工程水文学第三章水文统计.ppt

水文统计基本原理及方法 内 容： 3.1 水文统计的意义及基本概念 3.2 频率和概率 3.3 经验频率曲线 3.4 随机变量的统计参数 3.5 理论频率曲线 3.6 抽样误差 3.7 水文频率分析方法 3.8 相关分析 重 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识； 水文频率及水文相关分析等水文统计计算。 难 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计计算 3.1 水文统计的意义及基本概念 3.1.1 水文统计的意义 水文现象具有必然性、偶然性（随机性）； 利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文 的随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象 的统计规律性； 以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率 意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。 3.1.2 事件 随机试验：对随机现象的观测 事件：随机试验的结果。包括： 1)必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的 事情。 2)不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生 的事情。 3)随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不 发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗 地讲，指在随机试验中测量到的数量。对于水文现象而言 ，指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和洪 峰流量等。分： 连续性随机变量，如水位、流量； 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 样本容量：样本中所含随机变量的项数。 有的现象无法得到总体，例如水文现象。 水文统计：各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验， 把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本 （样本应足够大，才能比较好的反应总体的近似情况） ， 利用数理统计的方法分析样本的统计规律， 考虑抽样误差作为总体的规律，应用到工程中 去解决实际问题。 3.1.4 数理统计法对水文资料的要求 检查资料的可靠性； 检查资料的一致性； 要求所使用的资料系列必须是同一类型或者在同一条件下 产生的。如：暴雨洪水和雨雪洪水；瞬时水位和日平均 水位。 检查资料的代表性； 一般认为资料系列越长，平丰枯水段齐全，其代表性越高 。 检查资料的随机性； 检查资料的独立性。 3. 2 频率和概率 3.2.1概率和频率 （1）频率 指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数 （频数）m与试验总次数n的比值，即： （2）概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件 的发生率，亦称为机率。根据事件出现的可能性是能够 预先估计出来，可分为事先概率和事后概率： 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预 先估计出来，如 投硬币出现正面和反面的机率； 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预 先估计出来，必须通过大量的重复试验之后才能估计 出它出现的可能性。 （3）频率与概率的关系（表3.1） 频率是经验值，概率是经验值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性 ； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成 样本系列，推求频率作为概率的近似值。 3.2.2 概率运算定律 (1)概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事 件均不能发生，这类事件称为互斥事件； 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概 率等于各个事件发生的概率总和。 （2）概率相乘定理 独立事件：多个事件中，某一事件的出现并不影响其他 事件的出现。 概率相乘定理:几个独立事件一并出现的概率等于各事件 出现概率之积。 （3）条件概率 【例】 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确定 水位H2.0m和H2.7m的概率？ 某站水位频率计算 表3.2 序号水位H（m）频数f（a）频率W（%） 累积频率P （% ） 1 2 3 4 5 4.0 3.5 2.7 2.0 1.9 2 10 16 9 3 5 25 40 22.5 7.5 5 30 70 92.5 100 40100 3.2.3 随机变量的概率分布 随机变量与其概率一一对应，这种随机变量与概率一一对 应的关系称为随机变量的概率分布规律简称概率分布 随机变量可分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量 水文学关心随机变量取值大于等于某一定值的概率，即P （Xxi），而该概率是x的函数 【例3.6】 离散型随机变量及其概率分布 Xx1x2xi P(X=xi)p1p2pi F(X)= P(Xx) 代表X大于某一取值x的概率，其几何曲线 称为概率分布曲线；如果用实测资料点绘的，水文上称 为累积频率曲线。 3.2.4 累积频率和重现期 （1）累积频率和随机变量的关系 水文特征值属于连续性随机变量 在分析水文系列的概率分布时，不用单个的随机变量（x=xi ）的概率，而是用xxi（或者xxi ）的概率P（ xxi ）（或 者P（ xxi ）。 累计频率指等于或大于（等于或小于）某水文要素出现可能 性的量度。 一般在实际应用中，用样本的频率分析曲线代替总体系列的 概率分布。 累积频率 样本足够大时，可以绘出累积 频率曲线。 在一个确定的随机变量系列内 ，各个随机变量对应着一个累 积频率值，随机变量的大小于 累积频率成反比。 工程上一般把累积频率为频率 。 根据选用样本的不同，频率分 为 年频率和次频率。 （2）重现期 重现期：指等于及大于（或等于及小于）一定数量级的 水文要素出现一次的平均间隔年数，以该量级频率的倒 数。 当洪峰流量、洪水位、暴雨时，使用的设计频率P 50% ，则 T=1/P 当研究枯水流量、枯水位时，设计频率P常采用大于50% 的值，则 T=1/（1-P）（设计保证率） 水文现象无固定的周期性。 注意：累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均 若干年出现一次，而不是固定的周期。 *年一遇 3.2.5 设计标准 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文 特征值出现的量值为工程设计的标准。 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以 及工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各 种水文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。 各地工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水 文分析计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为 工程设计的依据。 3.3 经验频率曲线 3.3.1 经验频率公式 我国目前采用的数学期望公式为： 当m=1时，P=1/（n+1） 当T=100a, 则 T=1/P=n+1=100 mxm在n项观测资料中按递减顺序排列的序号，即在n次 观测试验中大于或等于xm的次数 3.3.2 经验频率曲线的绘制和应用 如果有n年的水文资料。 1）将按时间顺序排列的实测资料按其数值大小进行递减顺序 的排列。成x1，x2，xn，对应序号m为1，2，n 2）利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。 3）以实测资料为变量 x x 作为纵坐标，以频率P 为横坐标，在 坐标纸上点绘经验频率点距（Pi，xi），通过点群中心，目 估绘制一条光滑的曲线，该曲线为经验频率曲线。 4）根据工程设计指定的频率，在该曲线上查出设计所需的相 应设计频率的水文数据。 将某水文变量f 按递减顺序排列，排列中的序号不仅表示排列大 小的次序，而且也表示变量自大到小(大于或等于)的累积次数。 3.3.3 经验频率曲线的外延 概率格纸 水平：正态曲线的概率分 布制成分格制成的。 非正态曲线：两端曲线坡度 变缓，有利于曲线外延 3.4 随机变量的统计参数 统计参数是反映随机变量系列数值大小、变化幅度、对称 程度等情况的数量特征值，因而能反映水文现象基本的统 计规律，概括水文现象的基本特征和分布特点，也是进行 理论频率曲线估计的基础。 统计参数有总体统计参数和样本统计参数。在水文学中主 要应用样本统计参数，来估计总体统计参数。 水文频率分析主要使用的统计参数包括 均值 变差系数 偏态系数 矩 3.4.1 均值 均值是反映随机变量系列平均情况的数。 加权平均法 算术平均法 若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑 出现次数的影响，用算术平均法求均值。 对于水文系列，一年内只选一个样或者几个样，水文特 征值重复出现的机会很少，一般使用算术平均值， 若系列内出现了相同的水文特征值，将相同值排在一起 ，各占一个序号。 推求的是 累积频率 l 均值特性 平均数反映了随机变量的平均水平，代表整个随机变量系 列的水平高低，故又称数学期望。 利用均值可以推求设计频率的水文特征值。 利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各 种等值线图。 l 模比系数 3.4.2 均方差和变差系数 要反映整个系列的变化幅度，或者系列在均值两侧分 布的离散程度，需要使用均方差和变差系数。 （1）均方差 为了避免一阶离差代数和为0，一般取 的平均 值的开方作为离散程度的计量标准，称为均方差。即： 对于样本系列有下列修正公式： 均方差表征的意义：表示分布函数的绝对离散程度。均 方差越大，系列在均值两旁分布越分散，其值变化幅度 越大；反之，依然。 【例】 甲系列：48，49，50，51，52 其均值=50 ；56均值 51 乙系列：10，30，50，70，90 其均值=50； 80均值 55 经计算后甲系列的均方差s甲=1.58， s乙=31.4。 甲系列离散程度小，乙系列离散程度大。 例：平均值相同， 均方差不同进行比较。 均方差小的均值代表性好，均 方差大的系列均值代表性差 （2）变差系数 均方差不仅受到系列分布的影响，也与系列的水平有关。 变差系数又称离差系数或者离势系数，是一个系列的均方 差与其均值的比值 用模比系数带入上式有： 【例】同上一例，计算得Cv甲=0.005, Cv乙=0.33,甲系列在均值两旁要集中 ，离散程度小 【例】见教材p50例3.8 【思考】一条河流上、下游断面的年平均流量的 Cv 值哪个大？为什么？ 3.4.3 偏态系数 偏态系数：对系列在均值两旁的对称情况的反映。 表达式（对于样本系列）： 当Cs=0时，系列在均值两旁对称分布； 当Cs0属正偏分布； 当Cs0.5 Cs=(23) Cv 年径流及年降水： Cs=2 Cv 3.5 理论频率曲线 经验频率曲线的缺点： 由于实测系列的项数较小，所绘经验频率曲线往往不能 满足推求稀遇频率特征值的要求 目估定线或外延会产生较大的误差。 需要借助某些数字形式的频率曲线作为定线和外延 的依据。通常在实测资料中选取或者算的23个有代表性 的特征值作参数，并据此选配一些数学方程作为总体系 列频率密度曲线的假想数学模型，在按一定的方法确定 累积频率曲线。这种用数学形式确定的、符合经验点据 分布规律的的曲线称为理论频率曲线【外延和内插的工 具】 我国水文分析常用到的理论频率曲线有：皮尔逊型曲 线；特殊情况下也可以用指数分布曲线，对数分布 曲线，极值分布曲线，对数正态分布和威布尔分布曲线 。 理论频率曲线皮尔逊型曲线 英国生物学家皮尔逊研究各种非正态的分布函数曲线形式 ，提出了13种分布曲线类型，其中第III型被引入水文学 中，并被我国采纳。 （1）皮尔逊型曲线是 一条一端有限、 一端无限的不对称 单峰正偏曲线， 数学上常称 伽玛分布。 曲线特点： 只有一个众数 曲线的两端或一端以 横轴为渐近线 由此建立微分方程式求解得： （）的伽玛函数 、a0分别为形状参数、尺度参数 和位置参数。 0， 0 。 、a0一经确定，PIII型密度函数随之确定。可以证明 ，三参数与均值、Cv、Cs有如下关系： 皮尔逊型频率曲线的密度函数可表示为以 、Cv、Cs 为参数的函数 y=f( , Cv ,Cs , x) (2)皮尔逊型频率曲线及其绘制 水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机 变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即: 求出等于及大于xp的累积频率P值。直接由上式计算P值 非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积 分形式 离均系数 被积函数只含一个参数Cs。只要给定Cs就可以算出P和p 的对应值，最终制定出PCsp 的对应数值表。(教材 附录3) 如何来绘制 在频率计算中，现由已知的Cs查值表得出不同频率下P 的离均系数P，然后将P及已知的x，Cv带入下式，即 可求得对应于频率P的水文特征值xp。 由不同的P及相应的xp，可绘制出一条与参数相应的理论 频率曲线 理论频率曲线绘制的步骤如下： 1）由实测的资料，统计并计算x，Cv 2）确定Cs 3）由Cs查表，得不同的P的离均系数P值。 4）求出Kp 5）由xp=Kpx，求不同P的xp，在海森概率格纸上，以P为横 坐标， xp为纵坐标，点绘理论点据（P，xp），根据理论 点据分布趋势，目估并绘制一条光滑曲线 【例3.9】见教材p56。 均值对频率曲线的影响 当皮尔逊型频率曲的两 个参数Cv和Cs不变时，由 于均值 的不同，可以使频 率曲线发生很大的变化。 （4）统计参数对频率曲线的影响 a.Cv、Cs相同时，均值大的曲 线位于均值小的曲线之上； ( 与均值成正比关系) b.均值大的曲线较均值小的曲 线陡。 c.均值不同的理论频率曲线无 交点 为了消除均值 的影响，以 模比系数K为变量绘制频率 曲线，如图所示。图中 cs=1.0，cv=0时，随机变量 的取值都等于均值，此时 频率曲线即为k=1的一条水 平线，随着cv的增大，频率 曲线的偏离程度也随之增 大，曲线显得越来越陡。 不同Cv的曲线在Kp=1的位 置处有交点 变差系数对频率曲线的影响 偏态系数对频率曲线的影响 正偏情况下， Cv相同时 ，Cs 愈大，均值（ 即图中k=1） 对应的频率愈 小，频率曲线 的中部愈向左 偏，且上段愈 陡，下段愈平 缓。 3.6 抽样误差 用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数是存在一 定误差的，这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与 总体有差异而引起的，与计算误差不同，称为抽样误差 。 抽样误差的大小由均方误差来衡量。计算均方误差的公 式与总体分布有关。公式见教材p61 公式3.31 抽样误差的大小，随样本项数 n、Cv和Cs的大小而变化。 样本容量大，对总体的代表性就好，其抽样误差就小， 这就是为什么在水文计算中总是想方设法取得较长的水 文系列的原因。 3.7 水文频率分析方法 水文频率计算的目的是选配一条与经验点配合较好的理论频率曲是选配一条与经验点配合较好的理论频率曲 线线，确定合适的参数作为总体参数的估计值确定合适的参数作为总体参数的估计值，以推求设计频率的以推求设计频率的 水文特征值水文特征值，作为工程规划设计的依据。 适线法适线法 先在机率格纸上按经验频率公式点绘出水文系列的经验频率点 ， 选定频率曲线线型， 取与经验点据拟合最佳的那条曲线和相应的参数，作为最终的 计算结果。 确定最佳拟合频率曲线，可使用不同的准则，因而有不同的方法 和结果。目前常用到的适线法有两种，包括经验适线法和优化适 线法。 （1）经验适线法（目估适线法） 根据实测资料和经验频率数学期望公式可以绘出一条经验 频率曲线，由皮尔逊型频率密度曲线积分，可以绘出一 条理论频率曲线。由于统计参数有误差，两者不一定配合 得好，必须通过试算来确定合适的统计参数这种方法也 叫试错适线法。试错适线法。 本法是以经验频率点据为基础，给它们选配一条符合较好 的理论频率曲线，并以此来估计水文要素总体的统计规律 。 具体步骤如下： （1）将审核过的实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率， 在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量的取值，横坐标为 对应的经验频率）； （2）计算均值、变差系数，假定偏态系数； （3）确定线型（一般选用皮尔逊型 ）； （4）根据拟定的统计参数查表计算理论频率曲线纵坐标，绘理论 频率曲线； （5）将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况 。若不理想，可通过调整 统计参数重新点绘频率曲线。 （6）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选出一条与 经验点据配合较好的曲线作为采用曲线，相应于该曲线的参数 便看作是总体参数的估值。 【例】某站共有实测降水量资料24年，求频率为10%和90% 的年降水量。 计算步骤为： 1.将原始资按大小次序排列，列入表（4）栏。 2.计算经验频率Pm =m/(n+1) 列入表（5）栏,并与xm 对 应点绘于概率格纸上。幻灯片 46 3.计算出多年的平均值为666.4mm,Cv=0.23 4.选定CV0.25，假定CS0.50。查表得P，求得 xP x（PCV1）幻灯片 46 根据表中（1）、（3）两栏的对应数值点绘曲线， 发 现曲线头部和尾部都偏于经验频率点据之下。 5.改变参数，选定CV0.30，CS0.75，查表计算出各xP 值。 绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，取为最后 采用的频率曲线。 3.8 相关分析 3.8.1 概述 （1）相关分析的意义和应用 自然界中有许多现象之间是有一定联系的。 按数理统计法建立上述两个或多个随机变量之间的联 系，称之为近似关系或相关关系。把对这种关系的分 析和建立称为相关分析相关分析。 相关分析可以用来延长和插补短系列。相关分析可以用来延长和插补短系列。 （2）相关的种类 根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三种 情况：即完全相关、零相关、统计相关。 两变量x 与y 之间，如果每 给定一个x 值，就有一个完 全确定的y 值与之对应，则 这两个变量之间的关系就是 完全相关。 两变量之间毫无联系，或某一现象 （变量）的变化不影响另一现象（ 变量）的变化，这种关系则称为 零 相关 。 若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称 为统计相关。当只研究两个变量的相关关系时，称为简单 相关；当研究3个或3个以上变量的相关关系时，则称为复 相关。在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关 。 （3）相关分析的内容 相关分析（或回归分析）的内容一般包括三个方面： 判定变量间是否存在相关关系，若存在，计算其相关系 数，以判断相关的密切程度； 确定变量间的数量关系回归方程或相关线； 根据自变量的值，预报或延长、插补倚变量的值，并对 该估值进行误差分析。 3.8.2 简单直线相关 （1）相关图解法 设xi 和yi 代表两系列的观 测值，共有n 对，把对应值 点绘于方格纸上，得到很 多相关点。如果相关点的 平均趋势近似直线，即可 通过点群中间及 、 点绘 出相关直线， （2）相关分析法 直线回归方程 为避免相关图解法在定线上的任意性，常采用相关计算法 来确定相关线的方程，即回归方程。简直线相关方程的 形式为: y = a + y = a + bxbx 式中 x 自变量； y 倚变量； a、b 待定常数。 待定常数a、b 由观测点与直线拟合最佳，通过最小二乘 进行估计。最后得到如下形式的回归方程： 此式称为y 倚x 的回归方程，它的图形称为y 倚x 的回归线，如 前图（a）线所示。若以y 求x ，则要应用x 倚y 的回归方程，如 前图（b）线所示，方程为将上式中x,y对调。 一般y 倚x 与x 倚y 的两回归线并不重合，但有一个公共交点。 相关系数与回归系数 1）相关系数：反映两个变量之间关系的密切程度。 相关系数越接近于1，两变量间关系越密切。 2）回归系数：回归直线的斜率在回归方程中称为回归系数。 两个系列的均方差为 经整理有： 直线回归方程可以写成： 相关分析的误差 1）回归线的误差 回归线仅是观测 点据的最佳配合线， 通常观测点据并不完 全落在回归线上，而 是散布于回归线的两 旁。 因此，回归线只反映两变量间的平均关系。按此关系 由 推求的 和实际值之间存在着误差，误差大小一般采用均