《运筹学》考试题及其答案.doc

2012-2013学年第1学期运筹学考试题答案要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。一、 考虑下面线性规划问题（1） 用图解法求解该问题；（2） 写出该问题的标准形式；（3） 求出该问题的松弛变量和剩余变量的值；（4） 用单纯形法求解。【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的可行域,目标函数,即是斜率为的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线沿其法线方向逐渐向上平移,直至A点,A点的坐标为(),所以此线性规划问题有唯一解。(2)给等式（2）左端添加剩余变量，给等式（3）左端添加松弛变量，则得到该问题的标准型为： （3）在上面标准型中令，得到剩余变量=0，松弛变量=0。（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量,，得到如下数学模型，由此列出单纯形表逐步迭代，用大M法求解计算结果如下表所示。CjxjXBCB4100MMbqiM【3】1001031M43100163/2012010033rj7 M44M1M0009M411/3001/3013M0【5/3】104/3126/5005/3011/3026/5rj(-z)0(5M+1)/3M0(7M+4)/304-2M4101/503/51/53/51/31013/504/53/56/5000【1】11100rj(-z)001/50M+8/5M-1/518/541001/52/503/510103/51/506/500011110rj(-z)0001/5M+7/5M18/5表中所有检验数rj0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解，目标函数的最优值。二、 试用表上作业法求解下列运输问题的最优解。产地 销地B1B2B3B4产量A148846A295634A33114212销量6277【解答】：显然该问题是一个供需平衡问题，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。B1B2B3B4产量A1648846A29256234A30311745212销量6277用位势法求出各非基变量（即空格）的检验数，如下表所示。B1B2B3B4A164(3)8(3)8(1)4=0A2(5)925(1)623=0A303(7)117452=1=4=5=53因为所有非基变量的检验数均为非负的，故表中的解为最优解。按照此种方案调运，最小费用为：64+25+23+03+74+52= 78三、 用标号算法求解下图中从V1到各点的最短路【解答】：此为最短路问题，权数为正，用Dijksta算法的计算步骤如下： 初始值 T( ) 01P( )+wij0+20+80+0+0+0+0+0+0+0+T( ) 282P( )+wij2+62+2+12+2+2+2+2+2+T( ) 833P( )+wij3+53+3+3+3+3+13+3+T( ) 844P( )+wij4+4+4+64+4+74+4+T( ) 810115P( )+wij8+78+8+8+8+8+T( ) 1510116P( )+wij10+10+410+10+10+T( ) 1514117P( )+wij11+11+11+11+9T( ) 1514208P( )+wij14+14+114+T( ) 1515119P( )+wij15+4T( ) 19由上表的迭代过程可得：， ， ， ，d(,)=2,最短路：（,）； d(,)=3,最短路：（,）；d(,)=4,最短路：（,）；d(,)=10,最短路：（,）； d(,)=8,最短路：（,）或（,）或（,）； d(,)=11,最短路：（,）；d(,)=14最短路：（,）；d(,)=15,最短路：（,）或（,）或（,）；d(,)=15,最短路：（,）； d(,)=19,最短路：（,）；四、 某公司面对四种自然状态的三种备选行动方案收益表如下，假定状态概率未知，试分别用悲观准则、等可能性准则、后悔值准则和乐观系数准则（=0.6）进行决策。状态收益 值方案1234A115806A241483A3141012【解答】：（1）应用悲观准则：S2为最佳方案。(2)应用等可能性准则：, , , ，S2为最佳方案。（3）应用后悔值准则：先求出后悔值矩阵 S2为最佳方案。 (4)应用乐观系数准则（=0.6）：先计算各个方案的折中益损值：， S2为最佳方案 已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中为松弛变量，问题的约束为 _ 形式（共8分） 5/201/211/25/211/201/61/300 (1)写出原线性规划问题；（4分）(2)写出原问题的对偶问题；（3分）(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分）四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） s. t. 3 x1 + x2 + x3 60 x 1- x 2 +2 x 3 10 x 1+ x 2- x 3 20 x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：问：应如何调运，可使得总运输费最小? 销 地 产 地 产 量1089523674768252550销 、灵敏度分析（共8分）线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3 s.t. x1 + x2 + x3 100 10x1 +4 x2 + 5 x3 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 300 x1 , x2 , x3 0的最优单纯形表如下：6x2200/305/615/3 1/6010x1100/311/60-2/31/600x6100040-201sj08/30-10/3 2/30(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分)(2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)七、试建立一个动态规划模型。（共8分）某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？八、求解对策问题。（共10分）某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。要求：（1）建立损益矩阵；（3分）（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）6812345756379342783 工序代号 工序 时间最早开工时间最早完工时间最晚开工时间最晚完工时间机动时间1-281-371-462-432-553-423-634-534-674-745-796-78十、用标号法求V1 到 V6 的最短路。（6分）3V4V5V3V1V2V6465664384运筹学样卷（一）答案一、 判断题。共计10分，每小题1分10XXXX二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）解：用分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；分别表示奶牛和鸡的饲养数；分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有三、对偶问题。共计8分解：（）原线性规划问题：；4分（）原问题的对偶规划问题为：； 3分（）对偶规划问题的最优解为：T 。1分四、单纯形表求解线性规划。共计16分解：引入松弛变量x4、 x5、 x6，标准化得， s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0 x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，03分 建初始单纯形表，进行迭代运算： 9分CBXbb2-11000x1x2x3x4x5x60x460311100200x5101-1201010*0x62011-100120s102*-110000x43004-51-307.52x1101-12010-0x61002-30-115*s22001*-30-200x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.5s32500-1.50-1.5-0.5由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T 2分最优值为： z*=25。2分 五、求解运输问题。共计18分解：（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分）设xij为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下： 销 地产 地产 量1231520302555252550销 3分所以，基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ； X31 =15； x33 =30； x34=5 其余的xij=0。 3分（2）求最优调运方案：1会求检验数，检验解的最优性：s11=2；s12=2；s13=3；s21=1；s23=5；s32= - 13分2会求调整量进行调整：=5 2分 销 地产 地产 量12315155302510252550销 量152030351003分3再次检验 2分 4能够写出正确结论解为：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30其余的xij=0。 1分 最少运费为： 535 1分。六、灵敏度分析。共计8分（1）（4分）（2）（4分）七、建动态规划模型。共计8分解：(1)设阶段变量k表示年度，因此，阶段总数n=3。(2)状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k1 年度末时的完好机床数量。(3)决策变量uk，表示第k年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是sk uk便为该年度中分配于生产产品 p1的机器台数（4） 状态转移方程为（5）允许决策集合,在第 k 段为（6）目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则 gk(sk,uk) = 45uk + 35(skuk) , 因此，目标函数为（7）条件最优目标函数递推方程。令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化原理有以下递推关系：（8）.边界条件为八、解决对策问题。共10分（1）益损矩阵如下表所示：3分 销 售订 购S1500S21000S31500S42000A1 500A2 1000A3 1500A4 20001500015003000150030001500015003000450030001500300045006000（2）悲观法：A1 ，订购500公斤。2分（3）后悔矩阵如下表所示：3分 S1S2S3S4最大后悔值A101500300045004500A215000150030003000A330001500015003000A445003000150004500 按后悔值法商店应取决策为A2或A3 ，即订购1000公斤或1500公斤。2分68123457563793427830871114182626141811980九、求网络计划图的各时间参数。（8分）工序代号 工序 时间最早开工时间最早完工时间最晚开工时间最晚完工时间机动时间1-28080801-37072921-460651162-4381181102-5581391413-427991123-63710151884-531114111404-671118111804-7411152226115-7