空间直角坐标系(86).ppt

一、空间直角坐标系 二、曲面方程 第一模块 函数 极限 连续 第一节 空间直角坐标系、曲面方 程与空间曲线 三、空间曲线 以 的角度转向 y 轴的 正向， 1. 空间直角坐标系 过空间定点 O 作三条互相垂 直的数轴， 它们都以 O 为原点， 并且通常取相同的长度单位. 这 三条数轴分别称为 x 轴，y 轴， z 轴. 各轴正向之间的顺序通常 按下述法则确定:以右手握住 z 轴， 让右手的四指从 x 轴的正向， 图 8 1 这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向. 这个 法则叫做右手法则. 右手法则则 一、空间直角坐标系 这样就组成了空间直角坐标系. O 称为坐标原 点， 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面， 简称为 坐标面. x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 x y 坐表 面， 类似地有 y z 坐标面，z x 坐标面 . 这些坐标面把空间分成 八个部分，每一个称为一个 卦限. x、y、z 轴的正半轴 的卦限称为第 I 卦限， x y z O 八卦限 空间的点就与一组有序数组 x，y，z 之间建 立了一一对应关系. 按逆时 针的方向 从第 I 卦限开始，从 Oz 轴的正向向下看， ，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限; 第、 、 、 卦限下面的空间部 分依次称为第 、 卦限. x y z O M P R Q 它们分别称为 x 坐标，y 坐标和 z 坐标. 有序数组 x，y，z 就称为点 M 的坐标，记为 M(x，y，z)， 过点 M1 M2 各作三张平 面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 求 它们之间的距离 d = |M1M2|. 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), (M1QM2 是直角三角形) 易知 (M1PQ 是直角三角形) z O y1 x y z1 z2 y2 x2 x1 Q P M1 M2 2.两点之间的距离 图 8 - 4 所以 特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离 两点间距离 例 4已知 A (3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). AOB 的周长. 解由两点间距离公式可得 由两点间距离公式 可得 所以，AOB 的周长 若曲面 上的点的坐标都满足方程 F( x, y, z ) = 0 (或 z = f ( x , y )， 而不在曲面 上的点的坐标 都不满足方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y )， 则 称方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y ) 为曲面 的方程. 而曲面 就称为方程 F( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y ) 的图形. 二、曲面方程的概念 1.球面方程 球心在 M0 ( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球面方程 半径为 R 的球面方程为球心在原点时， 三、常见的二次曲面及其方程 半径为 1 的 球面. 例 1 表示怎样的曲面? 解原方程两边同时除以 2 ， 并将常数项移到 等式右端，得 配方得 所以， 原方程表示球心在 定曲线 C 称 为柱面的准线. 2.母线平行于坐标轴的柱面方程 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线， L C 柱面的形成 由于方程 f (x , y)= 0 不含 z， 所 以点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . 设 M (x, y, z)为柱面上的任一点， 过M 作平行于 z 轴的直线交 x y 坐标面于点 由柱面定 义可知 必在准线 C 上. 所以 的坐标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 . 而不在柱面上 的点作平行于 z 轴的直线 与 x y 坐标面的交点必不在曲线 C 上 ， 也就是说不在柱面上的点的坐 标不满足方程 f (x , y)= 0. 所以 ，不含变量 z 的方程x y z O M L C 现在来建立以 x y 坐标面上的曲线 C : f ( x , y ) = 0 为准线， 平行于 z 轴的直线 L 为母线 的柱面方程 . f (x , y)= 0 在空间表示以 x y 坐标面上的曲线为准线， 平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 类似地， 不含变量 x 的方程 f( y , z)= 0 平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线， 而不含变量 y 的方程 f (x , z)= 0 在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面. 例如方程 在空间表示以 x y 坐标面 上的圆为准线、 平行于z 轴的直线为母线的柱面. 称为 圆柱面 x y z O 方程 y = x2 在空间表示以 x y 坐标面上的抛物 线为准线、 平行于z 轴的直线为母线的柱面. 称为 抛物柱面. x y z O 平行于 y 轴的直线为母线的柱面, 方程 在空间表示以 x z 坐标面上的椭 圆为准线， 称为椭 圆柱面. x y z O 2 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程. 现在来建立 y z 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 设 M( x, y, z ) 为旋转曲 面上任意一点， 过点 M 作平 面垂直于 z 轴， 交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )， 交曲线 C 于点 M0( 0, y0, z0 ). 由于点 M 可 以由点 M0 绕 z 轴旋转得到， 因此有 3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程 平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形 成的曲面， 称为旋转曲面， 定直线 L 称为旋转轴. x y z O M M0 P C f ( y0 , z0 ) = 0 所以又因为 M0 在曲线 C 上， 将 、 代入 f ( y0 , z0 ) = 0， 即得旋转曲面方程 : 同理，曲线 C 绕 y 轴旋转成的曲面方程为 所以 y z O M M0 P C 旋转曲面的形成 例 2 将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求 所得旋转曲面方程: (1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a 0 )， 绕 z 轴. (2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2( a 0 )， 绕 z 轴. (3) x y 坐标面上的椭圆 分别绕 x、y 轴. 解 (1) y z 坐标面上的直 线 z = ay( a 0 )绕 z 轴旋转， 故 z 保持不变，将 y 换成 则得 即所求旋转曲面方程为 表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点. (2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为 该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地， 所表示的曲面称为椭圆抛物面。 方程 x y z O (3) x y 坐标面上的椭圆 绕 x 轴旋转 ，故 x 保持不变，而将 y 换成 得旋转 曲面的方程为 该曲面称为旋转椭球面. 类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面 的方程为 一般地，方程 所表示的曲面称为椭球面. 其特征是: 用坐标面或平 行于坐标面的平面 x = m ， y = n， z = h ( a m a ， b n b ， c h c) 截曲面所得到的交线均为 椭圆. 当 a，b，c 中有 a = b 或 b = c或 a = c 时， 即为旋转椭球面， 当 a = b = c 时，即为球面. x y z O 1.空间曲线的一般方程 称为空间曲线的一般方程 例 3 下列方程组表示什么曲线? 四、空间曲线的方程 z = 3 是平行于 x y 坐标面的平面， 因而它们的交线是在平面 z = 3 上的圆. (1) 因为 x2 + y2 + z2 = 25 是球心在原点， 半径为 5 的球面， 解 x y z O 因而它们的交线是在 x y 坐标面上 的圆 z = 0 是 x y 坐标面， (2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同， 若把(2)写成同解方程组 它表示母线平行于 z 轴的 圆柱面与 x y 坐标面的交线. 这 样更清楚地看出它是 x y 坐标 面上的圆 x y z O t 为参数. 2.空间曲线的参数方程 空间曲线 上动点 M 的坐标 x，y，z 也可以用 另一个变量 t 的函数来表示， 即 形如上的方程组称为曲线 的参数方程， 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 向平行于 z 轴的方向上升. 例 4 设质点在圆柱面 上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 运动开始，即 t = 0 时， 求质点的运动方程. 解 设时间 t 时， 质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为： 此方程称为螺旋线方程. z yx P0 Q P O 设 为已知空间曲线， 则以 为准线， 平行于 z 轴的直线为母线的柱面， 称为空间曲线 关于 x y 坐标面的投影柱面. 而投影柱面与 x y 坐标面的交线 C 称为曲线 在 x y 坐标面的投影曲线. 类似地， 可 以定义曲线 关于 y z 坐标面、z x 坐标面的投影柱 面及投影曲线. 设空间曲线 的方程为 消去 z ，得 G( x , y )= 0. 五、空间曲线在坐标面上的投影 就 可得到 关于 yz 坐标面 或者 zx 坐标面的投影柱面 方程， 可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而 就是曲面 在 x y 坐标面上的投影曲线的方程. 同理， 从曲线 的方程中消去 x 或者 y， 从而也可得到在相应的投影曲线的方程. 得 x2 + y2 3x 5y = 0 ， 在 x y 坐标面上 的投影曲线的方程. 例 5求曲线 解从曲线 的方程中消