钢结构若干问题及思考.doc

钢结构若干问题的思考主讲：周绪红 教授长安大学建筑工程学院二00五年十月第1章 钢结构稳定问题与强度问题第1节 稳定问题的分类图1 压杆及稳定问题的分类第一类稳定问题（分枝点失稳）：平衡形式发生了变化（直线平衡过渡到曲线平衡）；（Euler荷载）为屈曲临界荷载。第二稳定问题（极值点失稳）：平衡形式没发生变化（质变）；Pmax为失稳极限荷载（或称之为压溃荷载）；当荷载达到Pmax后，荷载必须逐渐下降才能维持内力与外力的平衡。临界荷载：屈曲荷载或压溃荷载；临界状态、屈曲前平衡状态、屈曲后平衡状态。第一类稳定问题是一种理想情况，对于实际结构并不存在，因为实际结构存在初弯曲、荷载初偏心、残余应力等初始缺陷。尽管如此，由于解决第一类稳定问题比较简便，理论也比较成熟，因而很多问题目前仍按第一类稳定问题对待，而采用安全系数来考虑初始缺陷的影响。第一类失稳的现象，不只发生在轴压直杆，在其它结构中也可以出现。如梁、薄板、承受静水压力的圆弧拱（球）、节点承受集中荷载的刚架等。以上两类稳定是按照加载过程中平衡形式是否发生质变这一观点划分的。此外，还可按照另外的观点将结构的稳定问题分为：1、 保守系统失稳与非保守系统失稳；2、 弹性与弹塑性失稳；3、 线性小挠度与非线性大挠度失稳；4、 离散系统（有限自由度）和连续系统（无限自由度）失稳；5、 结构静力与动力失稳；6、 比例加载系统与复杂加载系统失稳；7、 完善结构与非完善结构失稳；8、 局部失稳与整体失稳；9、 单一模型与多重模型的失稳；10、固定缺陷与随机缺陷稳定性问题；11、各向同性、均质系统和各向异性非均质系统的稳定性问题。实际上，钢结构常根据屈曲后平衡路径的特征对弹性稳定性问题进行分类：稳定分支失稳；不稳定分支失稳（缺陷敏感）跳跃失稳（稳定平衡不稳定平衡稳定平衡）(a) (b)图 2 稳定分岔屈曲图.3 不稳定分岔屈曲 图4 跃越屈曲对于非对称结构，其分支可能不对称。(a)(b) (c)图5 非对称结构失稳模式考虑弹塑性后，屈曲后性能有所改变。第2节 判断平衡稳定性的准则最根本的准则稳定平衡中性（或随遇）平衡临界状态不稳定平衡考察一刚性小球在光滑面上的三种不同位置（三处的切线都是水平的）的平衡：图6 平衡状态的稳定性假设对处于平衡状态的体系施加一微小干扰，当干扰撤去后，如体系恢复到原来的平衡位置，则该平衡状态是稳定的；若体系偏离原来的平衡位置愈来愈远，则该平衡位置是不稳定的；若体系停留在新的位置不动，则该平衡状态是随遇的或中性的。以上述最根本的准则为基础，从不同平衡状态的能量特征可得到判断平衡稳定性的能量准则；从稳定平衡和随遇平衡的动力特征可得到判断平衡稳定性的动力准则；从随遇平衡的静力特征可得到相应的静力准则。能量准则结构的平衡性用体系的总势能来判别。总势能=结构体系内应变能+外力势能如体系受到微小扰动，是增加的，则原平衡状态是稳定的；若是减小，则平衡状态不稳定；若不变，则为中性平衡。或者说：当取极小值，为稳定平衡；当取极大值为不稳定平衡。这就是稳定的能量准则。静力准则平衡结构体系，受到微小扰动后，若在该体系上产生一指向原平衡位置的力（正恢复力），当扰动除去后体系回复到原来的平衡位置，则平衡是稳定的。若产生负恢复力，则平衡是不稳定的。若不产生任何作用力，则体系处于中性平衡。中性平衡是从稳定平衡过渡到不稳定平衡状态的临界状态，相应的荷载为临界荷载。动力准则平衡结构体系，受到微小扰动，然后放松，若体系在原平衡位置附近振动，则平衡是稳定的。振动频率将随压力增加而减小，当压力达到某一临界值时（临界荷载），频率为零，则平衡中性的。上述三个准则是一致的。如由能量准则可知，微小扰动使总势能增加，这就要求应变能的改变大于外力势能的改变，因而扰动除去后，体系内产生一恢复力。可见能量准则与静力准则是一致的。第3节 确定临界荷载的基本方法利用上述三个准则确定临界荷载的方法分别为静力法、能量法、动力法。静力法图7 弹性连接刚性杆件体系在轴压力作用下的稳定性对上图所示刚性杆件体系，在新的平衡状态下静力平衡条件为：（a）式中为刚度系数，则 (2)为抵抗力矩。解为：和，分别表示杆系直线和折线两种平衡形式。设变形微小，则,.能量法变形后弹簧中的应变能荷载势能为杆系总势能 由极值条件得，（与式(a)的静力平衡条件是一致的）其解为和，表示杆系直线与折线两种平衡形式，下面考察其稳定性： (1)时，当时，（取极小值），故平衡是稳定的。当时，（取极大值），平衡是不稳定的。当（即时），还应由更高阶导数判断：，。则在处取得极小值零，故，则当时平衡是稳定的。（2）当时，PBBCC-+PA4k/l 稳定平衡 不稳定平衡 中性平衡图8 弹性连接刚性杆件体系在轴压力作用下的荷载位移曲线一般，则，故，平衡稳定。 小结（如图所示）： 折线平衡是稳定的； 当时，直线平衡是稳定的； 当时，直线平衡是不稳定的；屈曲时，荷载微小增加，变形增加很大。小变形理论当变形微小时，总势能表达式为由，得两个独立的平衡条件：。二阶导数，若平衡是稳定的。若平衡是不稳定的。若，各阶导数均为0，属中性平衡。当时，小变形理论认为是中性平衡，而大变形理论认为是稳定平衡；大变形理论可描述屈曲后平衡路径，而小变形理论只能确定分枝点荷载，得不到变形值，两种理论确定的临界荷载是一致的，但小变形理论可简化计算。动力法Pzk2Pdz图9假定体系由于扰动在原平衡位置附近作微小自由振动，写出振动方程，并求出其自振频率的表达式。根据体系处于临界状态时频率等于零这一条件确定临界荷载。根据达朗贝尔原理，可写出体系的运动方程：设刚性杆的总质量为，沿杆长均匀分布，则微段，平衡方程为一般解式中 为体系的固有振动频率，根据动力准则，令即,得。第4节 结构稳定问题与强度问题的区别强度问题：结构在稳定平衡状态下荷载所引起的最大应力是否超过材料的强度，是一个应力问题。稳定问题：与强度问题不同，主要是要找出外荷载与内部抗力间的不平衡状态（即变形开始急剧增长的状态），从而设法避免进入该状态，是一个变形问题。强度是某一截面的应力问题，而稳定则是构件整体的刚度问题。无缺初始陷构件的稳定问题归结为特征值问题。以一端固定一端简支为例说明图10令 ，则解为：边界条件：当时，当时，由此得三个齐次线性方程式微弯时，、不同时为0，上式有非零解的条件是： 展开上式得此超载方程的最小根为于是 实际上，轴心压杆的中性平衡微分方程是一个常系数的二阶线性微分方程。因支承条件不同，方程中含有不同的非齐次项（两端简支时非齐次项为0，即齐次方程）。若对二阶非齐次方程求导二次，消去非齐次项，可得到普遍中性平衡方程式：其通解为：积分常数可由两端支承条件确定：简支端：和固定端：和自由端：和（自由端处反力为零的条件：与轴力在端面分力相等）上下杆端，可建立四个边界条件，得四个线性齐次方程式A、B、C、D非零的条件是 =0= 上式是具有无限个根的超越方程，取最小根，再由，求出。满足D=0的就叫做特征值，相应的函数就叫做特征函数或特征向量。D=0称为稳定特征方程或简称稳定方程，它是稳定的一个准则。特征函数是中性平衡时的挠曲曲线方程，还包含了一个未定的常数，因此只给出了挠曲的形式，而不能给出确定的幅度，这在上例中已说明。有了普遍微分方程，解题时可以从确定边界条件开始，直接由稳定准则D=0求解，而不必每次都先建立微分方程和解此方程。实际上，普遍中性平衡方程式，可由微弯状态下的微段平衡得到。在此不再赘述。由于轴心压杆是具有无限自由度的连续结构，其平衡微分方程式是一个微分方程，而刚体结构具有有限自由度，平衡方程是一个代数方程。RQQRH图11 框架内力计算稳定问题必须考虑变形对外力效应的影响。针对未变形的结构来分析它的平衡；不考虑变形对外力的影响，叫做一阶分析；针对已变形的结构来分析它的平衡，叫做二阶分析。一阶分析所得变形荷载关系是线性的，二阶分析所得变形荷载关系是非线性的。应力问题一般只用一阶分析，只有少数特殊结构，如索结构、桅杆结构，因变形对内力影响很大，才需用二阶分析。如承受水平力的框架，作弯矩图时并没有把竖向反力R产生的弯矩考虑进去。稳定问题必须是采用二阶分析，分析时必须以变形后的位形为计算依据。但为简化计算，考虑到变形是微小的，故将截面内力矩进行简化近似：因变形微小，略去，故取，从而使平衡微分方程成为线性方程，这属于结构的线性理论，又叫小挠度理论；若采用未简化的曲率，所得平衡微分方程是非线性的，相应的理论是非线性理论，又叫做大挠度理论。也有人称此为三阶分析。例如理想轴心受压构件的弹性失稳问题：当考虑小挠度问题时l 理想：材料符合虎克定律；无初缺陷、初偏心；保向力作用；微小变形。-EIy”EI/ (小挠度)l 两端简支构件图12 两端简支轴心受压构件在微弯状态（随遇平衡状态）下建立平衡方程（此时的荷载值为临界荷载）： 设 ，则（1）其通解为：（2）由边界条件：时得上式中，则（3） 当时，得若，表示为直线平衡状态，不是微弯状态，所以，因此必有，从而得 （1，2，3，）由得（4）相应的挠度曲线（1，2，3，）图13 两端简支轴心受压构件挠度曲线实际上 （Euler临界力）（5）（6）PPcry不稳定平衡微弯状态，中性平衡稳定平衡临界荷载是保持中性平衡状态下的最小荷载。相应的临界应力为（7）由于钢材的弹性模量相同，故临界应力仅与长细比有关。 图14当按大挠度问题考虑时图15如图所示简支轴心压杆，现取消小变形假定，建立平衡方程如下式中为杆件的曲率。为运算方便，上式没采用前述曲率表达式，而采用定义式。引入，则（8）对（曲线坐标）微分一次，且，则（9）对上式第一项乘以，第2项乘以，并各自积分，得因故上式可改写成 或 在原点，（弯矩），利用这个边界条件，得，从而得：或 （10）这里取负号，是由于增加时，将减小。由上式积分上下限由至变为至，故上式负号消去，利用三角关系：得（11）为方便计算，引入新函数： ，并定义（12）为了将式（11）中的自变量改为，对式（12）两边微分，得从而得：(11)式分子式（12）两式可写成，可见从变为时，上式变号，故从变至，将从变为。式（11）中，（11）式分母故式（11）可写为：（13）式中（14）这是第一类完全椭圆积分，其值根据不同的值由数学手册或积分表查得。由式（13）得，把和，代入得（15）由式（15）可求出各个时的。当杆件挠度很小时，、=很小，则与1相比可略去，从而由式（14），由式（15）可见当挠度很小时，非线性理论与线性理论得出的临界力是一致的。当较大时，如，则，由积分表查得，此时，比欧拉荷载大15.2%。下面讨论杆件的挠度。由于，则由式（10）得： 中点最大挠度为：（16）利用得因此代入式（26）得 由此得（17）根据下述步骤可给出关系曲线，即选定 式(24)式(25)式(17)图16由此曲线可看出：（1） 两种理论给出相同的临界荷载。（2） 大挠度理论给出确定的侧向挠度；小挠度理论挠度不确定（只给出挠曲形式）（3） 两种理论均指出在分枝点处直线平衡形式不稳定。大挠度理论进一步指出分枝点附近曲线平衡是稳定的，小挠度理论认为是随遇平衡。（4） 小挠度理论的“”为水平直线，在一定范围内是适用的。在大挠度曲线显著偏离小挠度曲线AD之前，材料已进入弹塑性阶段。故在弹性阶段，两种理论的偏差不大。(a)(b)图17 不同支承条件的压杆（5） AE线适用于弹性范围，当进入弹塑性阶段，得到BC段。 上述各点说明了小挠度、小变形假设的合理性。对弹性压杆稳定问题，一般采用小挠度理论。P1P2图18 承受两个集中荷载的压杆对稳定问题，静定与超静定结构的区分失去意义。应力问题：针对这类问题而划分静定和超静定结构。静定结构分析只用平衡关系，超静定结构分析，还需加上协调关系。稳定计算中，无论何种结构都要针对变形后的位形分析，静定与超静定的区分无意义。如左图，承受轴力时，其微分方程相同：只是边界条件不同。若承受横向荷载，在计算内力时有很大的区别。迭加原理不适用迭加原理的适应范围：材料服从虎克定律，结构的变形很小（一阶分析）。它不适用于物理非线性和几何非线性。稳定问题需用二阶分析，内力与变形呈非线性关系，迭加原理不能适