张曲边梯形的面积与定积分.ppt

补充： （1）几个常用求和公式 （2）几个常用极限 曲边梯形的面积与定积分 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。（ y=f(x) 称为a，b上的连续函数） Ox y a b y=f (x) 一. 求曲边梯形的面积 x=a x=b 问题1 圆的面积公式是如何推导的？ 曲边梯形的面积 将圆分成若干等份 y = f(x) bax y O A1 A A1. 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2 用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 y = f(x) bax y O A1A2 A A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 y = f(x) bax y O A A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A1AiAn 以直代曲,无限逼近 （1）分割把区间0，1等分成n个小区间： 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲 边梯形，他们的面积分别记作 例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的 曲边梯形的面积。 （2） 近似代替(不足近似值) （3）求和 （4）取极限 小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 （1）分割 （2）近似代替 （3）求面积的和 （4）取极限 (过剩近似值) (过剩近似值) 1. 当n很大时，函数 在区间 上的值，可以用( )近似代替 A. B. C. D. C 练 习 2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 上的近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确 C 练 习 问题：汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间 t所行驶的路程为Svt如果汽车作变速直线运 动，在t时刻的速度为： （单位：km/h），那么它在 0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S v t O 汽车行驶的路程 探究思考 O v t 1 2 探究思考 定积分定义 设函数f（x）在a，b上连续，在a，b中任意插入n-1个分点： 把区间a,b等分成n个小区间， 则，这个常数A称为f(x)在a，b上的定积分(简称积分) 记作 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 积分和 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关 1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么： 定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯 形面积的代数和来表示。 定积分的几何意义是什么？ 定积分的简单性质 题型1：定积分的简单性质的应用 点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差 题型2：定积分的几何意义的应用 8 问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。 问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规律 SS(t)。由导数的概念可以知道，它在任意时 刻t的速度v(t)S（t)。设这个物体在时间段 a，b内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？ 另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直 线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间a,b内物体 的位移为s(b)s(a)， 所以又有 由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说， 定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间 a,b上的增量s(b)s(a). 从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为 v=v(t)，那么在时间区间a,b内物体的位移s可以用定 积分表示为 探究新知： O 微积分基本定理： 设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则 ， 这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula). 说明： 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式 把计算定积分归结为求原函数的问题。 解（） 找出f(x)的原 函数是关键 例1 计算下列定积分 练习1: 例计算定积分 解: 达标练习： 初等函数 微积分基本定理 三、小结 定积分公式 牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学 院，1665年获文学士学位。随后两年在家 乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大 多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥 后当选为三一学院院委，次年获硕士学位 。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696 年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703 年任英国皇家学会会长。1706年受女王安 娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分 和经典力学的创建。 返回 莱布尼兹 莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位 。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界，