第10届“五羊杯”数学竞赛试题及参考答案.doc

第十届“五羊杯”初中数学竞赛(1998) (考试时间:90分钟;满分100分)一、选择题(4选1型,选对得5分,否则得0分,本大题满分50分。)1.(1-2-1/32)-1(1-2-1/16)(1+2-1/16)(1+2-1/8)(1+2-1/4)(1+2-1/2)=_.A.(1-2-1/32)-1B.(1-2-1/32)C.D.(1-2-1/32)-12.凸n边形的内角中至多有_个锐角。A.5 B.4 C.3 D.以上都不对3.正整数系数二次方程ax2+bx+c=0有有理数根,则a,b,c中_。A.至少有一个偶数 B.至少有一个质数C.至少有一个奇数 D.至少有一个合数4.三角形中长为a,b,c的边上的高分别为ha,hb,hc。若aha,bhb,则此三角形为_。A.等腰非直角三角形 B.等腰直角三角形;C.直角非等腰三角形 D.以上结论都不对5.方程的整数解有_组。A.无数 B.4 C.2 D.06.设a,b是自然数,a+b=33,最小公倍数a,b=90,则最大公约数(a,b)=_。A.1 B.3 C.11 D.97.连续正整数a,b,c,d,e之和为完全立方数,b,c,d之和为完全平方数,则c的最小值为_.A.100 B.225 C.375 D.6758.平面上两点A,B距离为a+b,其中a,b0为定值,则平面上共有_条直线,使AB到此直线距离分别为a和b。A.无穷多 B.3 C.2 D.19.三角形三边a,b,c适合,则此三角形是_。A.以a为腰的等腰三角形 B.以a为底的等腰三角形 C.等边三角形 D.以上答案都不对10.(x,y)称为数对,其中x,y都是任意实数,定义数对的加法、乘法运算如下: (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) (x1,y1)(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+y1x2)则_不成立。A.乘法交换律: (x1,y1)(x2,y2)=(x2,y2)(x1,y1)B.乘法结合律: (x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)=(x1,y1)(x2,y2),(x3,y3)C.乘法对加法的分配律:(x,y)(x1,y1)+(x2,y2)=(x,y)(x1,y1)+(x,y)(x2,y2)D.加法对乘法的分配律:(x,y)+(x1,y1)(x2,y2)=(x,y)+(x1,y1)(x,y)+(x2,y2)二、填空题(每小题填对得5分,不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分,本 大题满分50分。)1.设0x5。方程判别式=4+4(5-b)0,故b6,由b为整数知b=6。3.设9x3=8y3=7z3=k3,则于是4. 9,8,7由原方程得,故x=9, y=8, z=75.16设a边对角为A,则三角形面积。6. 设,m,n是整数,m0,(m,n)=1,(即m,n互质),则因9x2是整数,必有m2|9,故m=1或3。若m=1,则x=n,9n2-8n=1,n=1;若m=3,则x= 。设n=3k+(12),k是整数,则n2-8=1,即(3k+)2-8k=1,9k2+(6-8)k+(2-1)=0,判别式=(6-8)2-36(2-1)=100-960,只有=1,=4,(非整数值舍去)。于是原方程有2个有理数根:。7.y1.8 或 y-1.8。原方程x2-(2|y|+6)x+(|y2|-4|y|+27)=0,判别式=(2|y|+6)2-4(|y2|-4|y|+27)0,即40|y|-720,|y|1.8,y1.8 或 y-1.8。8.225如图5,设SPFJ=x,则因IMPPFJIBJ,相似比为IP:PJ:IJ,面积比为IP2:PJ2:IJ2, 故,x=49。同理,设SEPN=y,则,y=25。再由PFJEPNIMPABC,相似比为FJ:PN:MP:BC,面积比为FJ2:PN2:MP2:BC2,故9. 设,则原方程成为(A-B)(A+B)+6B-9=0, 即A2-B2+6B-9=0,A2-(B2-6B+9)=0,A2-(B-3)2=0,(A+B-3)(A-B+3)=0,A+B-3=0或A-B+3=0。若A+B-3=0,即x3-x2-4x+4=0,(x2-4)(x-1)=0,x2-4=0或x-1=0,x=2或1;若A-B+3=0,即x3-3x2+x+1=0,(x-1)(x2-2x-1)=0,x-1=0或x2-2x-1=0,x=0或1 。(注:本题的6次方程在复数域内有6个根,恰都是实根,它们是1(2重根),2, 1。)10. , , 3如