应用概率统计试题解答.doc

应用概率统计试题解答天水市麦积区教师进修学校 王景昕一、填空题：1设是3个随机事件，则“三个事件中恰有两个事件发生”用表示为 ；答： 恰好有一个事件发生表示为，至多有一个事件发生表示为，至少有一个事件发生表示为，至少有两个事件发生表示为，至多有两个事件发生表示为，三个事件都发生表示为，三个事件都不发生表示为。其中至多有两个事件发生的对立事件是三个事件都发生。2若事件相互独立，且，则= ；答：0.625由于事件相互独立，因此有，从而得到3设的概率分布为，则 ；答：根据归一性，应当有，即，求得4设随机变量服从二项分布，已知，则参数= ；答：二项分布的期望，方差，将两式进行比较，可有，即。5设 是来自的样本，则 ；答：6设随机变量与相互独立时，则方差 ；答：随机变量与相互独立时有，从而有。7设为二维随机向量，与的协方差定义为 ；答：若存在，则称它为随机变量与的协方差，记为，即。8是来自总体的一个样本，则 ；答：， 。更一般地，设是来自于正态总体的样本，是样本均值，样本方差，则，。9若总体，且已知，用样本检验假设：时，采用统计量是 ；答：在 为真的条件下该统计量服从分布。10设总体，则的最大似然估计为 。答：的最大似然估计为，的最大似然估计为。二、判断题：1两个事件互斥与相互独立是完全等价的； 答：错。互斥与相互独立没有必然关系，互斥未必独立，独立未必互斥。2对于任意两个事件，必有； 答：对。根据德摩根律，。3是取自总体的样本，则服从分布； 答：错。应当服从分布，因为 。4设，则表示； 答：对。其中。5以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。答：错。对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。相当于。6设表示3个事件，则表示“都不发生”； 答；对。7为两个事件，则（全集）； 答：错。8设，且，则=8； 答：对。二项分布的期望，方差，将两式进行比较有，即，代回期望得=8。9设总体， ,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 答：错。由于，因此是的有偏估计。10经过显著性检验而没有被拒绝的假设一定是正确的假设。 答：错。经过显著性检验而没有被拒绝的假设不一定是正确的假设，仍然有“存伪”的可能。 三、计算题1若从10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不放回，试求第二次取出的是次品的概率。解：令“第次取出的是次品”，。由古典概型的概率计算公式易知； 又因为第一次取出后不放回，所以，； 因此利用全概率公式可得所求的概率为。 注：第二次取出次品是在不放回的条件下，符合条件概率的定义要求。同时，第一次取出次品和第一次取出正品可以作为样本空间的一个划分，符合全概率公式的要求。2设，试求的概率密度为。解：因为随机变量服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：； 进而，将代入上述表达式可得所求的密度函数为：。 3设随机变量的密度函数为，试求常数。解：由题设可知随机变量的密度函数为，其中为常数。利用密度函数的归一性质，可得：，解得。 4设的均值、方差都存在，且，令，试求与。解：； 。 注：由于的均值（即期望）、方差都存在，是常数，因此有，。5设两个相互独立的随机变量的和的方差分别为4和2，试求随机变量的方差。解：由题设知与相互独立，利用方差的性质可得。 又因为，代入上式可得=。 6设随机变量服从参数为的普阿松分布，且已知，求参数的值。解：由题设知，得； 再由假设； 即有，所以。 注：根据方差的定义可知，从而有。7设总体服从参数为的普阿松分布，它的分布律为，是取自总体的样本，试求参数的最大似然估计量。解：似然函数为， 似然方程为， 解得.因为的二阶导数总是负值，可见，似然函数在处达到最大值。所以，是的最大似然估计。 四、证明题：设服从区间上的均匀分布，试证