第1章周期性问题.doc

周期性问题专题要点：事物在运动变化中，某些特征循环往复出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题。例如，12个月是一年，年年如此；7天是一周，周周一样；24小时是一昼夜，天天相同这些问题都属于周期问题。 。 在研究周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，只要发现问题的周期性并确定周期，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果，从而解决问题。例1：甲、乙两人对一根长3米的木棍涂色。首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底；然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底；最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？思路分析 通过下图来帮助分析本题。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60由上图可知，应是5与6的最小公倍数的2倍，即56260(厘米)，也就是它们按60厘米为周期循环出现，并且在每一个周期中没有涂色的部分是1+3+5+4+215（厘米）。所以，在长3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是5个15厘米，即75厘米。解：30060=5 1+3+5+4+2=15（厘米） 155=75(厘米)答：木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75厘米。举1反3：1.1 43位同学，他们身上带的钱从8角到5元都不相同，每位同学把身上的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3角一张和5角一张的，每人都尽量多买5角一张的画片，他们所买的3角画片的总数是多少张？（每人所带的钱都是整角数。）1.2 大雪后的一天，小明和他的爸爸共同步测一个圆形花坛的周长。他们从同一起点出发，向同一方向行走，小明平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们各自走完一圈后都回到了起点，这时雪地上共留下60个脚印。这个花坛的周长是多少米？1.3 哲东和哲玖二人对一根长48分米的木棍涂色，哲玖从木棍端点开始按涂黑3厘米、不涂3厘米的顺序交替去做，哲东从木棍的同一端点按先不涂4厘米、再涂4厘米的顺序交替去做，最后，两人完工后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？例2：设n=2222，那么n的末两位数字是多少？ 2007个2思路分析：想把这道连乘算式的乘积算出来，那将是很麻烦的一件事，也没有必要。我们解决此类复杂的问题，可以从简单的入手，将若干个2的连乘积的末两位依次列表如下：nn的末位nn的末位02960492088416683236647228445688127624524804 观察上表，容易发现从开始每隔20个2的连乘积，末两位就重复出现，周期为20，找到了周期，问题就好解决了。解：末两位出现的周期为:04，08，16，32，64，28，56，12，24，48，96，92， 84，68，36，72，44，88，76，52。(2007-l)20=1006所以的末两位是周期中的第6个的末两位数字，即为28。举1反3：2.1 如果A =222，那么A的末两位数字是多少？1999个2 2.2 如果B=333，那么B的末位数字是多少？2007个3 2.3 如果N=444，那么N的末两位数字是多少？2009个4 例3：有一列数是：23，34，57，91，l48从第三个数起，每一个数都是它前面两个数的和。那么这列数的第l00个数除以3的余数是几？思路分析：直观条件中根本找不到循环的迹象，所以感到无从入手，因此要通过其他渠道来找循环的踪迹。题中让我们求第100个数除以3的余数，我们可以先算出前面一些数除以3的余数，从而发现其中的循环节。有计算可知，前面一些数除以3的余数分别是：2，1，0，l，1|，2，0，2，2，1，0，1，l，2，0，2由观察可以看出，上列数每经过8个就循环出现一次。所以，要求第100个数除以3的余数，就要用100除以8，除得的余数是几，第100个数除以3的余数就从循环节中的第一个数开始向后数几个数。因为l008=124，所以第100个数除以3的余数是1。举1反3：3.1 有一列数是：1，2，3，5，8，13，21从第三个数起，每一个数都等于它前两个数的和。这列数的第2008个数是奇数还是偶数？3.2 有一列数是：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4问：第一次出现的39是第几个数？3.3 有一列数是：9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8从第三个数起，每一个数都等于它前两个数字相乘积的个位数。这列数的第2009个数是什么？例4:把自然数排列成如下所示的表格，第一行的第2009个数是多少？1 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21思路分析:根据数表，第一行各数依次是1，2，5，10，17，26第一列各数均为完全平方数，两者比较，可发现第一行的第n个数值是第一列的第(n1)个数值加1。解： +1 = 4032065答：第一行的第2009个数是4032065。举1反3：4.1 把自然数按下面规律排列，2009排在哪一列？ A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 4.2 如果全体自然数按下图排列，数1003应在哪个字母下面？ A B C D E 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 4.3 将奇数如下图排列，各列分别用A，B，C，D，E作为代表，问2001所在的列以哪个字母作为代表？ A B C D E 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 例5： 1995年4月2日是星期日。在这年各个月的2日中，星期日、一、二、三、四、五、六都有，其中最多的是星期几，共有几天?（第五届全国小学奥数竞赛试题）思路分析：因为1995年2月有28天。通过直接推算可得：1 月2日：317=43（星期一），2 月2日：287=4 （星期四），3 月2日：317=43（星期四），*4 月2日：-（星期日），5 月2日：317=42（星期二），6 月2日：317=43（星期五），7 月2日：317=42（星期日），8 月2日：317=43（星期三），9 月2日：317=43（星期六），10月2日：317=43（星期一），11月2日：317=43（星期四），12月2日：317=43（星期六）