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课本习题的价值在探究中提升姜 军 (浙江省江山中学 324100)(E-mail:)原题 （人教版高中数学选修4-5教材41题1）已知，且，求证：证明1(利用均值不等式) 依题意得，当且仅当时等号成立.证明2(利用柯西不等式) 依题意得,当且仅当时等号成立.探究1 已知，且，求证：（1984年列宁格勒数学竞赛试题）证明 由柯西不等式得，即，当且仅当时取等号.变式1 设，且，求证：. (2006年国家集训队考试题)证明 由均值不等式易得,及由柯西不等式得.探究2 设，且，求的取值范围.解 . 由柯西不等式得,.故,当且仅当时取等号.变式2 设非负实数满足,求的最小值.(1982年西德数学奥林匹克竞赛试题) 解 易验证,同理可得,.令,则.,当且仅当时取等号,故有最小值.探究3 设是满足的非负数.试证:.(第31届IMO预选题)证明 不妨设，则，且，由柯西不等式得，.推广1 设，且满足,则有探究4 设为正实数，且满足，求证:.(第36届IMO试题)证明 由柯西不等式得，因此.推广2 设，且满足,则有推广3 设，且满足,则有参考文献:1 蔡玉书.应用柯西不等式证明竞赛中的不等式.数学通讯(下半月),2010(4).2 许康华,邵国强.从一道高考不等式试题谈起.
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