2017年高考数学解析几何圆锥曲线真题汇编.docx

2017年高考数学解析几何真题汇编1.（北京卷（理）已知抛物线过点,过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点.（）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：为线段的中点.解：（）因为抛物线过点，把代入，得焦点坐标，准线为。（）设过点的直线方程为，直线，直线由题意知由，可得A为线段BM中点。2.（北京卷（文）已知椭圆的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在轴上，离心率为（）求椭圆的方程；（）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：与的面积之比为4:5解：（）焦点在轴上，且顶点为椭圆方程为（）设 ，直线的方程是 ，直线的方程是 ，直线的方程是 ，直线与直线联立 ，整理为： ，即 即，解得，代入求得 又和面积的比为4:53.（全国卷）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点又由知，不经过点，所以点在上因此解得故的方程为（2）设直线与直线的斜率分别为如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为则，得，不符合题设从而可设，将代入得由题设可知设，则而 由题设，故即，解得当且仅当时，于是，所以过定点4.（全国卷）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. 解：（1）设，则由得，因为在上，所以，因此点的轨迹方程为（2）由题意知，设，则，由得又由（1）知，故所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.5.（全国卷）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆（1）证明：坐标原点在圆上；（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程解：（1）设由可得，则又，故因此的斜率与的斜率之积为，所以故坐标原点在圆上（2）由（1）可得故圆心的坐标为，圆的半径由于圆过点，因此，故，即由（1）可得所以，解得或当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为6.（山东卷（理）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（）求椭圆的方程；（）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.解：（）由题意知 ，所以 ，因此 椭圆的方程为.（）设，联立方程，得，由题意知，且，所以 .由题意可知圆的半径为：由题意知，所以由此直线的方程为.联立方程得，因此 .由题意可知 ，而，令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，所以 最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.7.（山东卷（文）在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(ab0)的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.（）求椭圆C的方程；（）动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，圆N的半径为. 设D为AB的中点，DE，DF与圆N分别相切于点E，F，求的最小值.8.（天津卷（理）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.（）解：设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.9.（天津卷（文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（）求椭圆的离心率；（）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（）求直线的斜率；（）求椭圆的方程.（）解：设椭圆的离心率为，由已知，可得又由，可得，即又因为，解得，所以，椭圆的离心率为（）（）解：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为由（）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，即点的坐标为由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为（）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为由（）得直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，整理得，解得（舍去），或因此可得点，进而可得，所以由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线与都垂直于直线，因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.所以，椭圆的方程为10.（江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.解：（1）设椭圆的半焦距为因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，所以解得，于是，因此椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为为第一象限的点，故，当时，与相交于，与题设不符当时，直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：直线的方程：由，解得，所以因为点在椭圆上，由对称性，得，即或又在椭圆上，故，由解得；无解因此点的坐标为.11.（浙江卷）如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（）