普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷).doc

考试结束前机密2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类) (北京卷)第卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题要求的一项.(1)在复平面内,复数对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答:D解析:,在复平面内所对应的点是(1,1),故选D.(2)若a与bc都是非零向量,则“ab=ac”是“a(bc)”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答:C解析:ab=acabac=0a(bc)=0a(bc).(3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( )A.36个 B.24个 C.18个 D.6个答:B解析:在所给的五个数字中,有三个奇数,两个偶数,则按要求组成的三位数可能是由三个奇数组成1,3,5(共可组成个奇数);由一个奇数、两个偶数组成,这时的可能性为:1,2,4;3,2,4;5,2,4(共可组成个奇数).所以共有+=24个 (4)平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是 ( )A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支答:A.解析:方法一:如图所示,设直线AB在平面内的射影为O,过O点建立如图所示的空间坐标系,并记,AB=l则有A(0,0,lsin), B(0,lcos,0), 再设C(x, y,0),则有(x, y,lsin),(0,lcos,lsin),由得,即(x, y,lsin)(0, lcos,lsin)=0,所以ylcosl2sin2=0,这是一个直线方程.方法二:坐标系的建立仍同方法一,则在RtABC中,由勾股定理得AB2+AC2=BC2,即(00)2(0lcos)2(lsin0)2(0x)2(0y)2(lsin0)2=(0x)2(lcos0)2(00)2由此得ylcosl2sin2=0.(5)已知是上的减函数,那么a的取值范围是 ( )A.(0,1) B.(0,) C.,) D.,1)答:C解析:当它在上为减函数的充要条件是,得.当,它在上为减函数的充要条件是.当时,要使在为减函数,须有,即,即.综上三种情况,得.(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1, x2 (),|恒成立”的只有 ( )A. B. C. A. 答:A解析:当时,要证|,只要证在恒成立即可.对于选项A,有,当,恒有,所以选A.(7)设,则f(n)= ( )A. B. C. D. 答:D解析:数列是以首项为2,公比为8的等比数列,这个给出的数列共有项,根据等比数列的通项公式有.(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则A. B. C. D. 答:C解析:按图中的数据列出方程组即可.第卷(共110分)二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上.(9)的值等于 .答:.解析:.(10)在的展开式中,x2的系数是 .(用数字作答)答:14.解析:=,所以x2的系数是14.(11)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0),共线,则的值等于 .答:.解析:设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为,由于点A(2,2)在此直线上,所以,则.(12)在ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则B的大小是 .答:.解析:由正弦定理有 a:b:c=5:7:8,不妨设a=5,b=7, c=8,则由余弦定理得cosB=,所以B=.(13)已知点P(x, y)的坐标满足条件点O为坐标原点,即么|PO|的最小值等于 ,最大值等于 .答:;.解析:这是一个线性规划问题,由图中可以解得A(1,1), B(2,2), C(1,3),由图可见OBBC,所以当P点与C点重合时,OP是最大距离为,当P点与A点重合时,OA是最小距离为.(14)已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,ACBC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为 .球心到平面ABC的距离为 .答:;.解析:由于ACBC,则知A,B,C在平面ABC与球的交面(圆)上,且AB为平面与球的所交的小圆的直径.由AB=R,可见,则BOO1=300,且.A,B两点的球面距离即为BOA所对的大圆上的弧的长度,即.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共12分)已知函数.()求f(x)的定义域;()设是第四象限的角,且tan=,求f()的值.解:()要使函数f(x)有意义,则有,所以,则所求定义域为.()由是第四象限的角,且tan=可得.=.把代入上式,即得f()=.(16)(本小题共13分)已知函数在点x0处取得极大值,其导数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:()x0的值;()的值.解:()由图中可见与x轴的交点为且知.则知方程的两根,则有即由此可得当时,所取得的极大值是=;当时,所取得的极大值是.由于,则知当时,所取得的极大值是最大值.所以.()由=5,所以.将此代入得b=9,c=12.(17)(本小题共14分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=PB,点E是PD的中点.()求证:ACPB;()求证:PB/平面AEC;()求二面角E-AC-B的大小.解法一:()PA平面ABCD,AB是PB在平面ABCD上的射影.又ABAC,AC平面ABCD,ACPB.()连接BD,与AC相交于O,连接EO.ABCD是平行四边形,O是BD的中点,又E是PD的中点,EO/PB.又PB平面AEC,EO平面AEC,PB/平面AEC.()取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为(),EOG是二面角E-AC-B的平面角.,.二面角E-AC-B的大小为1350.(18)(本小题共13分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.()分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;()试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,()应聘者用方案一考试通过的概率()因为a,b,c,所以故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.(19)(本小题共14分)已知点M(2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|PN|=2.记动点P的轨迹为W.()求W的方程;()若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解法一:()由|PM|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长.又半焦距c=2,故虚半轴长,所以W的方程为.()设A,B的坐标分别为(),(),当ABx轴时,从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故,所以又因为所以从而综上,当ABx轴时,取得最小值2.解法二:()同解法一;()设A,B的坐标分别为(),(),令,则,且,所以当且仅当,即时,=成立.所以取得最小值2.(20)(本小题共14分)在数列an中,若a1,a2是正整数,且an=|an1an2|,则称an为“绝对差数列”.()举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);()若“绝对差数列”an中,数列bn满足,分别判断当时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;()证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.解:(),.(答案不惟一)()因为在绝对差数列an中,所以自第20项开始,该数列是,.即自第20项开始,每三个相邻的项的周期地取值3,0,3,所以当时,的极限不存在.当时,=6,所以=6.()证明:根据定义,数列an必在有限项后出现零项,证明如下:假设an中没有零项,由于an=|an1an2|,所以对于任意的n,都有,从而当时,an=an1an2;当时,