中考数学复习方法及各类题型解题方法附压轴题大全.doc

- 1 - 中考数学复习方法 中考，作为义务教育阶段的一次终结性考试，其目的是全面、准确地反 映初中学生三年在学科学习方面所达到的水平，考试结果既是初中毕业成绩， 又是高一级学校选拔新生的重要依据。我省的中考数学命题始终立足基础核 心内容，突出考查学生的数学思想方法，重点考查学生的数学能力。以下结 合我的体会，谈谈中考数学复习方法，希望对广大考生有所帮助。 一、明确要求，把握方向 中考数学命题是以全日制义务教育课程标准和安徽省初中毕业学 业考试纲要为依据，突出“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力， 强调应用，着重创新”的 24 字方针，试题涉及“数与代数” 、 “空间与图形” 、 “统计与概率”三大部分，所占比例依次约为：50%、35%、15%；题型分：选 择题、填空题、解答题三种题型，所占比例依次约为：25%,15%,60%；试题难 度分布：容易题约占 80%，较难题约占 20%，难题约占 10%，也就是说，难题 的分数只有 15 分左右。立足考生发展的需要，重点考查数学基础知识，基本 技能，基本思想方法以及基本运算能力、思维能力、空间观念和运用数学知 识分析解决简单实际问题能力；重点考查对高中阶段学习和终身发展影响较 大的知识与能力,在加强“双基”考查的同时,加强了与社会实际和考生生活 的联系,重视考查同学们在具体情境中提出问题,研究问题和解决问题的能力, 收集,整合,运用信息的能力,通过设置开放性试题、探究性试题、阅读理解等 新题型，加强对考生创新意识的考查，考查的方式仍然是以基础为载体, 机 械训练,死记硬背的题目大大减少,注重考查同学们对知识的真正理解和运用, - 2 - 偏题,怪题和难题不会见到，程度中等的题量有所增大；考查能力的力度有所 增大；题目的灵活性有所增大。用现在的“灵活”代替从前的“难” 。 二、了解分布，明确重点 1.知识点分布 （1）代数中数与式的运算、一次（二次）方程、解不等式（组） 、一次 （二次）函数、反比例函数及其应用等；几何中三角形、平行四边形、矩形、 正方形、菱形、梯形、圆等图形，全等、相似、旋转、对称等变换，勾股定 理、三角函数等知识及其应用，统计与概率中计算与应用等核心知识常是命 题者关心的重点，几乎每份中考试卷都涉及。 （2）试题的分布有一定的规律， 前面的常是代数领域的运算求解题，较易，以考查运算技能为主；其后多是 统计与概率方面的计算求解题或几何方面的求解证明题，不难，以考查空间 观念、统计观念或分析推理能力为主；然后是应用题等，以考查建模能力等 为主；最后多是某一领域或某两领域知识的综合题等，有一定的思考性和综 合性，以考查数学思维能力为主。其中，运用所学知识解决某些简单实际问 题受到普遍关注。 2.解答题题型分布 解答题题型主要有：计算、求解、说理、理解、操作、图表信息、应用、 开放、探究等。求解题中代数占绝大多数，几何求解题次之，统计与概率再 次之；说理题中，几何占主导地位，统计与概率方面方面的说理题也成为一 种新动向；应用题中，代数应用题居多，统计与概率应用题次之，其次是几 何应用题；探究题出现频率较高，比重由大到小的顺序是以几何探究题比重 最高、其次是统计与概率探究题、代数探究题，另外几何与代数结合的探究 题也占有相当分量，应引起足够重视。 - 3 - 三、制订计划，合理安排 切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效 果。我认为中考数学复习一般分为三个阶段：基础知识点的复习为第一阶段， 专题复习为第二阶段，考前模拟测试为第三阶段。 纵观近年安徽省中考试题，其试卷内容覆盖面广（如：涉及平方根、科 学记数法、有理数运算、单项式乘法、分式方程、反比例函数、因式分解、 一次函数、统计估算、二元一次方程、概率应用、二次函数图象及性质、平 行线性质与垂直、圆周角圆心角性质、多边形内角和、正方形的性质、全等 三角形、相似三角形、三视图、扇形与圆的面积等） 、基础知识比重大（易： 中：难=6：3：1 或 5：4：1） 。第一阶段的复习简称为“三抓五过关” ， “三抓” 是：抓考纲 ，抓基本概念的准确性；抓公式、定理的熟练和初步应用； 抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用。五过关是：能准确理解 教材中的概念；能独立证明书中的定理；能熟练求解书中的例题；能 说出书中各单元的作业类型；能掌握书中的基本数学思想、方法，做到基 础知识系统化，基本方法类型化，解题步骤规范化，从而形成明晰的知识网 络和稳定的知识框架。 那么如何有效的进行第一轮复习呢？我认为，首先要理清初中数学内容 的脉络，建立较完整的知识系统。这一工作，是以同学们自觉主动积极地参 与课堂复习为前提的，以课后整理笔记和复述当天学习内容为重点，切忌走 马观花，或者另行一套。在做配套练习时，重点要对那些自己曾经做错的题 目、平时感觉较难的题目加以标记，这些就是我们通常所说的“漏”和“缺” 。 不同基础的同学复习的侧重点应各有不同：基础略差的同学应更多关注基础 题，而基础略好的同学应在基础知识的基础上，特别要关注数学思想、方法 - 4 - 与能力的培养。 第二阶段主要为专题复习。如果说第一阶段是以纵向为主，按知识点的 顺序复习，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高。 这种复习是打破章节界限，绝不是第一轮复习的压缩，而是一个知识点综合、 巩固、完善、提高的过程。其主要目标是：完成各部分知识的梳理、归纳、 糅合，使各部分知识成为一个有机的整体。在这轮复习中，应防止把第一轮 复习机械重复；防止单纯的就题论题，应以题论法；防止过多做难题等。应 该多问自己几个为什么。如：在复习过程中多问问自己这道题考查了哪些知 识点？每个知识点是从哪几个角度考查的？题目考查了哪些数学思想方法和 思维能力？本题有哪几种解题方法？最佳解法是什么？ 第三阶段主要是进行模拟训练。经过前两轮的复习，同学们无论从知识 的掌握,还是从解题能力的培养都会有所提高。但在临考前心理上却是很不稳 定，因此要进行必要的适应性训练或模拟训练，以提高解题速度和正确率。 特别在复习的后阶段，还要注重各种信息的收集、筛选、整理，同时要不断 调整自己的心理和应试状态，便于以最佳状态进入考场。建议考生在做好学 校正常的模拟测试之余，最好找几套难度适中的模拟试题，设定标准时间， 进行自我模拟测验，并严格按照标准答案纠正以往答题过程中的不良习惯， 对于试卷的错误要认真分析，找出错误的原因和解决的办法。并对每次训练 结果进行分析比较，发现问题，查漏补缺，积累考试经验，培养良好的应试 心理素质。 四、突出思想，考查能力 数学思想、数学方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是培养 学生数学思维能力、继续学习的重要环节。从全国各地中考试题可以看出， - 5 - 各地对数学思想方法的考查都非常重视，对数学能力的考查也比较全面，因 为它能有效地体现试卷的区分度和良好的效度。 （一） 、初中数学中主要的思想方法有：分类讨论思想、数形结合思想、 转化思想、函数与方程思想、建立数学模型思想等。 1、分类讨论思想 当数学问题不宜用统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异， 按照一定的分类方法或标准，将问题分为若干类，然后逐类分别讨论，再把 结论汇总，得出问题的答案。 2、数形结合思想 把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利 用这种结合寻找解题思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程 中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题 转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使 复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。 3、转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时， 我们通常是将未知问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽 象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同 的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不 在的。 4、函数与方程思想 函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过 问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解 - 6 - 决问题。如果问题中变量关系可以用解析式表示出来，则可以把关系式看作 一个方程，通过对方程的分析使问题获解。 所谓方程思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设 未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思 路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与 方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。 5、数学建模思想 简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近 似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以 是方程（组） 、不等式、函数、几何图形等等。 2008 年我省数学中考试题重视了这部分内容的考查，很好地突出了试题 的选拔功能。如：第 6 题体现转化思想；第 14 题体现数形结合思想；第 23 题体现分类讨论和类比思想，第 17 题体现建模思想，第 23 题体现建模思想、 分类讨论思想。 第 6 题需要同学们根据视图想象出立体图形，然后再根据此立体图形的 截面图形建立各个量之间的关系。这是考查同学们的空间观念、数形结合以 及方程思想的综合题。 第 9 题考查同学们对统计图的阅读能力。第 18 题结合平面直角坐标系， 考查同学们对轴对称性质的理解，在理解的基础上探索规律。第 22 题从一道 简单的几何证明入手，考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质， 由此针对点 O 的位置可能导致结论的变化展开分类讨论，由浅入深，循序渐 进。对于第（3）小题，更是让考生自己猜想结论并作出解释，增加了难度， 提高了区分度，要求学生用图形语言来表达自己的数学观点。第 23 题重点考 - 7 - 查学生的阅读理解能力，要求同学们能针对给出的文字、数据图表进行综合 分析获取信息，并在理解的基础上作出合理的推断。考查同学们提出问题， 运用数学事实表述观点的能力。 （二） 、初中阶段主要考查的数学能力包括：空间想象力，探索思维能力、 阅读理解能力、图表信息解读能力、分析问题与解决问题的能力等。近年来 出现了几种新题型,应引起大家注意。 1、图表信息型试题 图表、图象是一种最直观形象的数学语言，同学们需要对呈现的各种信 息进行加工处理，其关键是正确获取图表、图象中的信息。对于这类题型需 要大家能够透过现象发现规律揭示本质，这类题型能有效地考查同学们观察 思考、分析推理、类比迁移以及合理决策的能力。 2、探索规律型试题 新课标要求不仅要关注对学生学习结果地评价，也要关注对他们数学活 动过程地评价。基于这种理念，近几年开放探索性问题在中考中也越来越受 重视。 3、实验操作型试题 通过现场操作实践，或根据已有实验操作经验，或根据语言描述实验操 作过程，从中获得有关结论，或应用有关结论的一类试题。其主要涉及图形 的折叠与旋转、几何作图与设计、测量等，它是近年来中考热点题型之一。 4、阅读理解型试题 通过阅读提供的材料，获取信息，理解新概念，然后结合新概念对新问 题进行研究。主要考查阅读理解能力、观察思考能力、分析判断能力、抽象 概括能力、类比解题能力等。 - 8 - 5、运动变化型试题 在初中数学中与“动”有关的问题一般都是教学中的难点，这类试题以 运动的点、线段、角或图形为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变 量与其他量之间的关系，在一定条件下，进行相关的几何计算或综合性解答。 解决这类问题，一般要根据图形变化的过程，对不同的情况进行分类求解， 其关键是寻求变化过程中不变的等量关系和变量关系。 6、新定义型试题 所谓“新定义”型试题是指给出一个考生从未接触过的新概念，要求考 生现学现用，其目的是考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨 在培养同学们自主学习、主动探究的学习方式。针对这类题目，关键是读懂 题意，确定探索方向，寻找合理的解题方法。 五、注重细节，规范答题 抓住基础题目对于每一位考生来说便变得尤为重要。从考纲中我们可以 看到基础题约占 70%左右，可见做好基础题的重要性。那么如何才能牢牢把 握住这些分值高却又比较容易的题目呢？除了要注重掌握数学基础知识、基 本技能与数学思想方法外，同时还应该注意避免复习过程中的几个误区，掌 握科学的复习方法。 1、不认真审题：有些考生在答题中为了节约时间往往审题不仔细，看错 单位、抄错数字等。 2、凭印象答题：中考复习中做了大量的题目，有部分学生在做题时看见 某些熟悉的题目就认为自己曾经做过，从而很快下结论，其结果却是错误的。 3、只做题不总结：数学学习看重的是思路、方法以及能力的培养，不少 - 9 - 考生只知道多做题、做难题，满足于解题后对一下答案，却忽视了解题规律 的总结，以及蕴藏其中的数学思想、方法。 4、答题不规范：试题基本已经答出来，但却忘记检验，忘记带单位、答 非所问等也是常见的错误之一。 六、启示与建议 1、重视课本，强化对基础知识的理解和掌握 中考试题源于课本而又高于课本，反映基础知识的基本题比重最大，复 习中必须下大气力强化对基础知识和基本技能的理解和掌握。 2、要加强知识在实际生活中的应用 学数学重在应用。近几年的中考试题都把考查学生的知识应用放在重要 位置。2008 年中考试题中，应用问题就有 8 道，占总题数近 35%，由此可见 命题者对数学应用问题的青睐。 3、要提高数学阅读理解能力。 连续几年的数学中考，给我们发出的强烈信息就是：部分考生阅读理解 能力较弱已经严重影响数学思维能力的提高，制约中考成绩的提高！ 07 年 的 22、23 题，08 年的第 9 题、第 18 题、第 23 题，均反映出对同学们数学 阅读理解能力的考查力度，因此，同学们要花气力提高自己的阅读理解能力， 养成认真、耐心、细心地读题的习惯；要十分重视数学语言的学习，掌握 3 种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）及其相互转化。 另外考纲是中考命题的依据，中考试题是对考纲要求的具体化。 因此同学们必须认真研究考纲 ，明确各知识点考试要求目标，分析中考试 题，加深对它的理解，克服盲目性，增强自觉性，提高复习效率。同时同学 们还要认真研读近年来安徽省中考试题及其评分标准，明确到位给分的评分 - 10 - 要求，掌握答题的技巧和规范性。最后，预祝各位考生在 2009 年中考中取得 优异成绩。 - 11 - 第第 1 1 讲讲 解选择题的策略解选择题的策略 概述概述： 1选择题在中考中占的比例较大，题比较基础，做题时要细心认真，失分很不合算，因为它只 要一个答案，并不看你的解答过程，若在某个细节上出问题，全题就一分不得 2解选择题的方法大致有以下几种：综合法、分析法、验算法、排除法（筛选法）等 典型例题精析典型例题精析 例例 1 1在下列计算中，正确的是（ ） （A） （ab2）3=ab6 （B） （3xy）3=9x3y3 （C） （-2a2）2=-4a4 （D） （-2）-2= 1 4 解：宜用排除法 （A）中，没有 3 次方， （B）中 329， （C）中（-2）24 应选 D 例例 2 2二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则ABC 的面积为（ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）1 解：宜用综合法，令 x2-4x+3=0，得 x1=1，x2=3， AB=3-1=2，令 x=0 得 y=3 C（0，3） ，即CAB 中，AB 边上的高为 3， SABC=23=3 故选（C） 1 2 例例 3 3若 m0 （B）1 （C）m-5n-5 （D）-3m-3n m n 解：可用验值法，取 m=-10，n=-2 进行验算 （A）n-m=-2-（-10）=-2+80 正确 （B）=51 正确 m n 10 2 （C）-10-5=-15，n-5=-2-5=-7 m-5n-5 错误 （D）-3m=-3（-10）=30，-3n=-3（-2）=5 -3m-3n 正确 选（C） 例例 4 4有如下四个结论： 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弦 两圆的公切线最多有 4 条 其中正确的结论的个数为（ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 解：宜用筛选法 两边必须为夹角，因此错 平分弦中的弦应指明不为直径，因此错故选（B） 例例 5 5已知一次函数 y=ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A y x O B y x O C y x O y x D O - 12 - 解：宜用分析法 （A）对抛物线来讲 a0 矛盾 （B）当 x=0 时，一次函数的 y 与二次函数的 y 都等于 c 两图象应交于 y 轴上同一点 （B）错，应在（C） （D）中选一个 （D）答案对二次函数来讲 a0，对一次函数来讲 a-且 x0 1 2 1 2 - 14 - B C A ED （C）x0 （D）x0）的顶点为 P （1）写出抛物线的开口方向和 P 点的坐标； （2）若此抛物线与 x 轴的两个交点从左到右分别为 A、B，并且APB=90，试求ABP 的周长 - 19 - 2已知 m，n 是关于 x 方程 x2+（2+）x+2t=0 的两个根，且 m2+mn=4+2，过点 Q（m，n）的直33 线 L1与直线 L2交于点 A（0，t） ，直线 L1，L2分别与 x 轴的负半轴交于点 B、C，如图，ABC 为等腰 三角形 （1）求 m，n，t 的值； （2）求直线 L1，L2的解析式； （3）若 P 为 L2上一点，且ABOABP，求 P 点坐标 l2 A l1 BC y x Q O 3如图，正方形 ABCD 中，AB=1，BC 为O 的直径，设 AD 边上有一动点 P（不运动至 A、D） ，BP 交O 于点 F，CF 的延长线交 AB 于点 E，连结 PE （1）设 BP=x，CF=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 CF=2EF 时，求 BP 的长； （3）是否存在点 P，使AEPBEC（其对应关系只能是 AB，EE，PC）？如果存在， 试求出 AP 的长；如果不存在，请说明理由 B C A E DP O F 答案答案: : 中考样题看台 1 （1）抛物线解析式是 y=-x2-x+1 1 2 - 20 - （2）由题意得： 消去 c，得 b=-2a-2， 1 423 c abc 又抛物线开口向下，对称轴在 y 轴左侧， b-1， 0 0 2 a b a a 的取值范围是-1500，不改变方向，输水线路不会穿过居民区 5解：（1）OA=12，OB=6，由题意，得 BQ=1t=t，OP=1t=t OQ=6-t，y=OPOQ=t（6-t）=-t2+3t（0t6） 1 2 1 2 1 2 （2）y=-t2+3t，当 y 有最大值时，t=3， 1 2 OQ=3，OP=3，即POQ 是等腰三角形 把POQ 沿 PQ 翻折后，可得四边形 OPCQ 是正方形， 点 C 的坐标是（3，3） ，A（12，0） ，B（0，6） ， 直线 AB 的解析式为 y=-x+6， 1 2 当 x=3 时，y=3， 9 2 点 C 不落在直线 AB 上 （3）POQAOB 时， 若，即，12-2t=t， OQOP OBOA 6 612 tt t=4若，即，6-t=2t，t=2， OQOP OAOB 6 126 tt 当 t=4 或 t=2 时，POQ 与AOB 相似 考前热身训练 1 （1）开口向上，P（2，-m2） （2）设对称轴与 x 轴交于点 C，令（x-2）2-m2=0，得 x1=-m+2，x2=m+2， A（-m+2，0） ，B（m+2，0） ， AC=2-（-m+2）=m， （m0）由抛物线对称性得 PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2 APB=90， 易证 AC=PC， 即m=-m2，m1=0，m2=1 m0，m=1， ABC 的周长为 AB+2PA=2+22 2 （1）m=-2，n=，t=33 - 22 - M O B C A y x Q P （2）L1：y2=x+， L2：y=x+33 3 3 3 （3）过 B 作 BP1AC 于 P1，则 P1（，） ， 3 2 3 2 过 B 作 BP2AB 于 P2，则 P2（-2，） 3 2 3 （1）y=（12 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形？并说明理由 （2）若 M、N 分别是 AD、BC 中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P、Q，PQ=1，且 AB2 时，=（-2m）2-4（m-）2+=m-20 1 2 7 4 又 AB+CD=2m0，ABCD=（m-）2+0，ABCD， 1 2 7 4 ABCD，四边形 ABCD 是梯形 （2）AM=MD，BN=NC，ABCD，MNAB，MNCD， AP=PC，BQ=QD，QD=DC，PN=AB， 1 2 1 2 AB800000 所以，到第 6 天所有鸡都会被感染 （2）过点 O 作 OECD 交 CD 于点 E，连结 OC、OA OA=5，OC=3，CD=4，CE=2， 在 RtOCE 中，OE2=32-22=5 在 RtOAE 中，AE=2， 22 OAOE5 AC=AE-CE=2-2，5 AC=BC，AC+BD=4-45 - 29 - 答：这条公路在该免疫区内有（4-4）千米5 考前热身训练考前热身训练 1 （1）先证BOEAOF S四边形 AEOF=SAOB=OBOA=r2 1 2 1 2 （2）由EAF=90且 AC=AB=r，2 y=SOEF=S四边形 AEOF-SAEF， y=x2-rx+r2（00 a0 由 SAOC-SBOC=OAOB 得：-x1c-x2c=-x1x2 1 2 1 2 得：c（-）=，得：b=-2 1 2 b a c a - 30 - O B C A E D 8-x 6 x BC A x E D 4 （2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，与PAB 的外接圆交于点 N tanCAB=，OA=2OC=2c， 1 2 A 点的坐标为（-2c，0） ，A 点在抛物线上 x=-2c，y=0，代入 y=ax2-2x+c 得 a=- 5 4c 又x1、x2为方程 ax2-2x+c=0 的两根， x1+x2=即：-2c+x2=-c 2 a 2 a 8 5 x=c B 点的坐标为（c，0） 2 5 2 5 顶点 P 的坐标为（-c，c） 4 5 9 5 由相交弦定理得：AMBM=PMMN 又AB=c，AM=BM=c，PM=c， 12 5 6 5 9 5 c=，a=- 5 2 1 2 所求抛物线的函数解析式是：y=-x2-2x+ 1 2 5 2 第第 4 4 讲讲 方程观点解几何计算题方程观点解几何计算题 概述：概述： 含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都 可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程 典型例题精析典型例题精析 例例 1 1有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 长 分析分析：RtABC，C=90，AC=6，BC=8 AB=10由 题意知 ACDAEDDEB=90，DECD，AC=AE=6， 设 CD=x，则 DE=x，而 EB=4， 一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股 定理，有等式，有方程 在 RtDEB 中， （8-x）2=x2+42， 64-16x+x2=x2+16， 16x=48， x=3（cm） 例例 2 2已知O 中，两弦 AB、CD 相交于 E，若 E 为 AB 中点，且 CE：ED=1：4，AB=4，求 CD 长 解：CE：ED=1：4， 设 CE=x，则 ED=4x，由相交弦定理得 CEED=AEEB， - 31 - aa M O B A x P M OB C A N 即 x4x=22， 4x2=4， x=1 CD=x+4x=5x=5 例例 3 3如图，AB 为O 的直径，P 点在 AB 延长线上， PM 切 O 于 M 点，若 OA=a，PM=a，求PMB 的周3 长 分析：条件符合切割线定理，设 BP=x，则由 PM2=PBPA（方程出来了） 得（a）2=x（x+2a） ，3 x2+2ax-3a2=0， （x+3a） （x-a）=0， x1=a，x2=-3a（舍去） x=a，即 BP=a，连结 MO（常作辅助线） 则OMP=90，OB=BP=a，则 MB 为 RtOMP 的斜边上的中线，MB=OP=a 1 2 MBP 的周长为 2a+a3 例例 4 4如图，圆心在 RtABC 斜边 AB 上的半圆切直角边 AC、BC 于 M、N，其中 AC=6，BC=8，求 半圆的半径 分析：设半径为 R， （一个未知数建立一个方程即可） ，连 OM、ON、OC， 则 OM=ON=R，用面积，SAOC+SBOC=SABC， 得 6R+8R=68（一元一次方程） 14R=48， R= 24 7 中考样题训练中考样题训练: : 1 （2004，兰州）如图，在ABC 中，C=90，BAC=30，BC=1，D 为 BC 边上的一点，tanADC 是方程 3（x2+）-5（x+）=2 的一个根，求 CD 的长 2 1 x 1 x B CA D 2 （2003，武汉）如图，已知直线 BC 切O 于 C，PD 为O 的直径，BP 的延长线与 CD的延长线交于 点 A，A=28，B=26，求PDC 的度数 - 32 - O B C A D P 3 （2003，黄冈）已知，如图，C 为半圆上一点，过 C 作直径的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE : ACCE 分别交 PC，CB 于点 D，F （1）求证：AD=CD； （2）若 DF=，tanECB=，求 PB 的长 5 4 3 4 E O B C A D P F 4 （2005，荆门）已知关于 x 的方程 x2-（k+1）x+k2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长 1 4 （1）k 取何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求 k 的值5 5 （2005，常德市）如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，O的割线 PDE垂直 AB 于点 F，交 BC 于点 G，连结 PC，BAC=BCP，求解下列问题： （1）求证：CP 是O 的切线； （2）当ABC=30，BG=2，CG=4时，求以 PD、PE 的长为两根的一元二次方程33 （3）若（1）的条件不变，当点 C 在劣弧 AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论 BG2=BFDO 成立？试写出你的猜想，并说明理由 - 33 - E O B C A D P GF 6已知：如图所示，BC 为O 的直径，ADBC，垂足为 D，弦 BF 和 AD 交于 E，且 AE=BE （1）试猜想：与有何大小关系？并证明你的猜想； : AB : AF （2）若 BD、CD 的长是关于 x 的方程 x2-kx+16=0 的两个根，求 BF 的长； （3）在（2）的条件下，若 k 为整数，且满足，求 sin2A 的值 532(12), 13 713. 22 kk kk E O BC A D F 考前热身训练考前热身训练 1要用圆形铁片截出边长为 4cm 的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值 2圆内两条弦 AB 和 CD 相交于 P 点，AB 长为 7，AB 把 CD 分成两部分的线段长为 2 和 6，求 AP 的长 3如图，PA 切O 于点 A，PBC 交O 于 B、C，若 PB、PC 的长是关于 x 的方程 x2-（m-2） x+（m+2）=0 的两个根，且 BC=4，求 m 的值及 PA 的长 O B C A P 4如图，D 是ABC 的边 AC 上一点，CD=2AD，AEBC，交 BC 于点 E，若 BD=8，sinCBD=，求 3 4 AE 的长 - 34 - 2x E B C A x D F 5如图，在ABC 中，CAD=B，若 AD=7，AB=8，AC=6，求 DC 的长 BC A D 6已知，如图，以ABC 的边 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 E 点作 EFBC，垂足 为 F，且 BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求 EC 的长 E OB C A D F 答案答案: : 中考样题看台中考样题看台 1解：3（x+）2-5（x+）-8=0， 1 x 1 x - 35 - x+=或 x+=-1， 1 x 8 3 1 x 由 x+=得 x= 1 x 8 3 47 3 x+=-1 得 x2+x+1=0 无解 1 x tanADC=， 47 3 在 RtABC 中，AC= tan30 BC 3 在 RtADC 中，CD= tan AC ADC 4 321 3 CD2） 13 8 13 8 13 8 19 8 （2）假定有在一点 P 使 PC2+PD2=4，设 PB=x， 则 PD2=x2-1，PC2=（4-x）2-22，代入条件得（4-x）2-22+x2-1=4，解得 x=2， 2 2 P 在两圆间的圆外部分， 1132 因此，他这时有一定的危险 例例 2 2 （2005，长沙）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进 价为 40 元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计 120 万元，在销售过程中发现，年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利 z（万元）关于销售单价 x（元）的函数关系式（年 获利=年销售额-年销售产品总进价-年总支开） ，当销售 单位 x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低 于 40 万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公 司确定销售单价的范围在此情况下，要使产品销售 量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 解：（1）设 y=kx+b，它过点（60，5） ， （80，4） ， 解得 560, 480, kb kb 1 , 20 8. k b y=-x+8 1 20 （2）z=yx-40y-20=（-x+8） （x-40）-120=- 1 20 x2+10x- 1 20 440， 当 x=100 元时，最大年获利为 60 万元 （3）令 z=40，得 4=-x2+10x-440，整理得：x2-200x+9600=0， 1 20 解得：x1=80，x2=120 由图象可知，要使年获利不低于 40 万元，销售单价应在 80 元到 120 元之间，又因为销售单价越 低，销售量越大，所以要使销量最大，又要使年获利不低于 40 万元，销售单价应定为 80 元 中考样题训练中考样题训练 1 （2003，福州）据人民日报2003 年 6 月 11 日报道，今年 14月福州市完成工业总产值 550 亿 元，比去年同期工业总产值增长 21.46%，请估计去年同期工业总产值在（ ） A380400（亿元） B400420（亿元） C420440（亿元） D440460（亿元） 2 （2003，甘肃）在地表以下不太深的地方，温度 y（）与所处的深度 x（km）之间的关系可以近似 80 6040200 6 5 4 3 2 1 x(元) y(万件) - 46 - 用关系式 y=35x+20 表示，这个关系式符合的数学类型是（ ） A正比例函数 B反比例函数 C二次函数 D一次函数 3 （2003，甘肃）用一张面积为 900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直 径为_cm 4 （2003，河南）如图，某燃料公司的院内堆放着 10 个外径为 1 米的空油桶，为了防雨，需搭建简易 雨棚，这个防雨棚的高度最低应为_米（取 1.73，结果精确到 0.1 米） 3 5 （2004，福州）如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 17cm，则贴纸部分的面积为_cm2（结果用表示） 6 （2005，烟台）为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共 92 人， （其 中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够 90 人） ，准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂 给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数145 套4690 套91 套以上 每套服装的价格 60 元 50 元 40 元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付 5000 元 （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲校有 10 名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种 最省钱的购买服装的方案 - 47 - 7 （2005，河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套，经过一段时间的经营发现：当每 套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出在此基础上，当每套设备的月租金每提高 10 元时， 这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20 元，设每套 设备的月租金为 x（元） ，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为 y（元） （1）用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为 300 元和 350 元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少 套机械设备？请你简要说明理由？ （4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当 2 b a 2 4 4 acb a x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？ 考前热身训练考前热身训练 - 48 - 1某商品原价 100 元，现有 4 种调价方案，其中 0BCBD，请你添加一个条件使ABCCDB，你 添加的条件是_ C A B D CABD P (4) (5) 5 （2005，温州）若二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c=_（只 要求写出一个） 6 （2005，福州）已知：如图 5，点 C、D 在线段 AB 上，PC=PD 请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明 所添条件为_，得到的一对全等三角形是_ 考前热身训练考前热身训练 - 54 - C A B D 1已知 x2-ax+6 在整数范围内可分解因式，则整数 a 的值是_（只填一个） 2有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点 甲：对称轴是 x=4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也为整数 且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3 请你写出一个满足上述全部特点的二次函数 3如图，已知 ADBC，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要 增加的条件_ （只填一个你认为正确的 条件即可） 4以 x=1 为根，并且包含加减乘除运算的一元一次方程是 _ （只需写满足条件的一个方程 即可） 5如图，O 是等边ABC 的外接圆，AB=2，M、N 分别是边 AB、AC 的中点，直线 MN 交O 于 E、F 两点，BDAC 交直线 MN 于点 D，求出图中线段 DN 上已有的 线段的长 E C M A B FD O N 6已知点 O 是正六边形的中心，现要用一条直线把它的面积分成相等的两部分，请分别用两种不同 的方法画出这条直线 （画图工具不限） O O 7如图，1=2，若再增加一个条件就能使结论“ABDE=ADBC”成立，则这个条件可以是 _ - 55 - EC A B D 2 1 答案答案: : 中考样题看台中考样题看台 1AB=DC 2B=C 3ABE，BEC，CED，只要写出个即可 4CAB=BCD 或CBA=BDC 或 BC2=ACBD 5只要大于 4 的整数均可 6A=B（或 PA=PB） PAC PBD 或APDBPC 考前热身训练考前热身训练 15 或-5，7 或-7 2y=x2-x+3 或 y=-x2+x-3 1 5 8 5 1 5 8 5 或 y=x2-x+1 或 y=-x2+x-1 1 7 8 7 1 7 8 7 3AD=BC 或 ABDC 43x-3=0 5由已知不难得出 MNBC，MN=BC=1， 1 2 BMDAMN， DM=MN=1，连结 OA 交 MN 于点 G，则 OABC OAEF， EG=FG，MG=NG， EM=FN，MEMF=MAMB， EM（EM+1）=1，解之得 EM=， 51 2 DE=DM-EM= 35 2 6过正六边形的中心画直线 7B=D 或C=AED 或 AD：AB=AE：AC 等 第第 8 8 讲讲 代数综合题代数综合题 概述：概述： 代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程或函数为基 - 56 - 础进行综合解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化， 发挥条件整体作用进行解题解题时，计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面 典型例题精析典型例题精析 例例已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（x1，O） ，B（x2，0） （x10 合题意 将 m=2 代入，得 x12-2x1=3 12 12 2, 3, xx x x 1 2 3, 1, x x 或 1 2 1, 3. x x x10） 1 a （1）求该抛物线的解析式（系数用含 a 的代数式表示） ； （2）已知点 A（0，1） ，若抛物线与射线 AB 相交于点 M，与 x 轴相交于点 N（异于原点） ， 求 M，N 的坐标（用含 a 的代数式表示） ； （3）在（2）的条件下，当 a 在什么范围内取值时，ON+BN 的值为常数？当 a 在什么范围内取值时， ON-OM 的值也为常数？ A B x y O 2现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有 A、B 两种不 同规格的货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用 B 型车厢每节费用为 8000 元 （1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢 x 节，试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨或乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多可装甲种货 物 25 吨或乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的 方案？ （3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？ 3已知抛物线 y=x2-x+k 与 x 轴有两个不同的交点 1 2 （1）求 k 的取值范围； （2）设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在原点的左侧，抛物线与 y 轴交于点 C，若 OB=2OC，求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P（点 D 除外） ，使得以 A、B、P三点为顶点的三角 形与ABD 相似？如果存在，求出 P 点坐标；如果不存在，请说明理由 - 60 - 4在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典 型肺炎的抗生素据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫升血液中 的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线 （1）写出注射药液后每毫升血液中含药量 y 与时间 t之间的函数关系式及自变量取值范围； （2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于 4 微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人 按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效 时间有多长？ （3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上 6 点钟，问怎样安排此人从 6：0020：00 注射 药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？ - 61 - 答案答案: : 中考样题看台中考样题看台 1 （1）由 =（m-4）2+4（2m+4）=m2+320 12 12 12 20 4 24 x