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1 第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法 .2 第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 .7 第五章第五章 非线性方程和方程组的数值解法非线性方程和方程组的数值解法 .10 第六章第六章 插值法与数值微分插值法与数值微分 .14 第七章第七章 数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近 .19 第八章第八章 数值积分数值积分 .23 第九章第九章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 .28 2 第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法 1、用 LU 分解法求如下方程组的解 （1）， （2） 3351 3590 59171 3235 2203 30127 X 解：（1） 1335 1124 52 21 33 AL U A 4 (101)(1,1,) 3 39 (, 2) 22 TT T L YY UXYX A （2） 1323 3235 22 220123 33 30127 1313 b 15 5 21 13 33 7 1311 yy 32351 211 2 332 131 3 XX 3 2、对 4 阶矩阵进行 LU 分解 2426 49615 26918 6151840 A 解： 242612426 4961521123 2691812136 615184033211 A 3、用高斯列主元素消去法解线性方程组 123 123 12 231 4254 27 xxx xxx xx 123 123 123 11323 23110 221 xxx xxx xxx 解：对增广矩阵进行初等行变换 32 21 31 5 () +(-2)r 8 1 () 2 213121312131 425404120412 12075313721 000 22284 rr r rr 同解方程组为 123 23 3 231 42 721 84 xxx xx x 回代求解得(9, 1, 6)TX 此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法 21 21 31 1 () 2 1 () 4 4254 21314254 1 42542131021 2 12071207 35 06 24 rr rr rr 4 32 3 4 4254 1 021 2 721 00 84 rr 得同解方程组 123 23 3 4254 1 21 2 721 84 xxx xx x 回代求解得 (9, 1, 6)TX 21 21 31 11 23 1 23 231110 11323231110 5235 2311101132303 2323 12211221 5747 01 2323 rr rr rr 32 32 52 () 57 231110231110 57475747 0101 23232323 5235193223 0300 23235757 rr rr 得同解方程组 123 23 3 23110 5747 01 2323 193223 00() 5757 xxx xx x 回代得 (0.212435,0.549222,1.15544)TX 5 4、用 Jordan 消去法解矩阵方程，其中：AXB ， 112 221 111 A 01 10 01 B 解：容易验证，故 A 可逆，有 .因此，写出方程组的增广矩阵，0A 1 XAB A 对其进行初等变换得 111101111011110 122010111101111 211100313000263 10021 10021 1 011110102 2 3 30013 0013 2 2 1 21 1 2 2 3 3 2 XAB A 5、用 LU 分解法求解如下方程组 1 2 3 25610 4131919 63630 x x x 解： 100256 210037 341004 ALU 1 2 3 123 110 2119 34130 10,19201,34304 (10, 1,4)T Lyb y y y yyy y (1)解 得 即 6 1 2 3 321 (2) 25610 371 44 1,2,3 (3,2,1)T Uxy x x x xxx x 解 解得： 所以方程组的解为。 7 第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 1、 113 112 132 aaa AaaorAaaR aaa 若 Jacobi 迭代收敛，求的范围a 解：（1） 、时的 Jacobi 迭代矩阵 1 1 1 aa Aaa aa 0 0 0 aa Baa aa 2 (2 )() aa EBaaaa aaa Jacobi 迭代收敛 21 11 ( )1 122 a Ba a （2） 、Jacobi 迭代矩阵 13 12 32 a Aa a 13 1 102 320 a B a 13 2121 1213 2332 32 aa aaaa EB aaaa aaaa aa = 2 222 41 16323 ()()() aa aaa aa A 22 222 484 ()() aaa 123 22 0ii aa 8 Jacobi 迭代收敛 1 2 3 1 2 ( )1112 1 Bia a 2、讨论的 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的收敛性AXb 其中， 122 111(1,1,0) 221 T Ab 解：Jacobi 迭代法的迭代矩阵 1 1022 1()101 1220 J BIA 则 3 0()01 JJ IBB Jacobi 迭代收敛 Gauss-Seidel 迭代矩阵 1 10221022022 11011101021 22104210086 G S B 2 2 (44)0()22 21 G S IBB Gauss-Seidel 迭代发散 3、讨论下列迭代法的收敛性 的 G-S 迭代AXb 211 131 125 A (1)( )Kk XBXb 0.10.20.30.1 0.50.10.20.1 0.020.30.20.3 0.50.10.20.05 B 解： 1 00.50.5 11 ()0 66 11 0 306 DLUB A 9 2 1 (30101)0 30 EB 12 3 1020 0 2 30 A 1=1 i GaussSeidel 故（B) m ax迭代收敛 ，故 B 的谱半径，由迭代法收敛的充分必要|0.91B ( ) |1BB 条件知该迭代格式收敛 10 第五章第五章 非线性方程和方程组的数值解法非线性方程和方程组的数值解法 1、给定函数，设对一切，存在且( )f xx ( ) fx 0( )mfxM 证明：，迭代过程均收敛于的根 2 0 M 1 () kkk xxf x ( )0f x 证明：的等价形式为( )0f x ( )xxf x 则对应的迭代函数 1 () kkk xxf x ( )( )xxf x ( )1( )xfx 0( ) 0( )2 0( )2 111( )11 mfxM mfxM mfxM mfxM A ( )1( )max 1,11xfxmM 易证有根，故迭代过程收敛于的根( )0f x 1 () kkk xxf x ( )0f x 2、证明：所产生的序列收敛于的 01 ,cos(0,1,2) kk xRxx k 由cosxx 根 证：考虑区间1,1 1,1,( )cos1,1 1,1,( )sinsin1 1 xxx xxx 所得序列收敛于的根 01 1,1cos kk xxx 由cosxx ，将看作新的迭代初值，则由知序列 010 ,cos1,1xRxx 1 x 必收敛于的根cosxx 3、利用适当的迭代格式证明 11 2 lim2222 k k 个 证：考虑迭代式则 1 0 2(0,1,2,) 0 kk xxk x 1 2 2 22 222 k x x x 显然0,2 k x 记迭代函数 1 ( )2,0,2( ) 2 2 xxxx x 则: 10,2x 有( )0,2x 2 2 1 ( )(0)1 2 x 由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知 所产生序列收敛于的根 01 0,22 kk xxx 由( )2xxx 在上解方程得惟一根 x=2。0,22xx lim2 k k x 4、研究求的牛顿公式a 1 1 (),0,0,1, 2 kk k a xxxk x 证明：对一切，且单调递减，从而收敛。1,2, k kxa k x 分析，令 22 ,0,0,( )xa xxa xf xxa则令 由牛顿公式 2 1 ()1 () ()22 kk kkkk kkk f xxaa xxxx fxxx 证： 0 0,0,0,(1,2,) k axxk故 12 1 11 ()2 22 kkk kk aa xxxa xx A AA 1 2 1 (1)1 2 k kk xa xx 单调递减有下界，必收敛 k x 5、设，应如何选取 才能使迭代式具有局部收敛 2 ( )(3)xxc xc 1 () kk xx 性 解：迭代格式 2 1 0 ()(3)0,1,2, kkkk xxxc xk x 给定 局部收敛，设迭代序列的极限值为，则有 2 (3)c 得33 或 ( ) 12xcx 当由局部收敛定理知 1 ( 3)1,12 31,0 3 cc即即时, 迭代格式局部收敛于 1 () kk xx 3 当由局部收敛定理知 1 31,12 310 3 cc（）即，即时, 迭代格式局部收敛于 1 () kk xx 3 6、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明 1 1 1 1 x 51 2 x 解：令 12 111 ,1, 11 1 1 11 1 11 n xxx 其中，中有 n 条分数线 n x 则： 1 1 ,lim 1 nn n n xxx x 且 13 令 1 1 ( )() 1 nn f xxf x x 则 显然， 01 1 0,(0,1),1 ,2,3, 2 k xxxk 我们不妨在上讨论迭代式的收敛性 1 ,1 2 1 () nn xf x ： 111 ,1 ,( ),1 212 xf x x ： 2 114 ,1 ,( )1 2(1)9 xfx x ： 1 12 ,1 2 1 ( ) 1 fxC x 由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序 01 11 ,1 ,() 21 kk k xxf x x 列必收敛于方程的根。 1 ( ) 1 xf x x 解方程得 1 1 x x 51 2 x 51 lim 2 n n x 即： 151 1 2 1 1 14 第六章第六章 插值法与数值微分插值法与数值微分 1、设，且，求证 2 ( ),f xca b( )( )0f af b 2 () max( )max( ) 8 a x ba x b ba f xfx 证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为, a b 1( ) ( )( )0 xbxa L xf af b abba 由插值余项定理 1 ( ) ( )( )()()( , ) 2! f f xL xxa xba b 2 ( )1 ( )()()max( ) max ()() 2!2 1 () max( ) 8 aba x b a x b f f xxa xbfxa xb bafx A 2、试构造一个三次 Hermite 插值多项式，使其满足： (0)1,(0)0.5,(1)2,(1)0.5HHHH 解：（法一）首先构造如下的基函数表 则： 22 11 ( )()(1)( )(21)(1)xaxb xxxx 22 22 ( )() (0)( )( 23)xaxbxxxx AA 22 11 ( )(1)( )(1)H xax xH xx x 函数值导数值 0101 1( ) x 1000 2( ) x 0100 1( ) H x 0010 2( ) Hx 0001 15 22 22 ( )(1)( )(1)Hxa xxHxxxAA 2222 11 ( )(21)(1)2( 23)(1)(1) 22 H xxxxxx xxxAA （法二）：令则 23 0123 ( )H xaa xa xa x 2 123 ( )23H xaa xa x 23 0123 23 0123 2 123 2 123 0001 1112 20300.5 21 310.5 aaaa aaaa aaa aaa 0123 13 11 22 aaaa 23 13 ( )1 22 H xxxx 3、确定一个不高于四次的多项式 H(x)，使得： (0)(0)0,(1)(1)(2)1HHHHH 解：（法一）首先构造如下的基函数表 则： 22 00 222 11 2222 22 51 ( )()(1) (2)( )()(1) (2) 42 ( )()(2)( )(2) 1 ( )(1)( )(1) 4 xaxb xxxxxx xaxb xxxxx xa xxxxx 22 00 22 11 1 ( )(1)(2)( )(2)(1) 2 ( )(1)(2)( )(1)(2) xa xx xxx xx xa xxxxxxx A A AAA 函数值导数值 01201 0( ) x 10000 1( ) x 01000 2( ) x 00100 0( ) x 00010 1( ) x0 0001 16 01201 22222 22 ( )0( ) 1( ) 1( )0( ) 1( ) 1 (2)(1)(1)(2) 4 1 (3) 4 H xxxxxx xxxxxxx xx AAAAA （法二）令 234 01234 ( )H xaa xa xa xa x 则 23 1234 ( )234H xaa xa xa x 234 012340 234 01234 234 01234 23 12341 23 1234 000000 11111 22221 20304000 21 31411 aaaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaa 得 234 2222 931 ( ) 424 11 (96)(3) 44 H xxxx xxxxx 4、求三次多项式，使得 3( ) P x 3333 (0)(0)0,(1)1,(2)3PPPP 解：令 23 0123 ( )P xaa xa xa x 则 2 123 ( )23P xaa xa x 23 01230 2 1231 23 012323 23 012323 00000 203000 11111 2223483 aaaaa aaaa aaaaaa aaaaaa 232 3 511 ( )()(5) 444 P xxxxx A 5、求一个次数3 的多项式，使得，)x(P31)0(P32) 1 (P3 2 1 ) 1 (P)0(P 3 3 解：令 23 0123 ( )P xaa xa xa x 则 2 123 ( )23P xaa xa x 2 3 5 4 1 4 a a 17 23 0123 2 123 23 0123 2 123 0001(1) 20300.5(2) 1112(3) 21 310.5(4) aaaa aaa aaaa aaa 由（1）得 0 1a 由（2）得 1 0.5a 由（3）得 （5） 0123 2aaaa 由（1）得 （6） 123 230.5aaa 把、代入（5） 、 （6）得 0 1a 1 0.5a 、 2 1.5a 3 1a 23 ( )1 0.51.5P xxxx 6、给出概率积分的数据表如下： 2 0 2 ( ) x x y xedx x 0.460.470.480.49 ( )y x 0.4846550.4937450.5027500.511668 试用拉格朗日插值法计算时，该积分值等于多少？0.427x 解：记 1234 1234 0.460.470.480.49 0.4846550.4937450.5027500.511668 xxxx yyyy 将看成的函数，以为插值节点作的 3 次插值多yx( )yy x 1234 ,x x x x( )y x 项式: 18 311223344 234134 12 121314212324 ( )( )( )( )( ) ()()()()()() ()()()()()() L xy l xy lxy l xy lx xxxxxxxxxxxx yy xxxxxxxxxxxx AAAA 123124 34 313234414243 ()()()()()() ()()()()()() xxxxxxxxxxxx yy xxxxxxxxxxxx 3 (0.472)(0.472) 0.023263440.426595680.1085940.016373376 0.495582864 yL 当时，概率积分0.472x 20.472 0 2 (0.472) x yedx 0.495582864 7、利用在处函数值计算的近似值并估计误差.yx 012 100,121,144xxx115 解： 过点（100，10） 、 （121，11） 、 （144，12） ，yx 令 001122 100,10,121,11,144,12,xyxyxy 则的二次 Lagrange 插值多项式yx 20 01 12 2 ( )( )( )( ) (121)(144)(100)(144) 1011 (100 121)(100 144)(121 100)(121 144) L xy lxy l xy lx xxxx (100)(144) 12 (144 100)(144 121) xx 2 115(115)(115)10.722756 ( ) |(115)| |(115 100)(115 121)(115 144)|100,144 3! yL y R 5 2 5 2 3 13 |15 6 29| 3! 8 13 10015 6 29 68 1.63125 10 19 第七章第七章 数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近 1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合 2 yabx 解：（法一）建立超定方程组 2 2 2 2 2 19.019 32.325 49.031 73.338 97.844 ab ab ab ab ab A A A A A 即： 2 2 2 2 2 19.0119 32.3125 49.0131 73.3138 97.8144 a b A 解 2 2 2 22222 2 2 119 125 11111 131 1925313844 138 144 a b 22222 11111 1925313844 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 得 55327271.4 53277277699369321.5 a b 0.972606 0.0500351 a b （法二）利用公式建立正规方程组 i x 1925313844 i y 19.032.349.073.397.8 20 555 2 111 555 2222 111 1 ii iii iiiii iii xy a b xxxx y A 55327271.4 53277277699369321.5 a b 0.972606 0.0500351 a b 2、求形如的经验方式，使它能和下表数据相拟合( ,0) bx ya ea baA为常数且 解：对经验方式作变换，有，令 bx ya e Alnlnyabx ，为了用最小二乘法求出转化为ln ,ln ,yyAayAbx 则,( ,) ii A bx y将 ( ,) ii x y （法一）建立超定方程组 1.6291.00 1.7561.25 1.8761.50 2.0081.75 2.1352.00 Ab Ab Ab Ab Ab 即： 11.001.629 11.251.756 11.501.876 11.752.008 12.002.135 A b A i x 1.001.251.501.752.00 i y 5.105.796.537.458.46 i x 1.001.251.501.752.00 i y 1.6291.7561.8762.0082.135 21 得正规方程组 11.00 11.25 11111 11.50 1.001.251.501.752.00 11.75 12.00 A b 11111 1.001.251.501.752.00 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135 即： 555 2 111 555 22 111 1 ii iii iiii iii xy A b xxx y 57.59.404 7.511.87514.422 A b 解之得： 0.5056 1.12240.5056 3.0722 3.0722 A x Ab ae ye 3、解超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy 解：由得正规方程组 2411 353 126 217 x y 2411 23123523123 45211245216 217 x y 22 即： 18351 34648 x y 解之得 3.0409,1.2418xy 23 第八章第八章 数值积分数值积分 1、用复化梯形求积公式求的近似值，问要将分成多少等分才能保 1 0 x e dx 0,1 证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢？ 解：要求结果有四位有效数字此处误差 4 1 10 2 2 ( ,)( )0,1 12 1 1 01( ) n x ba R f Th f ba bahfxe hn A 要使 2 4 22 111 ( ,)( )10 1212122 n h R f Tfe nn A 只需 24 1 10,40.841 6 nnn即 若用复化抛物线公式，则 4 4(4)4 4 11 ( ,)( )10 2880288028802 n bah R f Sh fe n 2n 故：用复化梯形求积公式至少需要 41 等分才能保证结果有四位有效数字， 而用复化抛物线公式只需 2 等分就可以保证结果有四位有效数字。 2、对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式计算所需节 3 1 sin x exdx A 6 10 点数是多少？ 解： 6 ( )sin 1,3,10 2 , x f xexab ba h nn A 则 22 312 (,)( )( )( ) 1212 n ba R f Thff n AAA 2 2 () 1,3 3 f n ( )2sin() 4 ( )2cos x x fxex fxex 24 3 1313 max( )max 2cos2 x xx fxexe 3 3 22 214 ( ,)2 33 n e R f Te nn 要使，只需( ,) n R f T 3 2 4 3 e n 即： 3 3 4 2105175.01 33 ee ne 5176n 取 要使误差小于，至少要取 5176 个节点 6 10 3、用 Romberg 方法求，使误差不超过 1 0 x Ie dx 5 1 10 2 解： k ( ) 0 k T (1) 1 k T (2) 2 k T (3) 3 k T 01.8591409 11.75393111.7188612 21.72722191.71831881.7182827 31.72051861.71828421.71828181.7182818 (0)(0)75 32 1 9 1010 2 TT 4、用 Romberg 求积法求积分的近似值要求误差不超过 1 2 0 4 1 Idx x 4 1 10 2 解：，则 (1)( ) ( ) 11 2 44 ( )01 141 mkk k mm m m TT f xabT x i x( ) i f x 04.0000000 12.0000000 0.53.2000000 0.253.7647059 0.752.5600000 0.1253.9384615 0.6252.8764045 25 0.8752.2654867 按公式计算如下： k ( ) 0 k T (1) 1 k T (2) 2 k T (3) 3 k T 03.0000000 13.10000003.1333333 23.13117653.14156783.1421176 33.13898853.14159253.14159413.1415858 43.14094163.14159273.14159273.1415926 4 21 1 | |3.1459263.1415858|10 2 RR 故为所求近似值 1 2 2 0 4 3.1415926 1 dxR x 5、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分，并比较它们的精 1 2 1 cosxxdx 度，准确值为 0.478267254 解：设 2 ( )cos ,(1)( 1)0.540302305,(0)0f xxxfff则 由抛物线（辛普森）公式 1 2 1 22 cos( 1)4 (0)(1)0.540302305 63 0.360201537 xxdxfff 由三点高斯公式 1 2 1 53853 cos()(0)() 95995 xxdxfff 而 33 ()()0.428821915,(0)0 55 fff 故 1 2 1 53 cos2()0.476468795 95 xxdxf 与准确值比较知：Simpson 公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两 位有效数字。 6、确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度 1 1 1 ( )( 1)2 ( )3 ( ) 3 f x dxfff 26 解：当时，左边( )1f x 1 11 2dx 右边 1 12 1 3 12 3 左边=右边 当时，左边( )f xx 1 1 0xdx 右边 1 123 3 当时，左边 2 ( )f xx 1 2 1 2 3 x dx 222 1 ( 1)23 3 右边 要使求积公式具有 2 次代数精度，当且仅当 22 1 ( 123 )0 3 12 (123) 33 即 22 231 231 得或 1 1 16 5 32 6 15 2 2 16 5 32 6 15 将代求积公式得 11 (,) 1 1 11632 6 ( )( 1)2 ()3 () 3515 f x dxfff 当时，左边 3 ( )f xx 1 3 1 0x dx 右边 333 11632 6 ( 1)2 ()3()0 3515 左边右边，故此时求积公式具 2 次代数精度； 将代入求积公式得 22 (,) 1 1 11632 6 ( )( 1)2 ()3 () 3515 f x dxfff 27 当，左边 3 ( )f xx时 1 3 1 0x dx 右边 3 11632 6 12()3()0 3515 左边右边，故此时求积公式具 2 次代数精度 综上：时，所得求积公 1632 61632 6 , 515515 或 式具最高代数精度 2。 28 第九章第九章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 1、用 Euler 预估校正格式求解初值问题 2 sin0 (1)1 dy yyx dx y 要求步长，计算的近似值0.2h (1.2)(1.4)yy及 解：设 2 000 ( , )sin ,1,1,1 0.2 n f x yyyxxyxxnhh Euler 预估校正式为 1 111 (,) (,)(), 2 nnnn nnnnnn yyhf xy h yyf xyf xy 2 1 2 2 1111 0.2(sin) 0.1(sinsin) nnnnn nnnnnnnn yyyyx yyyyxyyx 由计算得： 0 1y 1 1 0.631706 (1.2)0.715489 y yy 2 2 0.476965 (1.4)0.526112 y yy 2、用欧拉法解初值问题 10 (1)(01.0) (0)0 yxyx y 取步长，保留 5 位有效数字，并与准确解相比较0.1h 2 5 1 x ye 解：0.1,0,1,2,10 i hxihi 2 5 ( , )10 (1)( )1 x f x yxyy xe 欧拉公式如下： 1 0 ( ,)10(1) 0 iiiiiii yyhf x yyhxy y 即： 1 (1)0,1,9 0 iiii o yxxyi y A 计算结果如下表所示 29 i i x i y( ) i y x( ) ii y xy 10.100.0487710.048771 20.20.100000.181270.081269 30.30.280000.362370.082372 40.40.496000.550670.054671 50.50.697600.713500.015895 60.60.848800.834700.014099 70.70.939520.913710.025814 80.80.981860.959240.037132 90.90.996370.982580.013792 101.00.999640.993260.006378 3、对初值问题步长为时，用梯形公式得近似解， (0)1 dy y dx y h 2 () 2 n n h y h 时，收敛于准确解0h n y 解： ln x c dy yydxyxCye y 又，故（准确值）(0)1y x ye 0, ,xR x-0 考虑区间 0, x , 步长为h时，等分数为n，显然有h= n 由梯形公式( , )f x yy 111 1 (,)(,) 2 2 nnnnnn nnn h yyf xyf xy h yyy 21 110 222 ()() 222 2 () 2 n nnn n n hhh yyyy hhh h y h AAA 30 000 0 2 2 limlim()lim() 0 2 2 nn n hhh x h n y x h n 11 22 1111 1 2222 2 2 11 lim()lim(1)lim(1)lim(1) 11 22 22 111 lim(1)lim(1)lim(1)1 111 222 n nnnx x nnnn nn xxxx xx