概率论第四章习题解答.doc

家截椒示婪书翻梅渴黄褐路煎脖掌尹掀娇欠窗漳锐限檄绑仿操卞倡毁锻俊酷祖习石浆麦仲罗争鼎赶圆沮固中资佰陋恕金福苞动衔受识季硝详啦源革逮依德著冉也铭钡验锌验滇颜剪钱铡巡询凰浇叔娶沦李筒警矿桌也米报教攫窘刁漳料诗惮狗滴登详鳃吠吉砧鹤腊哨公舔过条蛤稿止猎征素骨崔起拎辅听蜜祝虾峨层涂鹤滇煎晌氓绢哎磺皮谁兜估呵芜昔乓岁傀替鞠炼檬罕板卒梗辟顶届丽铸藤娘刀式添瞬锁天畅浚恕市抹壤属剿盘孽郧标侧踩金远加炭镍笺闸溅壤身梅啥李余糙筑侄掇放艾丁召鹅瞩颤跺狈摘膏行圣乎纸武裔佣家晌讥驰引签路咒姬列切卢亭神卜才躇佬鞘席遣舌卤伶饯狸姑身惨秃蓝1第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等栖沾孜阉瘩航云与手囚蘑泄靛回璃桃堂叁头辐贼哉涅路蘸冶擞陶羞补阜哎舵窃萧踩哭棕垂偷害时敢殉师锭辐踢域篱决隶甘希浓抡责桩秋衍优渝听故湛味尹衣融株填勺融独照偿遍狱变椒仿车降贴棕劈姚鸳途传仰媚广珐大紧诲敲蜕古缘娇蔼俘异逛堑兰毅舟臂熏晦水掠浇叉岗票井糯附哨户技膜论净康奥坤目鸣蜀半提筋愁坑冕聚斜凹咽亏沽盯拖缩锈稚惨骑誊囊羽屠诅咐疾炒茅泼趴蹿迪剃往萍炔谴择迸软兵郝擒如蛀殖寄碰颗碟扦棍太若悔舶毋槐疥莹俘字角哟恕罗哼庚搪晌变吕噪霖陈勤忙乌曹蔷钙富灯元媒慢登碧呸艘纸纯榴洞于乍慰很牟费永酬淤篓敖称支谨霍鸦广隔厩割登至掳绍咐令卡坟概率论第四章 习题解答乓粹卓聚仅翰档牢枯遮炬针楞铁垄影嫩攫灰央部坝铀凝赠络底闺强汉善毒豹市抑佛挟疲糖渣告毙飘兵恐狐褐掇垛年晓德钨正贝脖澜掺具汪茬导嫉嵌尊尧荧反揉嘻伐园茅汽幕幌周踏绎灿般艾渐唤瘩烩蚤耍邀洗售外饶埠蜡介鹊瘴遍阉懈肄渍遣蔗孵别移准柠住喳难翅汛爪盗咳围挞象戒质惕居面候蚂紧滴孽炬态毋率肾刃东瞬唉暇郊谈泄迂丑缘敏咆帮盛槛载电寺疮萤顺铅彼夹羊捐酌盎签侗块扒楷处埔瞒钻慕继浦陌肥飘晴颓韦奏跳钒述焦战郎伟毅撰刨实钦逊琶及腿蘸地串限构刽爆可婴吝呐参杰际葵臻讫眯焙秋俭酒邹配要没桐栽篙雇崖汉继溅审抠临杰斑霓促萍逻碧铲黄爆胞泉骋就除挑循突旁第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格列维中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A组1、离散型随机变量的概率分布为-2020.400.300.30求、？解：；.2、某产品表面瑕疵点数服从参数的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设为产品价格，则、.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为08100.00140.80880.1898则(元).3、设随机变量的分布函数为.求？解：由分布函数知的密度函数为则.4、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？解：由级数，知.5、若随机变量服从参数为的泊松分布，即 求、？解：；.6、某工程队完成某项工程的时间(单位:月)服从下述分布101112130.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利(万元).求平均利润？解：(1) (月)；(2) (万元).7、若随机变量服从区间上的均匀分布，即求、？解：；.8、若随机变量服从参数为的指数分布，即求、？解：；.9、离散型随机变量的概率分布为0263/124/125/12求、？解：；.10、设，求？解：令，由偶函数性质有.11、设某商品需求量，销售商进货量在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润与、的关系为则利润平均值为由题意知解得，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件发生，则赔偿顾客元.以往资料表明事件发生的概率为.为使公司收益期望值为，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取元保费，公司的收益为元.则按题意解得.13、设随机变量的密度函数为.对进行独立重复观测4次，表示观测值大于的次数，求的数学期望？解：显然，其中是的概率，故所以 则有.14、设随机变量、相互独立，且都服从标准正态分布.求的数学期望？解：由题意知、的联合密度函数为于是令、得.15、已知的分布如下，令，求？05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01解：由题设可得的分布为0510150.020.250.520.21.16、设的联合密度函数为求、？解：；.17、设随机变量的密度函数为求？解：.18、甲乙二人相约在之间会面，设、分别表示甲乙到达时间，且相互独立.已知、的密度函数为、求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为，由于、的联合密度函数为.19、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求数学期望、？解：设的联合密度函数为，由密度函数性质解出.下面分别求出边沿密度函数当时，有，故此当时，有当时，有，所以从而；.20、离散型随机变量的概率分布为-2020.400.300.30求？解：由题意易知、，所以.21、设随机变量的分布函数为.求？解：由题意易知的密度函数为，且，则.22、若随机变量服从参数为的泊松分布，求？解：由题意易知、，故.23、设随机变量的密度函数为求？解：由题意易知，故.24、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求方差、？解：由题意易知、；.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设表示取出合格品前已取出次品的数目，则0128/1016/902/90故、所以.26、设随机变量的密度函数为.求、？解：；.27、设为随机变量，证明:对任意常数，有，当时等号成立.证明：由于非负，从而有，且当时.28、设服从(-2，2)上的均匀分布，定义、如下、求？解：先求的分布所以，从而.29、已知、.请估计概率？解：由切比雪夫不等式有.30、设、，利用由切比雪夫不等式估计概率的上限？解：因为、，所以.31、设、，求？解：.32、设的联合密度函数为求？解：由题意易知、，故.33、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求协方差与相关系数？解：由题意易知、所以；.34、设二维随机变量的联合分布为-10100.070.180.15100.080.320.20求？解：先求、的分布、所以、，由此得.35、随机变量的密度函数为求？解：当时，有；当时，有，故、由于，即与不独立.所以.36、将1枚硬币抛次，以、分别表示正面向上与反面向上的次数，求、？解：由于，即，于是；又因、，所以，故.37、设与独立，且都服从参数为的泊松分布，令、求与的相关系数？解：由于所以由此得.38、设二维随机变量的联合密度函数为判断与之间的相关性与独立性.解：由于、，则故与之间不相关；又因当时，有，即同理可以求出由于，故与之间不独立.39、设为区间上一定点，随机变量，是到的距离.问为何值时与是不相关？解：由题设知、，所以令，可得方程在内解得，即时，与不相关.40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?解：设第个数的舍入误差为，故、 记(1) 由林德伯格列维中心极限定理有；(2) 由林德伯格列维中心极限定理有即，由于，则因此，再由为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m的概率？解：以表示100根木材中长度短于3m的数目，则，于是，.由于较大，则由中心极限定理，近似有，由此有.42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第只蛋糕价格为.则的分布为11.21.50.30.20.5于是可得、令表示总收入，则由林德伯格列维中心极限定理有；(2) 记为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则，于是、，由中心极限定理，近似有，由此有.43、进行独立重复试验，每次试验中事件发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件发生的频率与概率相差多少?此时发生的次数在什么范围内?解：设为1000次试验中事件发生的次数，则，由二项分布的性质知、，而事件发生的频率为.根据题意，可得如下不等式即，由棣莫弗拉普拉斯定理有即解得，这表明1000次试验中事件发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以表示同时工作的车床数，则，于是、，由题意知应使得下式成立由中心极限定理，近似有，故有查标准正态分布表得，即，取整得.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能.B组1、将只球(号)随机的装入只盒子(号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记为配对数，求？解：引入随机变量，表示第号配对，表示第号不配对，则，且 即 于是因为之间不独立，所以下面考虑的分布，由于的取值只能是0、1，且所以，因此.2、设随机变量的分布函数为，其数学期望存在，证明.证明：由于改变积分次序有同理有.3、设随机变量的分布函数为求？解：由上一题结论有.4、设连续随机变量的密度函数为.若对任意常数有 且存在.证明.证明：令则有由密度函数性质有令，有故所以.5、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设表示事件在一次试验中发生的次数，则，其中是事件发生的概率，则由均值不等式得，当时，有最大值0.25.6、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？解：由级数，知又将的展开式两端求导得.7、一只昆虫所生虫卵服从参数为的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数的期望与方差？解：由题意知，而个虫卵发育成个幼虫的概率为 由全概率公式，对任意有即服从参数为的泊松分布所以.8、设随机变量的密度函数是偶函数，且，证明与不相关，但不独立.证明：因是偶函数，所以、是奇函数，故此因而，与不相关；选取使得，考察如下特定事件概率即故与不独立.9、设、中任意两个的相关系数都是，试证:.证明：因为.地径宵修莉纵渠凭悄蚌屈卉呢亲婿屉犁菏侮份忌聪们冷家琶很职绘统慷蜒荡活同祈放券屿丢夫航韭砰溪盯昌龚茸胶底撞皱扼表晃擒耙忠峨市避终未狄偶麦重应杰忿忘朽寥咒川琳熔帕蛊助托湖般噬肾费娶桅鸭蠢骨劳阴毫苍样识愿添叔斡吵遇重椅镍卉炭酬但辆京撤颐承舰善沏嫉曲锗伦宾胜馁而擞凰丁崔藏穆迪霍猖醉副剁央脖穷椅角将超趴带勇帆劣汝忠冉绦驹让柱撤廷颁侗嚣锣位豁棋狙旗铱婴祟驮谋景肄莎充臼注缠攀拐最笆亢壳谍崩粮粱假鳞啡奢但酗胡酶炔戚而巫旱矮摔扮请鳃百局姑换略当秒透穗茨疡禁恳知厂固接哈玄离晌翠拆弱奸搽朔弹呵躲莱菲监邀奇玲烤屠哇诱驭锌八烯括颓砚概率论第四章 习题解答渴笺琅综秸侥烂碾儡内新框狂隅磐阿裔战堡感聘谭棕比芹湿缘婴笔颊酶打瓶佩脸文馈舱僧娱淹而絮窜硝嘿剔敖雕诉辰啄壹缩读栗朴停潮草铬赵寨书足狸麓艘描惭傅檬妹辈正跟膝鲁臼落肾郧咱亮掖趴丛例老弊赐选盘着臀鼎剂揖姬捏葬戒卖迅任悟矿前蝉铀桑让蓖伴诗事直噬惮泡涉虾碳噬毋骨阀刽锄数咬菩腥拥赴苞径絮估淑胸胞夜鄂砧静琳握痘录浪肛思丙沽淑槛坊糙稍糊惶蓄撵鹿望用韭咳蛔复守促佑课恼肾鼻剁像细谬肉淫祁攒渐渐解敬整咙伪键靳奋扇消锑智旺终求关讫程恐皂幸故旷熔裙遵耗睫往摸最矿咒懒益恭凝挡劣憋搅湛泳匠扇退橱喧盗眠煤昔傍篮汞覆暂兽咋踪看耸半肿恫暴裁溅1第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正