkmMkfmf 结合（ii） 、 （iii）可得结论。 当乙函数差商有界时，只要足够小，甲函数在上的差商和乙函数在uvh,vu 上的函数值就能非常接近，要多么接近就多么接近，这样，从乙函数的概念出,vu 发就可以得出极限的思想了。 估值定理 定理定理 4.44（估值定理）若函数在区间 I 上强可导，且，则对区间)(xF)()(xfxF I 上任意两点，总存在上的两点 p 和 q 有)(,vuvu,vu )( )()( )(qf uv uFvF pf 也就是说，是在区间 I 上的乙函数。)(xf)(xF 证明：若对所有，的差商为常数，则结论成立；否则，必,vux)(xF ux uFxF )()( 有使得 (i),vusr0 )()()()( d rs rFsF uv uFvF 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 17 - 由强可导定义知存在正数 M 使对一切、有,vux,vuhx (ii)| )( )()( |hMxf h xFhxF 取正整数，将等分为 n 段，记，有，则 n 段中必 d rsM n )( ,sr n rs h dMh 有一段使得有不等式 (iii),hpp rs rFsF h pFhpF )()()()( 由(i) 、(ii)、(iii)得 uv uFvF d rs rFsF Mh h pFhpF pf )()()()()()( )( 再设，则有，对应用上述结论，可知有)()(xFxG)()(xFxG)(xG,vuq 有，可得 uv uFvF uv uGvG qf )()()()( )()( )()( qf uv uFvF 所以定理得证。)( )()( )(qf uv uFvF pf 估值定理的作用相当于基于极限理论的微积分中的拉格朗日中值定理，是微 积分的一个基本工具。 等价性论证 “乙函数差商有界”8与“强可导”的等价性论证，由定理定理 4.1、定理定理 4.3、定理定理 4.4 得 定理定理 4.59 函数在上强可导且的充要条件是，在上)(xF,vu)()(xfxF)(xF,vu 有差商有界的乙函数。)(xf 综上所述，在强可导的定义下，导数和乙函数的关系是显然的，一方面，把经 常使人困惑的导数概念化为清晰的乙函数概念；另一方面，把找寻乙函数的计算化 为比较简便的有章可循的导数计算。 4.2 函数的求导法则 函数在强可导，既是通常意义的在上可导并且)(xF,vu)(xF,vu 在上满足李普希兹条件， ，使用强可导的概念使推理简捷明快，虽)()(xfxF,vu 然比通常的可导条件强烈，但在实用上几乎没有区别。 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计） - 18 - 4.2.1 求导法则 四则运算求导法 若函数,在一致（强）可导，且)(xF)xG,vu)()(),()(xgxGxfxF (i)()( )()(xgxfxGxF (ii) )()()()( )()(xgxFxfxGxGxF (iii) 2 )( )()()()( )( )( xG xFxgxGxf xG xF 证明：(i)显然，证明略 (ii)先证一致可导的情况，因为 |)(| ),( )()()()( |)(| ),( |)(| ),( )()( |)(| ),( )()( )()()()()()()()()()( )()()()()()( )()()()()()()()( )()()()( 3 3 2 2 1 1 hD hhxM hxfxGxgxF hD hhxM hD hhxM hxfxG hD hhxM hxgxF xGhxGxFhxFxFhxFxGxGhxGxF xFhxFxGxGhxGhxF xGxFxGhxFxGhxFhxGhxF xGxFhxGhxF 其中，是有界函数，),(),(),(),( 321 hxMhxMhxMhxM、 是在上的正值递减无界函数，|)(|)(|)(|)(| 321 hDhDhDhD、-, 0uv 所以，在一致可导且有|)(|)(|)(|min|)(| 321 hDhDhDhD、)()(xGxF,vu ，把都换成)()()()( )()(xgxFxfxGxGxF|)(|)(|)(|)(| 321 hDhDhDhD、 既是强可导的证明。 h 1 (iii)参照下面复合函数求导法，在复合函数中取，在任意不含 0 的闭 x xG 1 ) 区间上总有,ba 济南大学毕业论文（如果是设计请改为设计）