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距离（二）备用例题利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系Cxyz由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)， ，设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，(2a+4b,2b4c,2c)由平面EFG，得，于是，整理得：，解得(2a+4b,2b4c,2c)故点B到平面EFG的距离为说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例2已知正方体ABCD的棱长为1，求直线与AC的距离分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系xyz，则有，设n是直线l方向上的单位向量，则n，n，解得或取n，则向量在直线l上的投影为n由两个向量的数量积的
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