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几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地：分解后为 注关于部分分式分解 如对 进行分解时 一项也不能少，因为通分后分子上是 多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将 会得到矛盾的结果。 例如 但若 矛盾 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地：分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取取 取并将 值代入 例2 例3 整理得 例4 求积分 解 例5 求积分 解 例6 求积分 解令 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对 一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先 考虑用其它的简便方法。 如使用凑微分法比较简单 基本思路 尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之一般记为 二、三角函数有理式的积分 令（万能置换公式） 例7 求积分 解由万能置换公式 例8 求积分 解（一） 解（二 ） 修改万能置换公式, 令 解（三 ） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换. 如 若用万能代换，则 化部分分式比较困难 但若是凑微分，则比较简单 基本思路 尽量使分母简单分子分母同乘，或使分母 变成一项等 尽量使 的幂次降低 万能代换 例9 求积分 解 讨论类型 解决方法作代换去掉根号. 例10 求积分 解 三、简单无理函数的积分 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例12 求积分 解先对分母进行有理化 原式 例13 解一 令 解二 令 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万
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