计算流体力学第2讲差分方法.ppt

第二讲第二讲 有限差分法（有限差分法（2 2 ） 李明军 湘潭大学 数学与计算科学学院 数学楼315； 52377625 email: 计算流体力学讲义 第第3 3节节 差分格式的进一步分析差分格式的进一步分析 第第4 4节节 从模型方程推广到从模型方程推广到NSNS方程（方程（EulerEuler方程）方程） Date 第第3 3节节 差分格式的进一步分析差分格式的进一步分析 1. 耗散与色散误差 2.半离散分析与全离散分析 -如何理论计算修正波数 * 1. 耗散与色散误差 3Copyright by Li Mingjun 数值实验 时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小 （误差忽略） 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点） 实验观察到的现象 两类误差： 振幅误差 相位误差 （波速误差） Date 4 Copyright by Li Mingjun 精确解 1阶迎风 2阶迎风 Date 5 Copyright by Li Mingjun Date 6 对以上“实验现象”进行理论分析 考查问题： 精确解 ： 差分格式 ： （1） 其他格式 假设对于 ： 有 隐含假设: 线性差分格式， 非线性 系统作用于单波， 会产 生多个谐波 （2 ） 差分没有误差 Copyright by Li Mingjun 1阶迎风格式： 2阶迎风格式： Date 7 半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间 离散带来的误差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大） 注意：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是 为了理论推导方便。若用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导 形式上略显繁琐。 Copyright by Li Mingjun 精确解 ： 2.半离散分析与全离散分析 -如何理论计算修正波数 Date 8 令 ： （1）式化为 ： “半离散化”： 空间导数差分 计算，时间方程 （常微）精确计算 如果 ， 无误差！ Copyright by Li Mingjun 设 ： 精确解： Date 9 分析 （修正波数）与误差的关系： 的误差导致解的幅值误差 耗散误差 的误差导致解传播速度的误差 色散误差 Copyright by Li Mingjun (理想情况： )设 则 的实部：耗散误差 的虚部：色散误差 Date 10 含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差 任意函数： 定义：设 ， 求导数，精确解 差分解 Copyright by Li Mingjun 修正波数 定义 为： Date 反映了一个波内的点数 。 PPW （波内的点数）= 11 计算出 ，并考差其与 的逼近程度。 考察格式分辨率（resolution）的重要指标 优秀的差分格式，1 个波长里面6个点 即可 Copyright by Li Mingjun 精度 分辨率 Fourier 分析的任务： 精度： 反映 时的情况 分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的 性能， 对于多尺度问题，分辨率更重要。 （牺牲精度， 提高分辨率） Date 12 如何理论计算修正波数？ 方法：根据差分具体表达式及定义计算 例1 ： 令则： 其中 。于是： 1阶迎风格式： Copyright by Li Mingjun Date 13 例2：2阶迎风格式 ： 令则： Copyright by Li Mingjun 其中 。 Date 第第4 4节节 从模型方程推广到从模型方程推广到NSNS方程方程 （EulerEuler方程）方程） 4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质 4.2 对流项的分裂 (2) 严格特征分裂 基架点上冻结系数 (1) 两类典型的逐点分裂 * 格式F+ 格式F- 对流项：信息（波）从上游传至下游 ，上游更重要，迎风差分 扩散项： 信息从中心向周围扩散，不区分上、下游，中心差分 迎风差分优点： 有效利用信息传播的方向，增强稳定性 N-S方程： 单波方程 ： 单波方程： 一个波，容易判断波传播方向 N-S对流项（Euler）：方程组，多波问题， 复杂 15Copyright by Li Mingjun 4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质 Date 单波方程 ： 16Copyright by Li Mingjun 对于正数a,说明波沿x正方向传播，如下图所示： 采用空间向后差分格式： 何为迎风格式？ Date 微分与差分方程的影响域 双曲方程组的原则： 特征分解，找到独立传播的波 常系数矩阵A的情况：完全解耦，独立求解 变系数矩阵A的情况： 局部讨论 17Copyright by Li Mingjun (1) 常系数矩阵A 两类典型系数矩阵A： Date (2) 一般Jacobian 系数矩阵A 重要 性质 特点： A 可以像常数一样，和求导运算交换 18Copyright by Li Mingjun N-S方程： Date 4.2 对流项的分裂 方法： (1) 逐点分裂， (2) 严格特征分裂 (1) 两类典型的逐点分裂（利用性质 =+ 优点：耗散小 缺点：导数间断 A: Steger-Warming 分裂 19Copyright by Li Mingjun 目的： 确定波传播方向，便于使用迎风差分 或者： Date Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例） 已知 1） 计算 2） 计算 3） 计算 4） 代入（1）式得到 5） 利用不同的迎风格式，分别计算 （1 ） （后差，前差） 6） 计算 7） 时间推进 20Copyright by Li Mingjun Date 二维问题的steger-Warming 分裂 令： 则： 具体使用步骤， 以计算 为例 1) 令 2) 计算特征值 3) 分裂特征值，计算 4) 带入左式，计算正、负流通矢量 5) 计算 计算 设置 ，并注意 对于曲线坐标系 仅需令 21 Copyright by Li Mingjun Date B: L-F分裂 特点 ： 正特征值 负特征值 =+ 缺点：耗散偏大 局部L-F分裂，每个点上计算 全局L-F分裂，全局（一维）上计算 足够大 数学性质（光滑性 ）最好，但耗散偏 大 常数 例如，可取 22 Copyright by Li Mingjun Date 23 Copyright by Li Mingjun （人工粘性） 与迎风格式结合，等价于人工粘性 Date 方式很多，典型的有3种 =+ S-W: L-F: =+ Van Leer: =+ 24 Copyright by Li Mingjun Date 25 Copyright by Li Mingjun 优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大 利用性质 逐点分裂的特征 Date 分裂后 失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换 ） 变系数， 不能与导数交换 实质： 没有做到解耦； 只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正向传播，f-向负向传播 缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递 26 Copyright by Li Mingjun 一般情况下 Date 概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散; 举例 ： 分裂过程： （耗散） 如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂 不带来耗散。 分裂差分格式 耗散 精确满足，不引入误差！ 27 Copyright by Li Mingjun Date =+ 向上平移 向下平移 分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂） 28 Copyright by Li Mingjun 如使用低阶精度差分格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用下面将介绍的特征分裂） 结论： Date (2) 严格特征分裂 基架点上冻结系数 常系数方程组： 完全解 耦 29 Copyright by Li Mingjun 优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。 Date (a) 变系数情况: 局部冻结系数 j-2 j-1 j j+1 计算 ： 在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理 局部冻结系数 分 别 采 用 后 差 和 前 差 30 Copyright by Li Mingjun Date 通常写成守恒型差分，计算 j-2 j-1 j j+1 在基架点上系数 不变 31 均可. Copyright by Li Mingjun (b) 通量分裂表示 局部特征值采用 或者 Date (c) 具体步骤 （1 ） 1） 计算出 各变量在j+1/2的值（例如 ）可使用j, j+1 点值的算 术平均 （如 ）或Roe平均 ; 32 Copyright by Li Mingjun 假设初值 U， 且针对模型方程（线性单波方程） 已构造出差分格式 计算；方法很多，例如前面介绍的 或 由 Date 2） 在网格基上计算 j-2 j-1 j j+1 计算fj+1/2用到的点 注意，在该网格基上（例如k=j-1, j, j+1） 保持不变 3) 利用已构造好的差分格式，计算通量 5） 计算差分 （j点处） 33 4） 得到总通量 Copyright by Li Mingjun Date (d) 算法描述例子 步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点) enddo enddo do j=1,N enddo 需要多次矩阵运 算，计算量大 守恒性好，耗