初三学生能力素养竞赛数学试题及答案.doc

2017年初三学生能力素养竞赛数学试题及答案 时量：90分钟 满分：100分 注意事项：1.答题前请在密封线内指定区域填写相关信息； 2.本卷共三大题，16小题，共8页，切勿漏题漏页； 3.答题时请在指定区域内作答. 题号一二三总分合分人复查人111213141516得分一. 选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在括号内）1下列计算中正确的是 （ D ） A B. C. D.2. 如果是随机投掷一枚骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则关于的一元二次方程有两个不等实数根的概率P ( A ) A B C D 3. 如图，在RtAOB中，两直角边OA、OB分别在轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB若反比例函数的图象恰好经过斜边AB的中点C，则的面积SABO为 （ B ）A2 B4 C6 D8 第3题图 第4题图4. 如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分CAD，交BC的延长线于点E，FAAE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ( C )A B C D 5. 如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BEEDDC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P,Q出发t秒时， BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：AB6cm；直线NH的解析式为；QBP可能与ABE相似；当t13秒时，PBQ30.其中正确的结论个数是 （ B ）A1 B.2 C.3 D.4第5题图 二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6是的整数部分，是的小数部分，则 3 .7. 从 这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么这6个数中所有满足条件的的值之和是 -2 .8. 如图，正方形ABCD边长为2，以AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 1 .9. 如图（1）所示，用形状相似、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的矩形ABCD，若AE2，CE4BE，那么这个矩形的面积是 8 . 第8题图 第9题图10. 定义符号的含义为：当时；当时，如：，则的最小值是_. 三. 解答题（共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（满分8分）对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，.（1）求的值；（2）若，求的值.解：根据题意，易得： -2分 解得： -4分 （2）化简原式-6分根据,可求得，代入原式.-8分12.（满分8分）关于的方程.（1）若这个方程有两个不等实根，且一个根为2，求k的值；（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值解: （1）由题意得0化简得 0，解得k5-2分又解得： -4分（2）设方程的两个根为，根据题意得，-5分-6分解得：由（1）知，符合条件。-8分1613. （满分10分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示(注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天)（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？图（2）图（1）解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为 -4分（2）设t时刻的纯收益为y，则由题意得yPQ，即 -6分当0t200时，配方整理得y(t50)2100，所以，当t50时，y取得区间0，200上的最大值100；-8分当200t300时，配方整理得y(t350)2100，所以，当t300时，y取得区间（200，300上的最大值87.5-9分综上，由10087.5可知，y在区间0，300上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 -10分14（满分10分）已知抛物线与轴交于两点，与y轴正半轴交于点C（0，b），O为原点,且.（1）求抛物线的解析式及A、B、C点的坐标；.（2）点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设APk，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由. 解：（1）抛物线图象如图所示，依题意： -1分 即，而，-2分所以有，解得（舍去） -3分从而为所求的抛物线解析式； 令得A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）-5分 （2） 与相似有两种情况：当PQAC，APOQk，由，得，解得 -7分 当PQ与AC不平行，设有ACBMPB，过B作AC的垂线，垂足为D，利用,求得BD，由RtCDBRtPOQ，则有，即，化简得,解得或，但由CQ4-k，知0k4，所以只有k2 -9分综上所求的k值是或k2. -10分 15. （满分12分）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、 （1）求证：PCPQ； （2）若,求的长； （3）求证：解：（1）证明：C是的中点，CADABCAB是O的直径，ACB90。CADAQC90又CEAB，ABCPCQ90AQCPCQ在PCQ中，PCPQ -4分（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC，CF8，得.由勾股定理，得AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC，得.易知RtACBRtQCA，。-8分（3）证明：由得：,又,-12分16（满分12分）若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2， ，规则是：第1个数是1，其后写1个2，第3个数是1，其后写2个2，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k1个1之间插入k个2（k1，2，3,）.试问：（1）第2017个数是1还是2？（2）前2017个数的和是多少？前2017个数的平方和是多少？（3）前2017个数两两乘积的和是多少？解：（1）把该列数如下分组：1 第1组 2 1 第2组 2 2 1 第3组 2 2 2 1 第4组 2 2 2 2 1 第5组 -2 2 2 2