向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离.ppt

a b A B CD 设异面直线a、b的夹角为 cos = AB , CDcos | |= AB CD AB| |CD| | = AB , CD或 = AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。 1 求直线和直线所成的角 一、用向量法求角 2、求直线和平面所成的角 C B n 设直线BA与平面的夹角为， n 为平面的法向量, A g 1 n 与向量 BA 的夹角为锐角g 1 当 = C B A n g 2 n 与向量 BA 的夹角为钝角g 2 当 = b a l q n1 n2 g 3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设 , = g n1n2 设a l b的平面 角为q q =g b a l q n1 n2 g g 两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。 b a l q n1 n2 g b a l q n1 n2 g 设 , = g n1n2 设a l b的平面 角为q q =g 两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。 二：向量法求距离 A B 1、已知A(x 1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2) |AB|= 其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。 2. 点到平面的距离 已知AB为平面a的一条斜线段, n平面a的法向量. 则A到平面a的距离 | | AB n | |n d= BC A n a 3. 直线和它平行平面的距离 n 已知直线a平面,求a到平面的距离 A B 在a和平面上分别任取一点A和B n 是平面的一个法向量 直线a和它平行平面的距离为 | | AB n | |n d= a 4. 两个平行平面间的距离 A B n | | AB n | |n d= A、B分别是a、上的任意点， n 是平面a、 的一个法向量 a b a b A B 只需在两条异面直线a 、 b上 分别任取一点A、B。 设与a 、 b的方向向量都垂直的 向量为 n 则 n n a =0 n b =0 a、b之间的距离 | | AB n | |n d= 3、求两条异面直线的距离 1 G K F E A B1 C1 D1 C D BA z y x 例1：棱长为1的正方形ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是 棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点， 求A1D与CK的夹角； 求点B到平面EFG的距离； 二面角GEFD1的大小 （用三角函数表示） DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） 求A1D与CK之间的距离。 解：以D为坐标原点 DA , DC , DD1 为单位正 交基底建立直角坐标系。 G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA z y x A1(1,0,1) D(0,0,0) C(0,1,0) DA1=(1,0,1) , CKcosDA1 = | |CK| | DA1 CK DA1 DA1 与CK的夹角为 求点B到平面EFG的距离； z y x G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA 设面EGF的法向量=(x, y, z) n n EG=0 n EF =0 令x=1,得=(1, 1,1) n 点B到平面EFG | | BE n | |n d= 二面角GEFD1的大小 （用三角函数表示） z y x G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA 由知面GEF的法向量 =(1, 1,1) n 而面DAD1A1法向量 DC =(0, 1,0), , cosDCn 在二面角GEFD1内是指向面GEF nDC 是背离平面DAD1A1 二面角GEFD1为 DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） z y x G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA 由知面GEF的法向量 =(1, 1,1) n DD1 =(0,0,1) , cosDD1n , DD1n DD1与平面EFG所成的角为 求A1D与CK之间的距离。 G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA z y x A1D =(1,0 ,1) =(x, y, z) n 且设 令x=2,得=(2, 1, 2) n G K F E A1 B1 C1 D1 C D BA z y x =(2, 1, 2) n A1D与CK之间的距离 | | DK n | |n d= 例2 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1 上的任意一点. 求证:BDAP C1P=2,求二面角AB1PB的正切值。 z y x A 1 B1 C1D1 C D B A P 证明：以D为坐标原点建立如图所示 坐标系。 A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0) 由已知可知P(0,4,z) AP BD =(4, 4, z ), =(4,4, 0 ), AP BD =1616=0 AP BD AP BD C1P=2,求二面角AB1PB的正切值。 解：P(0, 4,3) B1(4,4,5) z y x A1 B1 C1D1 C D B A P AP = (4, 4,3) PB1=(4, 0,2) 令平面APB1的法向量为=(x, y, z) n n n AP =0 PB1=0 由 令x =2 得=(2, 5, 4 ) n 而面BCPB1的法向量为 CD的方向向量 =(0, 1, 0 ) m , cosmn 在二面角AB1PB内是指向平面APB1 n z y x A1 B1 C1D1 C D B A P 在二面角AB1PB内是指向平面APB1 n m在二面角AB1PB内是背离平面BCPB1 故二面角AB1PB的平面角为 , mn 不妨令二面角AB1PB的平面角为 tan 二面角AB1PB的正切值为 例3 在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰直角三角形,侧面DBC 是等边三角形,平面DBC平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为 BD,AD 中点。 求二面角FCED的大小； 求点B到平面CEF的距离； 直线CE与平面ABC所成的角； O 解：找BC的中点O,连AO,DO ABC是等腰三角形 AOBC于ODOBC于O DO面ABC 故可以以O为坐标原点OA、OC、OD 分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系 z y x B F E D A C A BC O x y x O z y B F E D A C A BC O x y 设面EFC的法向量=(x, y, z) n n CE=0 n EF =0 由 令 x =1 因OA面BCD,故 =(1, 0, 0)为面BCD的一个法向量 m x O z y B F E D A C m =(1, 0, 0) 在二面角FCED内 指向面EFC, n m 在二面角FCED内是背离面BCD 二面角FCED的大小等于 即二面