概率统计简明教程课后习题答案(工程代数_同济大学版).doc

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习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A=两次出现的面相同；(2) 记录某电话总机一分钟(1) W=(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)， A=(+,+),(-,-).(2) 记X为一分钟A=X(2000,2500).2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A=取得球的号码是偶数，B=取得球的号码是奇数，C=取得球的号码小于5，问下列运算表示什么事件：(1)AUB；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；(6)BUC；(7)A-C. 解 (1) AUB=W是必然事件；(2) AB=f是不可能事件；(3) AC=取得球的号码是2，4；(4) AC=取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10；(5) =取得球的号码为奇数，且不小于5=取得球的号码为5，7，9；(6) BUC=I=取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6，8，10；(7) A-C=A=取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6，8，101133. 在区间0,2上任取一数，记A=xx1，B=xx，求下列事件的表达式：224(1)AUB；(2)B；(3)A；(4)AU.13解 (1) AUB=xx; 2411 (2) B=x0x或1x2IB=xx24(3) 因为AB，所以A=f； 1Uxx23; 213113(4)AU=AUx0x或x2=x0x或x1或x2 4. 用事件A,B,C42422的运算关系式表示下列事件：(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）；(2) A,B都出现，C不出现（记为E2）；(3) 所有三个事件都出现（记为E3）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；(5) 三个事件都不出现（记为E5）；(6) 不多于一个事件出现（记为E6）；(7) 不多于两个事件出现（记为E7）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。解 (1)E1=A； (2)E2=AB；(3)E3=ABC； (4)E4=AUBUC； (5)E5=； (6)E6=UAUBU；(7)E7=ABC=UU；(8)E8=ABUACUBC.5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i=1,2,3，试用Ai表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有两次抽到废品。解 (1)A1UA2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3； (4)A1UA2UA3； (5)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3.6. 接连进行三次射击，设Ai=第i次射击命中，i=1,2,3，B=三次射击恰好命中二次，C=三次射击至少命中二次；试用Ai表示B和C。解 B=A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3C=A1A2UA1A3UA2A3 习题二解答1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。50解 这是不放回抽取，样本点总数n=3，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数455k=21. 于是 455k21=454453!=99P(A)= 50n5049482!39232一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n=72. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.255()有利于A的样本点数kA=5，故 P(A)= 4975210() 有利于B的样本点数kB=52，故 P(B)=2= 49720() 有利于C的样本点数kC=252，故 P(C)= 4975355() 有利于D的样本点数kD=75，故 P(D)=2=. 497722 3一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。解 本题是无放回模式，样本点总数n=65.() 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利231样本点数为23，所求概率为 =. 655() 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，222所求概率为 =. 65154一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则424322P(A)= 66525242114228=P(B)= 665152注意到C=AUB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知2814P(C)=P(A)+P(B)=+= 515155掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n=62()A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)61P(A)=2= 66()B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)105 P(B)=2= 186()C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。181 P(C)= 3626把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为543，所以54312. P(A)=32557总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”；(2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”；(3) 事件C：“其中有人精通英语”。5解 样本点总数为3 2312233!63=； (1) P(A)=554310532321=33!=3(2) P(B)=； 5543103(3) 因C=AUB，且A与B互斥，因而339 P(C)=P(A)+P(B)=+=. 510108设一质点一定落在xOy平面记求概率的事件为A，则SA为图中阴影部分，而|W|=1/2，112155|SA|=-= 2232918最后由几何概型的概率计算公式可得|S|5/185P(A)=A=. |W|1/29图2.3 9（见前面问答题2. 3）10已知AB，P(A)=0.4，P(B)=0.6，求 2(1)P(),P()；(2)P(AUB)；(3)P(AB)；(4)P(),P()；(5)P(B).解 (1)P()=1-P(A)=1-0.4=0.6，P()=1-P(B)=1-0.6=0.4；(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)=P(B)=0.6；(3)P(AB)=P(A)=0.4；(4)P(A)=P(A-B)=P(f)=0, P()=P(AUB)=1-P(AUB)=1-0.6=0.4;(5)P(B)=P(B-A)=0.6-0.4=0.2.11设A,B是两个事件，已知P(A)=0.5，P(B)=0.7，P(AUB)=0.8，试求P(A-B)及P(B-A). 解 注意到 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)，因而P(AB)=P(A)+P(B) -P(AUB)=0.5+0.7-0.8=0.4. 于是，P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =0.5-0.4=0.1；P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3. 习题三解答1已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8，试求P(AB)及P().解 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.50.8=0.4 P()=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-0.5-0.6+0.4=0.32一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。10990819解 p=. =1009998999810783某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记A=基金，B=股票，则P(A)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19P(AB)0.19(1) P(B|A)=0.327. P(A)0.58P(AB)0.19(2) P(A|B)=0.678. P(B)0.284给定P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.15，验证下面四个等式：P(A|B)=P(A),P(A|)=P(A), P(B|A)=P(B)，P(B|)=P(B).P(AB)0.151解 P(A|B)=P(A) P(B)0.32P(A)P(A)-P(AB)0.5-0.150.35 P(A|)=0.5=P(A) P()1-P(B)0.70.7P(AB)0.15 P(B|A)=0.3=P(B) P(A)0.5P(B)P(B)-P(AB)0.3-0.150.15=P(B) P()1-P(A)0.50.55有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 P(B|)=解 B=迟到，A1=坐火车，A2=坐船，A3=坐汽车，A4=乘飞机，则 B=UBAi，i=14且按题意P(B|A1)=0.25，P(B|A2)=0.3，P(B|A3)=0.1，P(B|A4)=0.由全概率公式有：P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.30.25+0.20.3+0.10.1=0.145i=146已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解 (1) 记B=该球是红球，A1=取自甲袋，A2=取自乙袋，已知P(B|A1)=6/10，P(B|A2)=8/14，所以161841 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=+=21021470147(2) P(B)= 2412 7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解 0.250.05+0.350.04+0.40.02=0.0125+0.0140+0.008=0.0345=3.45%8发报台分别以概率0.6，0.4发出""和"-"，由于通信受到干扰，当发出""时，分别以概率0.8和0.2收到""和"-"，同样，当发出信号"-"时，分别以0.9和0.1的概率收到"-"和""。求(1) 收到信号""的概率；(2) 当收到""时，发出""的概率。解 记 B=收到信号""，A=发出信号"" (1) P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.60.8+0.40.1=0.48+0.04=0.52 P(A)P(B|A)0.60.812(2) P(A|B)=. P(B)0.52139设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D=次品，因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.250.05+0.350.04+0.40.02=0.0125+0.014+0.008=0.0345P(A)P(D|A)0.250.05P(A|D)=0.362 P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.350.04P(B|D)=0.406 P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.40.02P(C|D)=0.232 P(D)0.034510设A与B独立，且P(A)=p,P(B)=q，求下列事件的概率：P(AUB)，P(AU)，P(U). 解 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=p+q-pqP(AU)=P(A)+P()-P(A)P()=p+1-q-p(1-q)=1-q+pqP(U)=P(AB)=1-P(A)P(B)=1-pq11已知A,B独立，且P()=1/9,P(A)=P(B)，求P(A),P(B).解 因P(A)=P(B)，由独立性有P(A)P()=P()P(B)从而 P(A)-P(A)P(B)=P(B)-P(A)P(B) 导致 P(A)=P(B)再由 P()=1/9，有 1/9=P()P()=(1-P(A)(1-P(B)=(1-P(A)2所以 1-P(A)=1/3。最后得到 P(B)=P(A)=2/3.12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。解 记 B=命中目标，A1=甲命中，A2=乙命中，A3=丙命中，则 B=UAi，因i=13而321118P(B)=1-PA=1-P(A)P(A)P(A)=1-=1-= 123Ii32399.i=113设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这 解 记 A=通达，Ai=元件i通达，i=1,2,3,4,5,6则 A=A1A2UA3A4UA5A6， 所以P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)+P(A5A6) -P(A1A2A3A4)-P(A3A4A5A6)-1256123456=3(1-p)2-3(1-p)4+(1-p)614假设一部机器在一天p=315灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。3330.8(0.2)2=0.008+0.096=0.104. 解 p=(0.2)+3216设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).解 记Ai=A在第i次试验中出现，i=1,2,3. p=P(A)3193=PA=1-P(AAA)=1-(1-p)依假设 Ui12327i=18所以， (1-p)3=， 此即 p=1/3. 2717加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai=第i道工序为次品，i=1,2,3. 则次品率3p=PAUi=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-0.980.970.95=1-0.903070.097 i=118三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。解 记 A=译出密码， Ai=第i人译出，i=1,2,3. 则3P(A)=PAUi=1-P(A1)P(A2)P(A3) i=1=1-0.750.650.6=1-0.2925=0.707519将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？1010163=解 (1) ； 52256101(2) k2.k=420某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求： 610 (1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。255解 (1) 1-(1-0.75)4=1-(0.25)4= 256224273122(0.75)(0.25)=6=(2) 212844813(3) (0.75)= 256444 习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。i（1）pi=,i=0,1,2,3,4,5； 15(5-i2),i=0,1,2,3； （2）pi=61（3）pi=,i=2,3,4,5； 4i+1（4）pi=,i=1,2,3,4,5。 25解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi0,i=1,2,L，其二条件为pi=1。i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，5-94因为p3=（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，=-0；66520