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第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程的定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、小结与练习 2007-3-181 一、二阶常系数线性微分方程的定义 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式: 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式: 2007-3-182 二、二阶常系数齐次线性微分方程解法 -解法:特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 设 2007-3-183 1. 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解为 故齐次方程的通解为 特征根为 2007-3-184 2. 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 将代入原方程,并化简得: 设另一特解为 则 2007-3-185 3.有一对共轭复根 重新组合 故得齐次方程的通解为 特征根为 (欧拉公式,第九章介绍) 2007-3-186 定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 解特征方程为 解得 故所求通解为 例1 2007-3-187 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 2007-3-188 综上所述，求解二阶常系数齐次线性微分方程的 步骤如下： （一）写出微分方程（1）的特征方程 特征方程（2）的两个根微分方程（1）的通解 两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 （二）求出特征方程（2）的两个根 （三）根据根的不同情况，写出微分方程（1）的通解: 2007-3-189 三、内容小结 求二阶常系数齐次微分方程通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 2007-3-1
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