《非线性系统分析》PPT课件.ppt

第7章 非线性系统的分析 7.1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念 7.2 7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析 7.3 7.3 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 7.4 7.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 7.5 7.5 描述函数法描述函数法 7.7.6 6 分析分析非线性系统的谐波平衡分析法非线性系统的谐波平衡分析法 7.7.7 7 非线性系统的非线性系统的计算机仿真计算机仿真 小小 结结 Nonlinear Science 研究什么？ n客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界 nPrigogine：“自然用一千种声音说话，我们刚开始去听” 。 n自古希腊：人们笃信和向往世界的 稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、 本质简单性、周期性、对称性、 n现在：人们越来越认识到：我们所处的大千世界是以 不稳定动力系统为特征的，充满了：非平衡、非线性、 非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非 晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标 准分析、非von Neumann计算机、 人类理智夸入“想入非非”时代 非线性科学的四个发展阶段非线性科学的四个发展阶段 n40年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论 n60年代：自组织理论（系统如何从无序有序）： Catastrophic Theory （Thom, Arnold)，超循环 论（Eigen）， Dissipative Structure（Prigogine）， Synergetics （Haken） n70年代：非线性科学 （系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的 有序） Chaotic Dynamics（Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable SystemSoliton Theory（Scott， 扎哈罗夫）， Fractals （Mandelbrot） n90年代：复杂性科学（复杂性的定义及量度，复 杂系统的行为及模型）Neural Network （ Hoppfield）， Cellular Automaton （Wolfram），人工生命 什么是非线性系统？什么是非线性系统？ n平衡与非平衡：物理概念 线性与非线性：数学概念 n线性系统：整体的行为或性质是部分之和 1 复杂性不因叠加产生 2 只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来 n非线性系统： 叠加原理失效 整体的行为和性质各部分的行为与性质（本质区别 ） 系统行为对初始条件极端敏感依赖 Chaos 长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性 非线性系统：只要系统中包含一个或一个以 上具有非线性静特性的元件，即称为非线性 系统(P267)。 线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性. . 非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性. . 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性. . 本质非线性： 用小偏差线性化方法不能解决的非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性. . 例：对于一由非线性微分方程 x = - x( 1 x ) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即 x1=0和x2=1。将上式改写为 非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固 有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外 加输入有关系。 设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得 x(t) t 1 0 图1 一阶非线性系统 系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏 差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全 可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。(自 激振荡P272) 非线性系统的主要特征 ： 1. 研究非线性系统的意义 1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非 线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时 所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系 统理论无法解释非线性因素所产生的影响. 2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响. 2. 研究非线性系统的方法 1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线 性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分 析非线性系统特性的方法。 2）描述函数法是近似分析法,受线性系统频率法 启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它 是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性 系统分析中的推广。 3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度 对非线性微分方程的一种数值解法。 非线性系统与线性系统的区别，相平面的基 本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想 ，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线 性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。 知 识 要 点 静态非线性特性中，死区特性、饱和特性 、继电特性、间隙特性是最常见的，也最简单 。 一、数学描述 一个单输入单输出静态非线性特性的数学 描述为： 7.1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念 二 非线性特性分类：(P269) 1、死区特性 常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成 的。实际的死区特性一般如图7-1中的点划线所示， 为了分析的方便，我们将它用图7-1中的三段直线（ 实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区 特性的的数学描述为： 图 71 死区特性 (7-2) 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使 控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能 给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区 以提高抗干扰能力。 2、饱和特性 可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因 为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种 饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2中的点划 线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理 想饱和特性的数学描述为： (7-2) 图7-2 饱和特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继 电特性有双位特性如图7-3（a）和（b），三 位特性如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的 继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其 它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之 为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。 分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继 电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例 如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统 。 3、继电特性 图7-3 几种典型的继电特性 图7-3（a）所示继电特性的数学描述为： 图（c）所示继电特性的数学描述为： 图（b）所示继电特性的数学描述 由读者自行导出。 传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为： 4、间隙特性 图7-4 间隙特性 返回 式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。 相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先 提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分 方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为 相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨 迹。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶 非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法 ，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本 属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的 作用。 7.2 7.2 二阶系统的相平面分析法二阶系统的相平面分析法 因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所 以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。 但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间， 就得到n维状态空间以后再专门介绍。下 面讨论相平面和相轨迹的基本概念。 考察二阶非线性时不变微分方程: 7.2.1 相平面的基本概念 为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成 二元一阶微分方程组: 微分方程组(7-6)有两个变量: x可以 看作广义位移， 可以看作广义速度。 一般，直接对微分方程（7-5）求解，可 以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t) 与t的关系图时间响应曲线。 如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解 x(t)和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为 参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面 上的一点，此平面即为相平面。当 t 变化时，这 一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的 运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。 例7-1 考虑二阶系统： 将它写成微分方程组： 两式相除得到： 即： 两边积分得: 在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆 ，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环 套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布 满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动 态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹 场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图 （b）。 图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应 7.2.2 相轨迹图 绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类 ： 第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的 素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊 线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上 缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。 第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛 应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如 等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精 度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价 值。 第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以 及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。 相轨迹的基本特征有： 1）奇点 对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作 。对照方程（7-6）知， 奇点座标 是代数方程 的解，显然奇点一定在轴上。 对于二阶系统， 和 就是 速度和加速度均为零，也就意味着不再 运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何 其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不 稳定奇点，稍后将讨论。 2）相轨迹切线斜率 由方程（7-6）知，相轨迹上任一点 的切线斜率为： 某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向 ，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切 线斜率等于某一常数的点的连线。 3）相轨迹图形特征 如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一 性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基 本特征： 1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（ 解的存在性和唯一性）； 2)相轨迹必垂直通过横轴。 3)横轴上方的相轨迹从左向右运动，横轴 下方的相轨迹从右向左运动。 例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹 将它写成微分方程组 ： 容易求出奇点为（0，0） 。 图7-6 例7-2的根轨迹 ABCDO对应初始条件为 EFO对应初始条件为。 从相轨迹图可以直观地看到 ：所有的相轨迹都最终收敛 到奇点（0，0），这说明系 统是渐近稳定的；可以证明 ，每一条相轨迹都是向心螺 旋线，这说明系统的运动过 程是衰减振荡的。 返回 研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个 方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性 的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分 段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹 连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的 相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹 十分接近。 7.3 7.3 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 二阶线性系统的微分方程是： 令： 则可写成 ： 即得： 再可写为： 由此式解出x1与x2的关系，即为二阶系统相轨迹 的方程。 7.3.1 二阶线性系统的相轨迹 另外，系统的特征方程为： 极点为 ： 下面由系统闭环极点的位置分析系统相轨迹性质： 1. ：共轭虚根。相轨迹方程： 可见其为一族同心的椭圆，坐标原点有一孤立奇点 (中心点)，每一椭圆对应一个简谐运动。(图7-2-2 a) 2. 为一对负实部共轭复根。相轨迹是收敛于相 平面原点的对数螺线,奇点为稳定的焦点.(图7-2-2b) 均为负实根。相轨迹是一族趋向相平面原点 的抛物线,奇点为稳定的节点.（图7-2-2 c） 3. 4. 当 为实根，且符号相反（一左一右）时， 奇点为鞍点。相轨迹如（图7-2-2d） 为一对正实部共轭复根。相轨迹是从相平面 原点出发的对数螺线,奇点为不稳定的焦点.(图7-2-2e ） 均为正实根。相轨迹是由相平面原点出发的 发散型抛物线族,奇点为不稳定的节点.（图7-2-2f） 5. 6. 图7-2-2 二阶线性系统的特征根与奇点(P275) n由上可见，二阶线性系统的相轨迹和奇点的性 质由系统的特征根决定，与初始状态无关。初 始状态不同，相轨迹性质不变，形状相似，且 对应于不同初始状态的相轨迹不会相交，只可 能部分重合，而在奇点处则相交。另外，由于 相轨迹的性质与系统初始状态无关，相平面中 局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从 局部范围内相轨迹的性质可推知全局。 显然，当取不同值时，特征根在根平面 上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也 不同。（见P277表） 返回 7.4 7.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 非线性系统相平面分析的关键是绘出相 轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系 统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面 的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不 同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图， 研究其中的规律。 解析法 图解法 等倾线法 法 绘制方法 为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨 论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结 构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静 态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且 静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节 为一阶或二阶。 图7-8 具有分离结构的非线性系统 分析图7-8 所示非线性系统的具体方法是： 先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每 段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系 统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接 就得到整个非线性系统的相轨迹。 （一）、解析法： 首先要将相变量方程改写为： 然后对其积分，得到x1与x2的关系式，即x2 = f(x1)， 这就是相轨迹方程，可按其绘图.讲解例7-3-1(P280). （二）、等倾线法 式 表示了相轨迹的斜率， 对于相平面上任意一点(x1,x2), 为相轨迹通过该点时的切线的斜率。若取定q为常数， 则可在相平面上找到一些点，在它们上面相轨迹的斜 率都为q。可在它们上面作斜率均为q切线等倾线。 给定不同的q，可在相平面上画出许多等倾线。 等倾线描述了相轨迹运动的方向。当给定了初始状态 后，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨 迹.(注意！等倾线不同于相轨迹！).讲解例7-3-2(P281). （三）、法： 系统的相变量方程为： 在上式中的后一式中等号右边加、减 项，得 式中： 从而得到： 在点(x1，x2)附近的小邻域内,可将(x1，x2)视为常量 . n如果选取新坐标为(0x1，x2)，则以上方程是在 新坐标系中的一个圆，其圆心在 ，半径 R为从圆心到所取点 的距离。在所取点 附近以此画弧就近似地表示了所选取点附近的相 轨迹。因此，相轨迹可用许多段小圆弧连接而成 。 n例7-3-4(P283)自学. 上图中，如果非线性特性为式(7-2)所描 述的饱和特性，线性部分的方程为： 联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数 学模型为： 7.4.1 阶跃函数 现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨 迹与性能： （1）阶跃函数 ，因为 ,系统 的分区域方程简化为： 区域2的奇点为(0,0),当 时是稳定 焦点，当 时是稳定节点。 设 ,式（7-15） 具体化为： （2）斜坡函数r(t)=Vt ，因为 ,这 时系统的分区域方程为： 7.4.2 斜坡函数 区域2的奇点为(V/Kk，0),当4KTk1时是稳定 焦点，当4KTk1时是稳定节点。 固定T=1，K=4，k=1，g=0.2具体化为： 接下来研究相轨迹与参数的关系，分三种情况来分 析： 情况一：VKkg(0.8),比如取V=1.2，这时区域2的 相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）, 但（0.3，0 ）不在区域2范围内，故称为之虚焦点。绘出系统 的相轨迹场如图7-9（b）, 显然，每一条相轨迹的 座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。 情况二：Va时，饱和特性输出x(t)为 式中， 由于输出波形为奇函数， A10 , 饱和特性描述函数求得如下： 3）继电特性： 图7-13 求继电特性的描述函数 考虑图7- 13（a）带滞环的继电特性，当输入为 时，输出y(t)如图7-13（b）所示，并且 4) 间隙特性： 当输入 时，由间隙的数学 描述可知，间隙输出x(t) 为 X(t)= 式中 B1 于是，可求得间隙的描述函数N（A）为 5）一般非线性： 描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一 般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数 。我们举一个例子: 因为它是单值、奇对称的， ，先求 出y(t)： 所以 概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知 的输入x(t)=Xsint和非线性特性y=f(x)求出输出 , 然后由积分式求出 ，求出N(X) 。主要 工作量和技巧主要在积分。 此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系 统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号， 其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅 值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出 。 系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 线性部分G(s) 假定： 非线性环节非线性，即不是时间的函数； 非线性环节特性是斜对称的； 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 类似传递函数 谐波线性化方法 非线性系统的频率特性法 7.7.6 6 分析分析非线性系统的谐波平衡分析法非线性系统的谐波平衡分析法 1)非线性闭环系统的稳定性 (乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定 的充要条件是G(j) 轨迹 不包围G平面的(-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性) 线性系统： (-1,j0) ? 将判断线性系统稳定的结论推广到N(A)为非线性函数 的情况。因为X连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线 ，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(j)是否包围1 N(A)曲线。具体讲就是(P310)： 1)、在复平面上，如果曲线G(j)不包围1N(A)曲线 ，那么闭环系统稳定； 2)、如果G(j)曲线包围1N(A)曲线，那么闭环系统 不稳定； 3)、如果曲线G(j)与曲线1N(A)相交，那么闭环系 统出现自振荡（极限环）。 图示： G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡 ) 稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？ 设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j)不包围负倒描述 函数 闭环系统稳定 G(j)包围负倒描述函 数 闭环系统不稳定 2）极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见图7-16 : 7-16 极限环的稳定性 图中A、B两点都出现极限环，先看A点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到 D，D点不被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳 定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之， 如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点 移到C，C点被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向 不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、 B；可见A点属不稳定极限环。 再看B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小 ，比如工作点移到F，F点被 曲线包围，这时 闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大 后又回到B电；反之，如果因某种干扰使振荡幅值 略有增大，比如工作点移到E，E点不被 曲线 包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减 小，减小后又回到B电；可见A点属稳定极限环。 返回 7.7.7 7 基于基于SIMULINK SIMULINK 的非线性系统分析的非线性系统分析 SIMULINK 对于非线性系统的分析与设计是很 有用的，SIMULINK提供了死区、饱和、继电等多种 非线性模块，也能构成很复杂的非线性函数。 注：本节内容将上机操作练习！ 考虑图7-17所示非线性系统， 图7-17 非线性系统 先考虑非线性环节为死区特性，用SIMULINK构成 彷真模型如图7-18。 图7-18 SIMULINK仿真模型 在Matlab6.5的MATLAB窗中双击SIMULINK图标 就打开Simulink Library Browser窗，在此窗口进入 FileNewModel，就会打开一个untitled窗(可以用Save as保存此窗口并改名)。 在Simulink library Browser 窗口下有DISCONTINUTIES 、MATH OPERATIONS、SINK、SOURC等子目录， 每个子目录下都包含若干可利用的模块，可直接拖到 untitled窗口。图7-18中，积分环节(Integrator)、死区特 性(Dead Zone)来自SIMULINKDISCONT