苏科版九级下探索三角形相似的条件专题练习含答案.doc

第六章图形的相似（探索三角形相似的条件）一选择题1如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）ABCD2如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有（）A0个B1个C2个D3个3如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个B2个C3个D4个4如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD5如图所示，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A3对B4对C5对D6对6如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似ABC或D或二填空题（共6小题）7如图，已知A=D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 8如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截AOB，所得的三角形与AOB相似，那么点P的坐标是9如图，在ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BPDF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对10将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=AB=10，BC=BC=6，现将三角板ABC绕点O旋转，BC、AB与边AC分别交于点M、N，当CM=时，OMN与BCO相似 11如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，AED与ABC相似12在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒三解答题（共16小题）13如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；（2）求ABD的度数14如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长15如图，ABC中，C=90，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使BCP与BCD相似16在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：DEFEBD17如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC18将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？19如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值20如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高求证：DCEACB21如图所示，RtABC中，已知BAC=90，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作ADE=45，DE交AC于点E（1）求证：ABDDCE；（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长22如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？23如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由24如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90观察图形：（1）ABE与ECF是否相似？并证明你的结论（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由25如图，在RtACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后PCQ与ACB相似？26如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长27如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动若P、Q同时出发，运动时间为t（s）（1）当t为何值时，APQ与AOB相似？（2）当t为何值时，APQ的面积为8cm2？28如图，ABC中，ACB=90，ABC=，将ABC绕点A顺时针旋转得到ABC，设旋转的角度是（1）如图，当=（用含的代数式表示）时，点B恰好落在CA的延长线上；（2）如图，连接BB、CC，CC的延长线交斜边AB于点E，交BB于点F请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明参考答案与解析一选择题1（2016河北）如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）ABCD【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误故选C【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键2（2016盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有（）A0个B1个C2个D3个【分析】直接利用平行四边形的性质得出ADBC，ABDC，再结合相似三角形的判定方法得出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AEFCBF，AEFDEC，与AEF相似的三角形有2个故选：C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键3如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个B2个C3个D4个【分析】设AP=x，则有PB=ABAP=7x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数【解答】解：设AP=x，则有PB=ABAP=7x，当PDACPB时， =，即=，解得：x=1或x=6，当PDAPCB时， =，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键4如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案【解答】解：小正方形的边长均为1ABC三边分别为2，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，；只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用5如图所示，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A3对B4对C5对D6对【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形【解答】解：ADBC，可知AGECGB，DFECFB，ABCCDA，ABCD，可知ABGCFG，ABECFB，EDFEAB共有6对，故选D【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形6如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似ABC或D或【分析】根据AE=EB，ABE中，AB=2BE，所以在MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，BE=CE，AB=2BE，又ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，DM与AB是对应边时，DM=2DNDM2+DN2=MN2=1DM2+DM2=1，解得DM=；DM与BE是对应边时，DM=DN，DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=DM为或时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似故选C【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质解决本题特别要考虑到DM与AB是对应边时，当DM与BE是对应边时这两种情况二填空题7（2016娄底）如图，已知A=D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是ABDE（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件【解答】解：A=D，当B=DEF时，ABCDEF，ABDE时，B=DEF，添加ABDE时，使ABCDEF故答案为ABDE【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似8如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截AOB，所得的三角形与AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）【分析】分类讨论：当PCOA时，BPCBOA，易得P点坐标为（0，）；当PCOB时，ACPABO，易得P点坐标为（2，0）；当PCAB时，如图，由于CAP=OAB，则RtAPCRtABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标【解答】解：当PCOA时，BPCBOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PCOB时，ACPABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PCAB时，如图，CAP=OAB，RtAPCRtABC，=，点A（4，0）和点B（0，3），AB=5，点C是AB的中点，AC=，=，AP=，OP=OAAP=4=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）故答案为（0，），（2，0），（，0）【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了坐标与图形性质注意分类讨论思想解决此题9如图，在ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BPDF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有16对【分析】根据相似三角形的判定，判断出BFEADE，BFEAPB，BFECFD，从而得到ADEAPB，ADECFD，APBCFD，类似可得与CFM相似的有CNB，ANP，AMD，共6对；与CMD相似的有ANB，AME共3对；与ABC相似的有CDA，共1对【解答】解：ADBF，BFEADE，ADBC，DAB=CBE，DEBP，E=PBA，BFEAPB，AEDC，BFECFD，ADEAPB，ADECFD，APBCFD，故与BFE相似的有ADE，APB，CFD，共6对；类似的，与CFM相似的有CNB，ANP，AMD，共6对；与CMD相似的有ANB，AME共3对；与ABC相似的有CDA，共1对故答案为16【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键10将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=AB=10，BC=BC=6，现将三角板ABC绕点O旋转，BC、AB与边AC分别交于点M、N，当CM=或时，OMN与BCO相似【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出B=MONOMN与BCO相似，分两种情况：当OM=MN时，作ODAC于D，CEAB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CDDM=4=；当ON=MN时，由OMNBCO，得出=，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长【解答】解：ACB=90，点O为AB中点，AB=AB=10，BC=BC=6，OC=AB=OA=OB=5，AC=8，ABCABC，B=MON若OMN与BCO相似，分两种情况：当OM=MN时，作ODAC于D，CEAB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，ABC的面积=ABCE=ACBC，OD=3，CE=，OMNBOC，=，即，OM=MN=，DM=，CM=CDDM=4=；当ON=MN时，OMNBCO，=，即，解得：OM=，DM=，CM=CDDM=4=；综上所述：当CM=或时，OMN与BCO相似【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键11如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当不唯一，如ADE=C时，AED与ABC相似【分析】两个对应角相等即为相似三角形，A为公共角，只需一角对应相等即可【解答】解：由题意，ADE=C即可证明：ADE=C，A为公共角ADEACB【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法12在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4秒【分析】分两种情况：E点在DC上；E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可【解答】解：分两种情况：如图1，E点在DC上，AE=，DP=，AP=，以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，=，即=，解得t=2；APQ与ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用三解答题13（2016福州）如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；（2）求ABD的度数【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与ACCD的值，从而可得到AD2与ACCD的关系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明BCDABC，依据相似三角形的性质可知DBC=A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得ABD的度数【解答】解：（1）AD=BC，BC=，AD=，DC=1=AD2=，ACCD=1=AD2=ACCD（2）AD=BC，AD2=ACCD，BC2=ACCD，即又C=C，BCDACB，DBC=ADB=CB=ADA=ABD，C=BDC设A=x，则ABD=x，DBC=x，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180解得：x=36ABD=36【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得BCDABC是解题的关键14如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【分析】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长【解答】（1）证明：ABCD为正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90，AE=ED，DF=DC，ABEDEF；（2）解：ABCD为正方形，EDBG，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用15如图，ABC中，C=90，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使BCP与BCD相似【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出=，进而得出ABCGBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若CDB=CPB，第二种情况：若PCB=CDB，进而求出相似三角形即可得出答案【解答】（1）证明：BFDE，=，AD=BD，AC=CG，AE=EF，在ABC和GBC中：，ABCGBC（SAS），AB=BG；（2）解：当BP长为或时，BCP与BCD相似；AC=3，BC=4，AB=5，CD=2.5，DCB=DBC，DEBF，DCB=CBP，DBC=CBP，第一种情况：若CDB=CPB，如图1：在BCP与BCD中，BCPBCD（AAS），BP=CD=2.5；第二种情况：若PCB=CDB，过C点作CHBG于H点如图2：CBD=CBP，BPCBCD，CHBG，ACB=CHB=90，ABC=CBH，ABCCBH，=，BH=，BP=综上所述：当PB=2.5或时，BCP与BCD相似【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键16在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：DEFEBD【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出DEFBED【解答】证明：ACBE，AFB=AFE=90，四边形ABCD是矩形，BAE=90，又AEF=BEA，AEFBEA，=，点E是AD的中点，AE=ED，=，又FED=DEB，DEFBED【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键17如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出C=CAM，求出DAB=CAM，求出DAB=C，根据相似三角形的判定得出即可【解答】证明：BAC=90，点M是BC的中点，AM=CM，C=CAM，DAAM，DAM=90，DAB=CAM，DAB=C，D=D，DBADAC【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出DAB=C是解此题的关键18将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到B=GAF=45，再加上公共角，于是可判断EADEBA【解答】解：有相似三角形，它们为EADEBA理由如下：ABC和AFG为等腰直角三角形，B=GAF=45，而AED=BEA，EADEBA【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似解决的关键是灵活运用相似三角形的判断19如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值【分析】（1）在RtABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AEAD即可得解（2）若DEG与ACB相似，要分两种情况：AG：DE=DH：GE，AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值（需注意的是在求DE的表达式时，要分ADAE和ADAE两种情况）【解答】解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5AD=5t，CE=3t，当AD=AB时，5t=5，即t=1；AE=AC+CE=3+3t=6，DE=65=1（2）EF=BC=4，G是EF的中点，GE=2当ADAE（即t）时，DE=AEAD=3+3t5t=32t，若DEG与ACB相似，则或，或，t=或t=；当ADAE（即t）时，DE=ADAE=5t（3+3t）=2t3，若DEG与ACB相似，则或，或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，DEG与ACB相似【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题20如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高求证：DCEACB【分析】首先由在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得CDECAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论【解答】证明：在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，ADC=BEC=90，C是公共角，CDECAB，CD：CE=CA：CB，CD：CA=CE：CB，DCEACB【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意证得CDECAB是关键21如图所示，RtABC中，已知BAC=90，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作ADE=45，DE交AC于点E（1）求证：ABDDCE；（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到ADE+EDC=B+BAD，从而证明EDC=BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论根据等腰三角形的性质进行计算【解答】（1）证明：RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，B=C=45ADC=B+BAD，ADC=ADE+EDC，ADE+EDC=B+BAD又ADE=45，45+EDC=45+BADEDC=BADABDDCE（2）解：讨论：若AD=AE时，DAE=90，此时D点与点B重合，不合题意若AD=DE时，ABD与DCE的相似比为1，此时ABDDCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=ACEC=2BD=2（22）=42若AE=DE，此时DAE=ADE=45，如下图所示易知ADBC，DEAC，且AD=DC由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题22如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？【分析】设经过t秒时，以QBC与ABC相似，则AP=2t，BP=82t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： =时，BPQBAC，即=；当=时，BPQBCA，即=，然后方程解方程即可【解答】解：设经过t秒时，以QBC与ABC相似，则AP=2t，BP=82t，BQ=4t，PBQ=ABC，当=时，BPQBAC，即=，解得t=2（s）；当=时，BPQBCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，QBC与ABC相似【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键23如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；（2）根据ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形，BPC=BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE=ACD，PQC=DQR，PCQRDQ；四边形ABCD是平行四边形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对故答案是：4（2）四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位线，BP=PR， =，又PCDR，PCQRDQ又点R是DE中点，DR=RE=，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似24如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90观察图形：（1）ABE与ECF是否相似？并证明你的结论（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由【分析】（1）由正方形的性质得出B=C=D=90，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出BAE=CEF，即可证出ABEECF；（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出AEF是直角三角形，AEF=90，得出，证出AEFABE，即可得出结论【解答】解：（1）相似，理由如下：四边形ABCD是正方形，B=C=D=90，AB=BC=CD=AD，BAE+AEB=90，AEF=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF，ABEECF；（2）ABEECFAEF，理由如下：E为BC的中点，BE=CE=BC=AB，由（1）得：ABEECF，=2，BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，=2，又AEF=B=90，AEFABE，ABEECFAEF【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键25如图，在RtACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后PCQ与ACB相似？【分析】设x秒后PCQ与ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6x当，或时，PCQ与ACB相似，解方程即可【解答】解：设x秒后PCQ与ACB相似由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6xC=C，当，或，PCQ与ACB相似，或，解得：x=，或x=；秒或秒后PCQ与ACB相似【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键26如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个