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结构稳定理论与设计 东南大学土木工程学院 舒赣平 教授 研究生课程 结构稳定理论与设计 第4章 压弯构件的稳定 概 述 压弯构件同时承受轴向压力和弯矩的构件，亦称 Beam-Columns。本章仅讨论弯矩作用在一个主平面（单向 ）的压弯构件。 压弯构件弯矩的产生 主要分三大类： （1）压力偏心 （2）杆端弯矩 （3）横向荷载 作用在压弯构件上的压力和弯矩不一定由相同荷载引起 ，即压力和弯矩不一定按比例增加，是两个独立的变量，可 能有不同的加载过程。 a 比例加载 偏心受压； b 先加 P 后加 M 框架柱、高耸结构； c 先加 M后加 P。 弹性阶段：构件受力与加 载过程无关，只与最终的 P与 b M值有关； 弹塑性阶段：构件 b a c 的受力不但与P和M的值有关， 还取决于加载历史，分析较困 难，需采用一些近似假定。 c P P MM 当采用不同的 计算理论和力学模 型时，压弯构件的 荷载-挠度曲线差别 很大： a. 理想轴压柱； b. 考虑初偏心的二 阶弹性分析； c. 考虑初偏心的二 阶弹塑性分析(有 下降段)； e. 考虑初偏心的一 阶弹性分析。 4.1 压弯构件平面内失稳 对压弯构件，当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避 免发生弯扭失稳时，其失稳则只可能发生弯矩作用平面内 弯曲失稳。 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.1 压弯构件弯矩作用平面内的弹性弯曲失稳 1. 端弯矩作用下的压弯构件 由高阶微分方程的通解 代入边界条件求解！ M M M M 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.1 压弯构件弯矩作用平面内的弹性弯曲失稳 1. 端弯矩作用下的压弯构件 由高阶微分方程的通解 代入边界条件 得 由 得任意点的弯矩: 最大弯矩截面位置的确定，由 或 设M1M2，可解得最大弯矩截面的位置为 ，代入上述弯 矩表达式得最大弯矩为： 讨论： （1）若 或 ，最大弯矩发生在端部，即 （2）若 （条件： ），系数 （3）若两端弯矩相等，即M1=M2=Meq，最大弯矩为： 取Meq为等效弯矩，以替代端弯矩 的作用，使替代后杆件的Mmax相等。 例：当 时 等效弯矩 等效弯矩系数 1. 端弯矩作用下的压弯构件 将“非纯弯轴压” 按最大弯矩相等原则转化成 纯弯轴压 “标准受力状态” ？ 等效弯矩系数代表了等效弯矩Meq与较大端弯矩M1的比 值，可画出 m与 端弯矩及Pcr的关 系曲线，Austin 建议用两段直线 代替，即取： 但限制 。 我国我国钢结构设计钢结构设计 规范规范亦采用此式，亦采用此式， 但新规范已取消但新规范已取消 的限制。的限制。 2 2 横向均布荷载作用下的压弯构件横向均布荷载作用下的压弯构件 采用瑞利-里兹法（能量法能量法），）， 假设挠曲线（满足边界条件）： （1 1） （1）式成为： 结构处于平衡状态时，有： 即跨中挠度 或 近似得 =1530=1530 最大弯矩截面在跨中： 或 令 ，上式得 这里 称为弯矩放大系数 对均布荷载作用的压弯构件： 与等效杆端弯矩作用的压弯杆比较可得等效弯矩系数： 3 跨中集中力作用下的压弯构件 当 时， 平衡微分方程为： 或 通解为： 由边界条件： 得到B=0， 则挠曲线 当当 时，得跨中挠度时，得跨中挠度 令令 ；得；得 将将tgtgu u用幂级数展开，得：用幂级数展开，得： 即即 ； P=0P=0 P=0.7PP=0.7Pcr cr P=0.4PP=0.4Pcr cr QQ v v v v QQ为常数为常数 QQ与与P P按比例增加按比例增加 压力压力P P 的影响的影响 横向荷载的影响横向荷载的影响 最大弯矩截面在跨中：最大弯矩截面在跨中： 等效弯矩系数为：等效弯矩系数为： 4 两端固定约束的压弯构件 适用于任意边界条件的轴心压杆高阶平衡微分方程： 剪力平衡： 横向力系平衡： 当边界条件一定时，此式同样可用于横向荷载作用的压弯构 件，可解得： 两端固定、承受均布荷载的压弯杆： ；等效弯矩系数: 两端固定、承受跨中集中荷载的压弯杆： 5 5 压弯构件的设计表达式压弯构件的设计表达式 对于弹性压弯构件，根据各种荷载作用和支承条件，跨 中弯矩Mmax的表达通式为： 再考虑初始缺陷的影响，假定各种缺陷的等效初弯曲呈 跨中挠度为v0的正弦曲线，则在各种荷载作用和支承条件下 跨中最大总弯矩为： 当压弯构件长度中点截面边缘 纤维达到屈服时，应满足： 5 5 压弯构件的设计表达式压弯构件的设计表达式 令M=0，得到由初始缺陷的轴压构件边缘屈服时的表达式： 整理得基于边缘屈服的设计表 达式： 此时，为轴心压杆稳定系数，得 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.2 压弯构件弯矩作用平面内的弹塑性弯曲失稳 压弯构件的极限 荷载求解比较困难， 一般情况下可用数值 积分法得到数值解， 但如果截面形状比较 简单，不考虑初弯曲 和较复杂的残余应力 分布影响时，经简化 后也可用解析法得到 近似解。 压弯构件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件在到达承载能力的极限状态（压溃荷载）时，弯 矩最大截面的边缘部分纤维已超过弹性阶段开始屈服，实际结 构需考虑材料的弹塑性性能计算其极限荷载。 杆件任意截面内外弯矩的平 衡关系为： 弹性阶段： 弹塑性阶段: 随着外荷载的增加，弹性区 缩小，构件的抗弯刚度降低，曲 率是弯矩M、轴力P的函数。 求解时需考虑 MP 之间的相应关系。 1. 1. JezekJezek法法 JezekJezek法的基本假定：法的基本假定： （1 1）材料为理想弹）材料为理想弹 塑性；塑性； （2 2）杆件截面为矩形；）杆件截面为矩形； （3 3）构件挠度曲线为一正）构件挠度曲线为一正 弦半波，即：弦半波，即： （4 4）承受等端弯矩，且只考虑中央截面的内外力平衡。）承受等端弯矩，且只考虑中央截面的内外力平衡。 截面轴力：截面轴力： 或或 （1 1） 内外弯矩平衡：内外弯矩平衡： （2 2） 仅受压区截面屈服仅受压区截面屈服 （1 1）、（）、（2 2）两式可解得：）两式可解得： （3 3） 截面曲率：截面曲率： （4 4） 由挠曲线：由挠曲线： （5 5） 以上以上3 3式可解得构件的压力挠度曲线函数：式可解得构件的压力挠度曲线函数： （6 6） 由极值条件由极值条件dPdP/ /dvdv=0=0，得到得到P P与与v v的关系式：的关系式： 带入带入(6)(6)式式 得： 即极限荷载： 由（3）和（6）式可解得： （7） 即 说明极限荷载相当于以弹性区为截面的轴压杆的屈曲荷载。 由（1）式 得 得相关公式： I Ix x MM y y= = Py=bhy 当受压及受拉区截 面均屈服时（弯矩相对 较大），同样可得压弯 构件在弹塑性阶段失稳 时轴力P与弯矩M的相 关关系： 受压及受拉区截面均屈服受压及受拉区截面均屈服 Jezek法只能求解上述特定条件下的压弯构件，通常情 况下，压弯构件在弹塑性阶段的工作与加载过程有关，一般 假定先作用压力P，在P维持不变的情况下不断增加曲率并 求得相应的弯矩，即可得MP关系。 2 MP关系曲线的求解 已知轴向压力已知轴向压力P P和曲率，由平截面假定可和曲率，由平截面假定可 得计算截面上任一点的应变为：得计算截面上任一点的应变为： （1 1） 式中式中 c c 截面形心处的应变；截面形心处的应变； x x 所计算点的坐标；所计算点的坐标； r r 初始应力（如残余应力）。初始应力（如残余应力）。 由材料的由材料的 关系，可得该点应力：关系，可得该点应力： = f= f（ ） （2 2） 再由轴力和弯矩平衡，可得：再由轴力和弯矩平衡，可得： （3 3） （4 4） 四个方程可解出四个未知数四个方程可解出四个未知数 、 c c 、 、 MM，即可得即可得 MM P P 关系曲线。关系曲线。 MP关系曲线 与截面的形状、材料的 弹塑性性能、残余应力 的分布等有关。除矩形 截面、理想弹塑性材料 、不考虑残余应力的截 面外，一般找不到解析 解。图示为宽翼缘工字 钢绕弱轴屈曲、材料为 理想弹塑性时的MP 关系曲线。 3 数值积分法CDC（ Column Deflection Curve）法 需要考虑各种因素（截面形状、残余应力、几何缺陷、端部 约束等）的压弯构件，变形后其挠度曲线是未知的，直接利用平 衡关系求解已不可能，Jezek方法只能建立最大弯矩截面的内外 力平衡关系，分析中也没有考虑残余应力等初始缺陷的影响。 WFChen提出可用数值积分的方法代替直接积分，其基本思想 是首先将杆件划分若干微段，再将截面划分为微小单元： 3 数值积分法CDC（ Column Deflection Curve）法 因任意单元的应变： 任意单元的应力： ；（当 时，取 ） 任意单元的轴力： 截面的轴力： ； 截面上的弯矩： 3 数值积分法CDC（ Column Deflection Curve）法 联合求解以上公式可得MP关系，具体过程： （1）先假定P和，求出 相应的M，在弹塑性阶段， 因部分单元已进入塑性，此 时单元应力 ，求得 的P可能与假设值有误差， 调整P 继续计算，直到符 合精度要求。 （2）求出截面弯矩M， 即可得MP关系。 再将杆件划分为若干个微小的单元段，假定每一微段的变形 曲线是一圆弧，建立递推关系，根据已知的初始条件即可求得各 分段点的挠度y、转角以及弯矩M和曲率。 计算时以杆端的已知条件 挠度y0=0、曲率0作为初始条件， 对于给定的压力P和初始转角=0，可得出第一微段的挠度 y1近 似等于： P P 0 0 1 1 2 2 i i y y1 1 y y2 2 y y i i z z1 1 z z2 2 z z i i z z0 0 MM 0 0 按此4个公式递推下去，可建立起第i 微段的递推公式： 对每一微段重复以上递推公式，直到第n个微段的转角n等于 零为止，它表明此时的yn即为杆的跨中点。根据压杆的挠度曲 线关于跨中对称的特点，可得到杆 长为L=2yn。 若保持压力P 不变，不断变换 初始转角0的值，可得到一族柱的 挠度曲线,最大杆长Lmax即为临界荷 载P所对应的杆长。 L L maxmax P P L L 若保持压力Pi不变，初始转角0的假设值 应满足构件跨中中点的转角m0 （m10 5）；若不满足，则调整0重新迭代，得到给 定轴力Pi作用下对应的跨中挠度值vm1；同理 ，可得到不同轴力P作用下对应的构件跨中 挠度值vm，最终得到P- vm曲线，其极限点B 对应的P即为极限荷载Pu 我国钢结构设计规范采用CDC法计算出压弯构件在等 端弯矩作用下的极限荷载（压溃荷载），此极限荷载曲线是P 、M以及的函数， 为简化计算，借用了 弹性压弯构件相关公 式的形式，拟合出设 计计算式。其余荷载 作用情况用等效弯矩 系数m进行修正。 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.3 钢结构设计规范压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个 计算准则： 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.3 钢结构设计规范压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算 1. 边缘屈服准则 2. 极限承载力准则 边缘屈服准则以弹性分析为基础，以弯矩 最大截面纤维屈服为计算准则，适用于冷 弯薄壁型钢压弯构件，因为其边缘屈服荷 载非常接近于极限荷载，同时也适用于格 构式构件绕虚轴弯曲失稳的情况。 设计表达式 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个 计算准则： 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.3 钢结构设计规范压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算 2. 极限承载力准则 一般钢结构压弯构件当最大弯矩截面纤维 开始屈服时尚有较大的强度储备，可以容 许一定的塑性开展，应以弹塑性稳定理论 为基础，采用失稳时的极限荷载为计算准 则。 假定：l/1000的初弯曲； 实测的残余应力分布； 数值求解近200条极限承载力曲线； 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个 计算准则： 4.1 压弯构件平面内失稳 4.1.3 钢结构设计规范压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算 2. 极限承载力准则 假定：l/1000的初弯曲； 实测的残余应力分布； 数值求解近200条极限承载力曲线； 得到的极限承载力Pu借用压弯构件 弹性（边缘屈服）计算公式形式。 考虑截面塑性开展和二阶弯矩 设计表达式 抗力分项系数 4.1 压弯构件平面内失稳 2. 极限承载力准则 对单轴对称截面（如 T形或槽形）压弯构件 ，当弯矩作用在对称轴 平面内且使较大翼缘受 压时，有可能在较小翼 缘一侧产生较大的拉应 力并在其边缘纤维首先 到达fy（受拉）。对这 种情况的压弯构件尚应 按下式计算： 抗力分项系数 4.2 压弯构件平面外失稳 当压弯构件没有设置侧向支撑时，在外荷载P尚未 达到平面内弯曲失稳的临界荷载之前，就可能导致压弯 构件发生空间的弯扭失稳，也称平面外弯扭屈曲。当构 件长细比较大时，有可能在弹性阶段失稳；在长细比较 小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳。 对于外力作用和端部支撑条件较简单的压弯构件， 可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确解； 如果外力作用或端部支撑条件较复杂，可以用能量 法求解。 在弹塑性阶段发生弯扭屈曲的压弯构件，采用数值 法可以获得较高的求解精度。 4.2 压弯构件平面外失稳 4.2.1 压弯构件的弹性弯扭失稳 4.2 压弯构件平面外失稳 受力特点：在梁的弯扭失稳基础上加上轴力影响 4.2.1 压弯构件的弹性弯扭失稳 弯矩放大二阶效应 P P 4.2 压弯构件平面外失稳 受力特点：在梁的弯扭失稳基础上加上轴力影响 4.2.1 压弯构件的弹性弯扭失稳 弯矩放大二阶效应 4.2 压弯构件平面外失稳 对双轴对称截面， 4.2.1 压弯构件的弹性弯扭失稳 4.2 压弯构件平面外失稳 4.2.1 压弯构件的弹塑性弯扭失稳 压弯构件在弹塑性状态发生弯扭失稳时，求解屈 曲荷载的方法主要有解析法和数值法。 1、折减翼缘厚度解析法： 压弯构件长细比较小及其它因素共同作用下，构 件可能在弹塑性阶段发生失稳。其最大受压翼缘的平 均应力1超过比例极限fP、且出现部分塑性区。 折算翼缘厚度法针对受压最大翼缘，将最大受压 翼缘面积按刚度折算，保持截面其他部分的尺寸不变 ，将折算后的截面按弹性方法计算临界荷载。 若腹板部分出现塑性区，因对y轴抗弯刚度影响很 小，可不改变腹板尺寸，影响不大。 4.2 压弯构件平面外失稳 4.2.1 压弯构件的弹塑性弯扭失稳 1、折减翼缘厚度解析法： 平面外弹塑性屈曲 单轴对 称截面 N1为截面受压最大翼缘内力， N1 当1有一增量（d1）时， 4.2 压弯构件平面外失稳 4.2.1 压弯构件的弹塑性弯扭失稳 1、折减翼缘厚度解析法： 单轴对 称截面 当1有一增量（d1）时， 4.3 压弯构件弯矩作用平面外的稳定理论在 设计中的应用 对于双轴对