高数A2习题课11曲面积分.ppt

课件制作：肖萍 赵庆华 李丹衡 二、 作业选讲 三、 典型例题 四、 课堂练习 一、 内容总结 z=z(x, y) o x y z 一、内容总结 1、曲面的侧与有向曲面 曲面有双侧和单侧之分, 通常总假设所讨论的曲面 是光滑的双侧曲面. 下侧 y=y(x, z) o x y z 右侧 左侧 上侧 x=x(y, z) o x y z 后侧 前侧 o x y z 外侧 内侧 相对与坐标轴的正方向而言, 由方程z=z(x, y)表示的曲面有上侧与下侧之分; 由方程y=y(x, z)表示的曲面有右侧与左侧之分; 由方程x=x(y, z)表示的曲面有前侧与后侧之分; 一张闭曲面有外侧与内侧之分. z=z(x, y) o x y z 一、内容总结 1、曲面的侧与有向曲面 曲面有双侧和单侧之分, 通常总假设所讨论的曲 面是光滑的双侧曲面. 下侧 y=y(x, z) o x y z 右侧 左侧 上侧 x=x(y, z) o x y z 后侧 前侧 o x y z 外侧 内侧 曲面的侧用曲面上法向量n的指向来规定, 如果规 定一侧为正向, 则另一侧为负向. 指定了侧的曲面叫有向曲面, 通常用(-)表示与曲 面的正向相反的同一曲面. 一、内容总结 2、对面积的曲面积分 在光滑曲面上有界的函数f (x, y, z)在曲面 上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分定义为 对面积的曲面积分与曲面方向无关. 如果曲面 的方程为z=z (x, y), 在xOy面上的投影 区域为Dxy, 则对面积的曲面积分可化为二重积分: 一代: 将f (x, y, z)中的z代以曲面的方程z=z (x, y); 二换: 将曲面面积元素dS代换为 三投影: 将投影到xOy面上, 得投影区域Dxy, 一、内容总结 2、对面积的曲面积分 注意:上述一代二换三投影化曲面积分为二重积分的步骤, 曲面必须是单值函数, 若不满足单值条件, 可将其分成 几块,使得在每一块上为单值函数,然后用可加性化作在每 一块上的曲面积分来进行计算. 如果曲面方程为x=x(y, z), (y, z)Dyz, 则 如果曲面方程为y=y(x, z), (x, z)Dxz, 则 一、内容总结 2、对坐标的曲面积分 在有向光滑曲面上定义的一个向量场A=(P (x, y, z), (Q (x, y, z), (R (x, y, z)在此有向曲面 上对坐标的曲面 积分或第二类曲面积分定义为 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; 一、内容总结 3、对坐标的曲面积分 如果为z=z(x, y), (x, y)Dxy, 取上侧, R(x,y,z)C(), 则 如果取下侧, 则 如果为x=x(y, z), (y, z)Dyz, P(x,y,z)C(), 则 (前正后负) 如果为y=y(x, z), (x, z)Dxz, Q(x,y,z)C(), 则 (右正左负) 一代二投三定号 一、内容总结 4、两类曲面积分的联系 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 令 向量形式 ( A 在 n 上的投影) 二、作业选讲 练习4.7 三 计算其中为锥面 被柱面x2+y2=2ax所截的部分. 解: o x y z 曲面关于xOz面对称, 其第一卦限部分如图. 因为: 曲面在xOy的投影区域为 二、作业选讲 练习4.7 三 计算其中为锥面 被柱面x2+y2=2ax所截的部分. o x y z 二、作业选讲 练习4.8 四 计算 其中为球面 的上半部分上侧. o x y z 解: 类似地,有 所以, 三、典型例题 例 计算曲面积分其中为上半球面 而 解: 在 的部分记作1,其余部 分记作2 , 1在xoy面上投影为 于是, 1 2 三、典型例题 例2 计算曲面积分其中为圆锥面的一部分 为常数, 且 解: 的直角坐标方程为： 在xoy面上投影为 于是, x y z o 三、典型例题 例3 计算曲面积分其中为介于平面 z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2. 解:在yoz面上投影为 又在Dyz上的显式方程为 故积分要分前后两个部分的曲面积分. 三、典型例题 例4 计算 其中为旋转抛物面z=x2+y2上 解 1: 的部分取下侧. 类似地 , 所以, 三、典型例题 例4 计算 其中为旋转抛物面z=x2+y2上 解: 由对称性， 的部分取下侧. 于是 所以, 三、典型例题 例5 计算曲面积分其中为 解: 的外表面. 由对称性可得 注: 由于x=0, y=0, z=0是间断面, 本题不能用Gauss公式. 三、典型例题 例6 计算 其中为平面 x-y+z=1在第IV卦限部分的上侧. 解: 为一平面, 因而容易将第二类曲面积分转化为第一 类曲面积分, 平面的法向量 其方向余弦为 于是 三、典型例题 例7 计算曲面积分 抛物面 取下侧 . 其中为旋转 解: 利用两类曲面积分的联系, 有