初中数学竞赛训练题.doc

数学竞赛训练题一一选择题（每小题6分，共36分）1如果， ，那么的值是（ ） 2. 设函数，f（2）9，则（）A. f（2）f（1）B. f（1）f（2）C. f（1）f（2）D. f（2）f（2）3已知二次函数满足则的取值范围是( )A. B. C. D. 4如图1，设P为ABC内一点，且，则ABP的面积与ABC的面积之比为 ( ) A. B. C. D.5. 设在平面上，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示图形的面积是( )A. B. C. 1D. 6方程的正整数解的组数是（ ）A1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组二填空题（每小题9分，共54分）7函数的单调递增区间为 .8已知，则的值是_.9.设是一个等差数列，记，则的最小值为 10函数满足，且对任意正整数都有，则的值为 11.已知,则x2+y2的最大值是 12对于实数x，当且仅当nxn1（nN）时，规定xn，则不等式的解集为三解答题（每小题20分，共60分）13设集合A=，B=，若AB，求实数a的取值范围.14三角形ABC的顶点C 的坐标满足不等式.边AB在横坐标轴上.如果已知点Q(0,1)与直线AV和BC的距离均为1,求三解形ABC面积的的最大值.15设函数的定义域为R，当时，且对任意实数，有成立，数列满足且（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.数学竞赛训练题一参考答案1B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.D 7. 8. 9 10 11 9 12 13. 解:a(-1,0)(0,3)14解：点C在如图的弓形区域内.设，由点Q到直线AC，BC的距离等于1得这说明是方程的2个根.所以 这里.首先固定，欲使最大，需 因此当为某一定值时，点C应位于弓形弧上.所以时取等号) 数学竞赛训练题二数学竞赛训练题三一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_.11我们注意到6!=8910，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为_.12对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_.三、解答题（每小题20分，共60分）13已知a, b, cR+，且满足(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，Q与P相外切，Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得MAN为定值。求MAN的度数。15已知a0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2；（2）当b1时，证明：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件。数学竞赛训练题三答案一、选择题1由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则an-1是以8为首项，公比为-的等比数列，Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6(-)n，|Sn-n-6|=6()n250，满足条件的最小整数n=7，故选C。2设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为，PC与面PAB所成角为，则VS-PQR=SPQRh=PQPRsin)PSsin。另一方面，记O到各面的距离为d，则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,SPQRd=SPRSd+SPRSd+SPQSd=PQPRsin+PSPRsin+PQPSsin，故有：PQPRPSsin=d(PQPR+PRPS+PQPS)，即=常数。故选D。3xn+1=，令xn=tann，xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，有。故选A。4设向量=(x, y)，则，即，即. 或，SAOB=1。5设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又HQ=PH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。故选C。6由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180，所以3A+B=180，因此sinB=sin3A，3sinA-4sin3A=2sinA，sinA(1-4sin2A)=0，又sinA0，所以sin2A=，而sinA0，sinA=。因此A=30,B=90,C=60。故选B。二、填空题7。由对称性只考虑y0，因为x0，只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故=16(u2-3)0。846个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。9 解考虑M的n+2元子集P=n-l，n，n+1，2nP中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以kn+3 将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1in 对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i 2、i 3两两不同)又将M的元配为n-1对，C i (i，2n-i)，1in-1对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310。若t2-40，即t2，则由x(|x|1)恒成立，得, t+1t2-4, t2-t-50解得，从而t-2或2t。若t2-4=0，则t=2符合题意。若t2-40，即-2t2，则由-t2+4; t2+t-30，解得：t，从而t2。综上所述，t的取值范围是：t0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此yN*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数t-4时，f(t)0，因t-4，故-(t+2)0，由得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。三、解答题13解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+(a+2c)+(b+2c)2(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以。当a=b=2c0时等号成立。故k的最小值为100。14以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, )，Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=1+r。所以x=, tanMAN=，令2m=h2+k2-3，tanMAN=，所以m+rk=nhr，m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=，所以tanMAN=h=。所以MAN=60或120（舍）（当Q(0, 0), r=1时MAN=60），故MAN=60。15（1）证：依题设，对任意xR，都有f(x)1。f(x)=-b(x-)2+，f()=1，a0, b0, a2。（2）证：（必要性），对任意x0, 1，|f(x)|1-1f(x)据此可推出-1f(1)即a-b-1，ab-1。对任意x0, 1，|f(x)|1f(x)1，因为b1，可推出f()1。即a-1，a2，所以b-1a2。（充分性）：因b1, ab-1，对任意x0, 1，可以推出：ax-bx2b(x-x2)-x-x-1，即：ax-bx2-1；因为b1，a2，对任意x0, 1，可推出ax-bx22-bx21，即ax-bx21，-1f(x)1。综上，当b1时，对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2。（3）解：因为a0, 00, 0(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_.11边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。12对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_.三、解答题（每小题20分，共60分）13已知a, b, cR+，且满足(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，Q与P相外切，Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得MAN为定值。求MAN的度数。15 数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n数学竞赛训练题四答案一、选择题1设函数如果那么的值等于（ ）A3 B7 C-3 D-7解：取，而当，所以，故选C.2已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D3给定数列xn，x1=1，且xn+1=，则=（ ）A，1B-1C2+D-2+解：xn+1=，令xn=tann，xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，有。故选A。4已知，定义，则（）A B C D解：计算可知是最小正周期为的函数。即得，所以，故选C.5已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则（）A B C D解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C.6在ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则ABC（ ）A是等腰三角形，但不是直角三角形B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180，所以3A+B=180，因此sinB=sin3A，3sinA-4sin3A=2sinA，sinA(1-4sin2A)=0，又sinA0，所以sin2A=，而sinA0，sinA=。因此A=30,B=90,C=60。故选B。二、填空题7若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_.答案：。由对称性只考虑y0，因为x0，只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故=16(u2-3)0。8如果：（1）a, b, c, d都属于1, 2, 3, 4（2）ab, bc, cd, da（3）a是a, b, c, d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_.答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。9设则关于的方程的所有实数解之和为 答案：4解：令变形为可以发现函数是R上的减函数。又因为，从而关于的方程的解分别为0、1、3，10若对|x|1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_.答案：。解：若t2-40，即t2，则由x(|x|1)恒成立，得, t+1t2-4, t2-t-s0解得，从而t-2或2t。若t2-4=0，则t=2符合题意。若t2-40，即-2t2，则由-t2+4; t2+t-30，解得：t，从而t2。综上所述，t的取值范围是：t0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此yN*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数t-4时，f(t)0，因t-4，故-(t+2)0，由得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。三、解答题：13已知a, b, cR+，且满足(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+(a+2c)+(b+2c)2(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以。当a=b=2c0时等号成立。故k的最小值为100。14已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，Q与P相外切，Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得MAN为定值。求MAN的度数。解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, )，Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=1+r。所以x=, tanMAN=，令2m=h2+k2-3，tanMAN=，所以m+rk=nhr，m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=，所以tanMAN=h=。所以MAN=60或120（舍）（当Q(0, 0), r=1时MAN=60），故MAN=60。15 数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n解 由题设易知，又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时， 由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数于是依次可得：， 是偶数，是奇数，是偶数，是奇数，是偶数，是偶数， ，是奇数， ，是偶数，是奇数，是偶数，所以，解得，n238 数学竞赛训练题五（扬州市20062007调研测试试题）一选择题1设全集=，则等于 A B C D2的展开式中，含有的正整数次幂的项共有 A4项 B3项 C2项 D1项3高三（10）班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：123456甲122120125116120117乙118125120122115120 仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是 A甲稳定B乙稳定 C甲与乙一样稳定 D不能确定4设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分不必要条件是 A