江苏省第十七届初一数学竞赛试题及答案.doc

江苏省第十七届初一数学竞赛试题及解答一、选择题1、若的倒数与互为相反数，则等于（ ）A B C 3 dg2、若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）A1 B2 C 3 D 43、若a0bc则M、N、P之间的大小关系是（ ）AMNP BNPM CPMN D MPN4、某工厂今年计划产值为万元，比去年增长10%，如果今年实际产值可超过计划1%，那么实际产值将比去年增长( )A11% B10.1% C 11.1% D 10.01%5、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人三个区在一条直线上，位置如下图所示公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）100米 200米A区 B区 C区 AA区 BB区 C A区 DD 区6、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为（ ）A21 B24 C 33 D 377、用表示、两数中的较小者，用表示、两数中的较大者，例如设、是互不相等的自然数，则（ ）AXy B Xy CX y DXy和Xy都有可能8、父母的血型与子女可能的血型之间有如下关系：父母的血型O，OO，AO，BO，ABA，AA，BA，ABB，BB，ABAB，AB子女可能的血型OO，AO，BA，BA，OA ，B，A B，OA，B，A BB，OA，B，ABA，B，AB已知：汤姆与父母的血型都相同；汤姆与姐姐的血型不相同；汤姆不是A型血那么汤姆的血型是（ ）AO BB C AB D 什么型还不能确定二、填空题9、仓库里的钢管是逐层堆放的，上一层放满时比下一层少一根有一堆钢管，每一层都放满了，如果最下面的一层有m根，最上面一层有n根，那么这堆钢管共有_层10、在同一条公路上有两辆卡车同向行驶，开始时甲车在乙车前4千米，甲车速度为每小时45千米，乙车速度为每小时60千米，那么乙车赶上甲车的前1分钟两车相距_米11、把两个长3cm、宽2 cm、高1 cm的小长方体先粘合成一个大长方体,再把它切分成两个大小相同的小长方体,最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面大_cm212、已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是_13、一个长方体的长、宽、高分别为9 cm、6 cm、5 cm先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方形那么，经三次切割后剩余部分的体积为_cm314、今年某班有56人订阅过初中生数学学习，其中，上半年有25名男生、15名女生订阅了该杂志，下半年有26名男生、25名女生订阅了该杂志，那么只在上半年订阅了该杂志的女生有_名15、电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为_米（圆周率取3.14计算）16、如下图，三角形ABC的面积为1，BD：DC=2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为_三、解答题17、有一张纸，第一次把它分割成4片，第二次把其中的一片分割成4片，如此进行下去，试问：经5次分割后，共得到多少张纸片？ 经n次分割后，共得到多少纸片？能否经若干分割后共得到2003张纸片？为什么？ 18、从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路（两段路的长度不等但坡度相同）已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路比走平路时的速度快20%，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟判断a与b的大小；求a与b的比值19、如图是一张“35”（表示边长分别为3和5的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同能否分成5张满足上述条件的纸片？ 能否分成6张满足上述条件的纸片？（若能分，有“ab”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由）20、某公园门票价格，对达到一定人数的团队，按团体票优惠，现有A、B、C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元这三个旅游团各有多少人？在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符：售 票 处普通票团体票(人数须_)每人_元_参考答案：一、 选择题题号12345678答案CBDCACDD二、填空题 9、 10、250 11、10 12、2，7，11，13或1，14，11，13 13、73 14、3 15、282.6 16、17、（1） 16 （2）3n+1 （3）若能分得2003片，则3n+1=2003，3n=2002，n无整数解，所以不可能经若干次分割后得到2003张纸片18、（1）因为上学比放学用时少，即上学比放学走的上坡路少，所以ab（2）把骑车走平路时的速度作为“1”（单位速度），则上坡时的速度为0.8，下坡时的速度为1.2，于时可得，即19、（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有11，12，13，14，22，15，23，24，33，25，34，35，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有11，12，13，14，15或11，12，13，22，15，画出示意图（略） （2）若能分成6张满足条件的纸片，其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形纸片的面积之和为11+12+13+14+22+15=19，所以分成6张满足条件的纸片是不可能的20、（1）360+384+48072=1152（元）115272=16（元/人），即团体票是每人16元，因为16不能整除360，所以A团未达到优惠人数，若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360384480=151620，即三个团的人数分别为、，这都不是整数（只要指出其中某一个不是整数即可），不可能，所以B、C两团至少有一个团本来就已达到优惠人数，这有两种可能：只有C团达到；B、C两团都达到对于，可各C团人数为48016=30（人），A、B两团共有42人，A团人数为，B团人数为，不是整数，不可能；所以必是成立，即C团有30人，B团有24人，A团有18人（2）售 票 处普通票团体票(人数须20人_)每人20元每人16元（或八折优惠）（团体票人数限制也可是“须超过18人”等）教学内容：全等三角形经验谈：你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同全等三角形。内容综述：三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。要点讲解：例1：如图271，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证： AE=BD CF=CG思路 证明ACEBCD。证明 ABC和DCE都是等边三角形， CB=CA， CD=CE，BCA=ECD=， BCD=ACE=， BCDACE， AE=BD。思路 证明FCDGCE。证明 由BCDDCE都是等边三角形可知 CD=CE，BCA=ECD= ACD=BCAECD= FCDGCE， CF=CG说明：证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。例2：如图272，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。思路：取AD的中点P，连结PM，证明DMPMNB。证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。 DMMN， DMABMN=，又由正方形ABCD 知A=， DMAMDA=， BMN=MDA 又 BN平分CBE， MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得PAM是等腰直角三角形，故DPM=。 DPM=MBN， DPMMBN， DM=MN。说明：本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。例3：如图273，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：ABBD=AC思路1：延长AB到E，使BD，证明AEDACD。证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则E=BDE。 ABD=EBDE=2CE又 ABC=2C， C=E AD平分BAC， 1=2，又 AD=AD， ADEADC， AC=AE。即 AC=ABBE=ABBD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明AEDABD。证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分BAC 得1=2又 AD=AD，ADBADE， AED=ABC，DE=DB，又 ABC=2C， AED=2C又 AED=EDCC， EDC=C， ED=EC， EC=BD， ABBD=AEECAC。说明：要证明ABBD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为ABBD，如证法1就采用此法；另一种方法是把AC分成两部分，使其分别等于AB、BD，如证法2就采用此法。例4 如图274，ABC中，ACAB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PCPBACAB。思路： 通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论。证明：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分ABC得1=2。又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在 EPC中，PCPEEC，即PCPBACAE。 PCPB1),则m的最小正整数值是_。4、如图278，D、E分别为等边ABC的AB、AC边上的点，且AD=CE，CD和BE交于点P，则BPD的度数是多少？B级5、给定ABC的三个顶点和它内部的七个点，且这十个点中的任意三点均不共线，则以这十个点为顶点能将ABC分割为互不重叠的小三角形个数为_。6、如图279，点C是线段AB上一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别CD、CE于G、H，则CG和CH的大小关系是_。7、在ABC中，ABAC,AM为角平分线，则BM和MC的大小关系是_8、如图2710，在ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC分别交于D、E，求证：BDCEDE.参考答案A级1、AC=AC。提示：由AD=AD，AB=AB，知RtABDABD，从而B=B 再结合AB=AB,BC=BC,可知ABCABC从而AC=AC。2、提示：ABDACD，ABEACE，BDECDE。3、提示：由题意得：故m的最小正整数值是3。4、由AD=CE，A=BCE=，AC=BC，可得DACECB，从而得DCA=EBC，故BPD=EBCBCD=DCABCD=BCA=。B级5、15个。提示：会聚在ABC内每一点的诸角之和为180；会聚在A、B、C的诸角之和为；所以，所有小三角形的内角和为：。又由于每个三角形的内角和为，故小三角形的个数为：。6、CG=CH。提示：易证ACE=DCB=，又因为AC=DC，EC=BC，从而得ACEDCB，则AEC=DBC，又因为GCE=HCB=，EC=BC，从而GECHBC，故CG=CH。7、BMMC。提示：如图2711，在AB上截取AD=AC，连结DM，易证ADMACM，从而MC=MD，又因为BDMAMD=AMCB, 从而BMMD，所以BMMC。8、延长DM到D ，使DM=MD DD ME DE=ED BM=MC DM=MD BMD=CMD BMDCMD BD=CD 在EDC中有ECCD ED ,故BDCEDE.教学内容：一次方程组【内容综述】二元及多元（二元以上）一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决，所以，解一次方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种。竞赛中的方程组问题常有题型新、含有参量、与实际问题相联系等特点，要求我们除熟练掌握课本中的二元一次方程组基本解法外，还要掌握更多技巧，提高应变能力。【要点讲解】1、常系数一次方程组解常系数一次方程组，应仔细观察方程组的具体特点，灵活地采用各种方法和技巧，使解法简捷明快。例1 若和满足方程组试确定的值。分析 本例所求只与有关，故只需从原方程组中解出即可。解 将至五个方程相加，并除以6得 由，分别减去，得.所以， 例2 解方程组.分析 由于已知方程组中x、y、z的系数及常数项的数值较大，若用习惯的代入法、消元法来解，工作量较大，容易出现运算错误。仔细观察系数与常数项的特点，不难发现如下关系。57322134=7866,321345732=670,25732=11464. 用字母表示常数解此题，将会减少运算量。解 令，则原方程组变形为由并化简得 b得得,则; 得,则;将代入得.例3解方程组解法1 2得代入得所以为原方程组的解。解法2 令，则原方程组化为解得，即为原方程组的解。说明 解法1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，如等）；解法2 称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程。2、含有参量的一次方程组与含有参量的一元一次方程一样，含有参量的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零。例4 当为何值时有唯一解？没有解？有无穷多个解？思路 只须对进行讨论。为此先把方程组转化为关于的一元一次方程。解 由，消去y，得当时，方程有唯一解;当时,方程无解;当时，方程有无穷多个解。故当时，原方程组有唯一解；当，且时，原方程组无解；当且时，原方程组有无穷多个解。例5 已知关于x，y的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解。分析 解题的关键在于公共解与的取值无关。解法1 由于公共解与的取值无关，所以可分别令代入原方程得到一个方程组解之得.将代入原方程得。所以对任何值都是原方程的解。解法2 可将原方程变形为由于公共解与无关，故有解之得公共解为.3、含有绝对值符号的一次方程组。如果方程组中某一个或两个方程含有绝对值符号，在解这类方程组时，要象解含有绝对值符号的一元一次方程那样，先根据绝对值的意义，去掉绝对值符号后再解。例6 解方程组分析 若逐一讨论绝对值，情况较多，抓住的特点：（1）。 （2）;解 （1）若，则原方程组为,得，矛盾。（2）若，则原方程组为或 .分别解得. 从而有4个解 【能力训练】A级1、已知满足t和的也满足，那么m的值为（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）32、已知三角形的三边长满足,则三角形一定是（ ）（A）正三角形 （B）直角三角形（C）钝角三角形 （D）非等腰三解形3、小莉写出三个有理数，其中每两个有理数的平均值分别是7，那么这三个有理数的平均值是_。4、已知，且,则=_5、已知关于的方程组分别求出当为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解。B级6、若，则的值为（ ）。（A）1 （B）1 （C）2 （D）27、如果用表示大于的最小整数，如如果用表示不大于的最大整数，如，那么方程组的解是（ ）。（A）（B）（C）（D）8、若，则=_。9、已知满足方程组则=_。10、已知方程组有解，试求k的值【能力训练】A 级1、（C）提示：已知表明，是方程组的解。2、（A）提示：由原方程组得，有ab=0，进而有。3、提示：利用平均值定义。4、 提示：视为未知数，为常数，解得x=4z，y=3z。5、由得 将代入得 当时，原方程组有唯一解；当(a2)(a1)=0且(a2)(a2)0时,原方程组无解；当且时，原方程有无穷多组解。B级6、（A）提示：利用绝对值的非负性可得。7、（C）提示：，原方程组为 可解得.8、1. 提示：由原方程组分别求出。9、 提示：可直接由5 求出；同理求出。10、将后两个方程相加，并代入第一个方程消去，得，再分和两种情况可求得或.教学内容：一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。要点讲解：1、二元一次方程的整数解例1 求方程的整数解解 若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。由上例可以得到下面的定理定理1 若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2 若整数a,b互素，则方程有整数时，同时方程也有整数解。若是方程的一个整数解，则是方程的一个整数解。 例2 求方程的整数解解 设x,y是已知方程的整数解 由x,y之中较小的系数4去除各项得把和中的整数分离出来，得, 因为5y和x都是整数，则也是整数，设，k为整数，则，把代入已知方程得.所以（k为整数） 是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。当k=0，得x=4,y=1，这是方程的一组解，而解的表达式中k的系数5与4，也是已知方程中y与x的系数。一般地。有下面的规律。 定理3 如果a，b互素，且方程有一组整数解，则此方程的所有整数解可表示为。 这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。例3 求方程的正整数解。解 因3和5互素，所以原方程有整数解，首先观察出方程 的一组整数解。显然，即x=2,y=1是方程的一组解。于是x=56,y=28是已知方程的一组解，故原方程的所有整数解为（k为整数）.为求正整数解，可以解不等式组得。即k=10,11,此时原方程的正整数解为. 说明 对于系数较大的不定方程，用观察法去求其特殊解比较困难，这时可以用分离整数法或辗转相除法求其特解。例4 求方程的所有正整数解。 解 用x,y中较小的系数除方程各项得分离整数为 因为x,y是整数，故也是整数，于是有。再用较小的系数5除以方程各项，得 含（整数），由此得由观察和是方程的一组解，将代入得y=2,y=2代入得x=25，于是方程有一组解x=25,y=2，所以原方程的一切整数解为（t为整数）.由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为.例5 求方程的所有整数解。解 先利用辗转相除法求方程的一组整数解。， 为用41和177表示，把代入得把代入得即，由此可知，是方程的一组解。于是是原方程的一组整数解，于是原方程的所有整数解为（k为整数）.2、一次不定方程组的整数解解不定方程组 的基本思想仍然是消元。通过消去未知数z，将问题转化为解不定方程.例6 某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，求这样的自然数中最小的3个。 解，设这个自然数为x,依题意得两式相减，消去x，得可解得整数解(k为整数)代回或均得 .由，得，解得k=1，1，2，故x最小的3个值是7，37，67。3、多元一次不定方程的整数解对于多元一次不定方程可以把方程化为二元方程来求解。例7 求方程的整数解。解 方程变形为，设（t为整数） 则对于方程可以观察出x=t，y=t是其一组解，因而方程的所有整数解为（为整数） 对于方程可以观察出是它的一组解，因而方程的所有整数解为（为整数）将代入，得原方程的所有整数解为（均为整数） 例8 （百钱买百鸡）今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只。用100个钱，买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解，设公鸡、母鸡、小鸡各买了x,y,z只，由题意列方程组化简得 得 即 .由观察可得是方程的一组解，于是是方程的一组解，因而的所有整数解为（t为整数）由题意知，所以解之得故.由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x,y,z还应满足t x y z26418 7827811 812812 484即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡。A级1、下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）（A） （B）（C） （D）2、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种3、在方程的正整数解中，使的值最小的解是_。4、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，那么这样的两位数的个数是_。5、（1）求方程的所有正整数解。 （2）求方程组 的正整数解。B级6、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需（ ）（A）6元 （B）8元 （C）9元 （D）10元7、现有3个既约真分数（a,b,c都是自然整数）。如果这3个分数的分子都加上c，分母不变，则所得3个分数的和为6，那么原来的3个既约分数的乘积是（ ）（A） （B） （C） （D）8、99名学生去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船和小船应分别租_只。9、旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？参考答案A级1、（C），提示：显然（A）有解（0，0），（B）有解（5，4），（D）有解（0，1，1），故选（C）。2、（C），提示；设壹圆、贰圆、伍圆的人民币各需x,y,z张，依题意得，问题转化为求上述方程所组成方程组的非负整数解。3、x=16,y=19，提示：不定方程的整数解为为求正整数解，解不等式解得，即k=4,3,2,1,0,1,2,3,4,5，而，故k=1时，最小。4、27，提示；设两位数为，依题意得，即7a=2b，因为7与2互素，所以2|a，7|b又1a9,0b9,所以只有a=2,b=7，故只有。5、（1）可以观察x=1,y=9，是方程的一组整数解，则方程的解为 （k为整数），为求正整数解，需解不等式组 解得, 于是k=1，即原方程只有一组正整数解x=2,y=4。 （2）消去Z，得。 方程的所有整数解为 （k为整数）代入原方程组，得所有整数解为 （k为整数）由，得得k=1,0。故原方程组有两组正整数解 .B组6、（A）提示：设甲、乙、丙三种的单价分别为x,y,z元，则有 由此得，故。7、（B），提示；由题设有，即，由均为既约真分数知，a为1或2，b为1或3，c为1或5，有，只能是a=2,b=3,c=5。8、（2，15）或（7，3），提示：设大船租x只，小船租y只，则，求此方程的正整数解即可。9、设三人间、二人间和单人间分别为x，y和z间，依题意得 因此，有 这里x,y,z都是非负整数，由于，z5，所以z只能取0，1，2，3，4，5。从而共有六种付法：（10,10,0），（11，8，1），（12，6，2），（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。50人住宿总消费为所以当z=5时，总消费最低。教学内容：丰富多彩的有理数竞赛题现以2000年、2001年第十二届，第十三届“五羊杯”（广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。例1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975、864 219 753的平均数是（ ）。（A）4 444 455 555 （B）5 555 544 444 （C）4 999 999 995 （D）5 999 999 994解 注意已知五个数的特点：右起1至5位每位数字之和为13579=25，6至10位每位数字之和为02468=20，于是五个数的平均数为4 444 455 555。选A。例2 已知 68 920 312690亿（四舍五入），那么其中三位数有（ ）种填写的方法。（A）1 000 （B）999 （C）500 （D）499解 可填500，501，502，999，共500种填法。选C。例3 不超过700（是圆周率）的最大整数是（ ）。（A）2 100 （B）2 198 （C）2 199 （D）2 200解 3.141 53.141 6，故2 199.05700BC （B）ABAC （D）BCA解： ，AB。同理BC。ABC。选（A）。例9 用min（a，b）表示a、b两数中较小者，max（a，b）表示a、b两数中较大者，例如min（3，5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5。设a、b、c、d是不相等的自然数，min（a，b）=P，min（c，d）=Q，max（P，Q）=X；max（a，b）=M，max（c，d）=N，min（M，N）=Y，则（ ）。（A）XY （B）YX （C）X=Y （D）XY，YX都有可能解： 取一组特殊值：a=4，b=3，c=2，d=1，可求X=3，Y=2，XY；再取a=4，b=2，c=3，d=1，可求X=2，Y=3，YX。这说明XY，YX都有可能。选D。教学内容：代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2b2,n=c2d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是_.解mn=(a2b2)(c2d2)=a2c22abcdb2d2a2d2b2c22abcd=(acbd)2(adbc)2=(acbd)2(adbc)2,所以，mn的形式为(acbd)2(adbc)2或（acbd）2(adbc)2.例2 设x、y、z为实数，且(yz)2(xy)2(zx)2=(yz2x)2(zx2y)2(xy2z)2.求的值.解 将条件化简成2x22y22z22xy2x22yz=0 (xy)2(xz)2(yz)2=0 x=y=z,原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3 如果a是x23x1=0的根,试求的值.解 a为x23x1=0的根, a23a1=0,且.说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设abc=3m,求证:(ma)3(mb)3(mc)33(ma)(mb)(mc)=0.证明 令p=ma,q=mb,r=mc则pqr=0.P3q3r33pqr=(pqr)(p2q2r2pqqrrp)=0 p3q3r33pqr=0即 (ma)3(mb)3(mc)33(ma)(mb)(mc)=0例5 若,试比较A、B的大小.解 设则 .2xy 2xy0, 又y0, 可知, AB.4.设参 当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若,求xyz的值.解 令=k, 则有 x=k(ab), y=(bc)k z=(ca)k,xyz=(ab)k(bc)k(ca)k=0.例7 已知a、b、c为非负实数，且a2b2c2=1,求abc的值.解 设 abc=k 则ab=kc，bc=ka,ac=kb.由条件知 即.a2ka3b2kb3c2kc3=3abc, (a2b2c2)k3abc=a3b3c3.a2b2c2=1, k=a3b3c33abc =(ab)33a2b3ab2c33abc=(abc)(ab)2c2(ab)c3ab(abc),=(abc)(a2b2c2abbcca),k=k(a2b2c2abbcac),k(a2b2c2abbcca1)=0,k(abbcac)=0.若K=0, 就是abc=0. 若abbcac=0,即 (abc)2(a2b2c2)=0,(abc)2=1,abc=1综上知abc=0或abc=15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.,而.显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例9 已知,求证:.证明: 6.其他变形例10 已知x(x0，1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是_.解 x2=x(x1)x或 x2=x(x1)x例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,ca=19,求db.解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=ca=(y2x4)=(yx2)(yx2), 解得 x=3. y=10. db=y3x5=7571.选择题（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8（2） 已知则的值是（ ）.(A)1 (B)0 (C)1 (D)3（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）.（A）p% (B)%(C)%(D) % (E) %2.填空题（1）（x3）5=ax5bx4cx3dx2exf，则abcdef=_, bcde=_.(2)若 .(3)已知,则y1y1986=_.3.若（xz）24(xy)(yz)=0,试求xz与y的关系.4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.5.若x3y5z=0,2x4y7z=0.求的值.6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证7.已知a2c2=2b2,求证.8.设有多项式f(x)=4x44px34qx22