北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷文科含解析.docVIP

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数i（2i）在复平面内对应的点的坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（1，2）D（1，2）2抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）AB1C2D33下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）ABy=x2Cy=log2xDy=|x|+14已知向量，满足=0，（）=2，则|=（）AB1CD25如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A6B7C8D96在ABC中，“A30”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）ABC2D8如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）AB，CD，2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为10已知数列an 满足an+1an=2，nN*，且a3=3，则a1=，其前n 项和Sn=11已知圆C：x2+y22x=0，则圆心C 的坐标为，圆C截直线y=x 的弦长为12已知x，y满足，则2x+y的最大值为13如图所示，点D 在线段AB 上，CAD=30，CDB=50给出下列三组条件（给出线段的长度）：AD，DB AC，DB CD，DB 其中，能使ABC 唯一确定的条件的序号为（写出所有所和要求的条件的序号）14已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比） 据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”其中，说法正确的同学是三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）已知数列an 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6 （）求数列an 的通项公式；（）设数列ann 的前n 项和为Sn，比较S4 和S5 的大小，并说明理由16（13分）已知函数（）求f（x） 的定义域及的值；（）求f（x） 在上的单调递增区间17（13分）诚信是立身之本，道德之基某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%（）计算表1中八周水站诚信度的平均数（）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：第一周第二周第三周第四周第三个周期85%92%95%96%请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由18（14分）如图，在四棱锥PABCD 中，PD底面ABCD，ABDC，CD=2AB，ADCD，E为棱PD的中点（）求证：CDAE；（）求证：平面PAB平面PAD；（）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由19（13分）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C （）求椭圆G 的标准方程；（）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程20（14分）已知函数（）求曲线y=f（x） 在函数f（x） 零点处的切线方程；（）求函数y=f（x） 的单调区间；（）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1x2，求证：2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数i（2i）在复平面内对应的点的坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（1，2）D（1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数i（2i）=2i+1在复平面内对应的点的坐标为（1，2），故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）AB1C2D3【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）ABy=x2Cy=log2xDy=|x|+1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可【解答】解：A.是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件By=x2是偶函数，在区间（0，+）上单调递减，不满足条件Cy=log2x在区间（0，+）上单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件Dy=|x|+1是偶函数又在区间（0，+）上单调递增，满足条件故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质4已知向量，满足=0，（）=2，则|=（）AB1CD2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得=2，可得|的值【解答】解：向量，满足=0，（）=2=2，则|=，故选：C【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题5如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A6B7C8D9【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件ab，输出a的值为8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件ab，不满足条件ab，b=2416=8，满足条件ab，满足条件ab，a=168=8，不满足条件ab，输出a的值为8故选：C【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题6在ABC中，“A30”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由，则0A30或150A180，则A30”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键7已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）ABC2D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，即可求出体积【解答】解：由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，体积为=，故选B【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状是关键8如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）AB，CD，2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意故选C【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为y=2x或（y=2x）【考点】双曲线的简单性质【分析】求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程【解答】解：由双曲线C：得到a=1，b=2，则双曲线C 的渐近线方程为y=2x，故答案为：y=2x或（y=2x）【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用10已知数列an 满足an+1an=2，nN*，且a3=3，则a1=1，其前n 项和Sn=n22n【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】推导出数列an 是公差d=2的等差数列，由此能求出首项和前n项和【解答】解：数列an 满足an+1an=2，nN*，且a3=3，数列an 是公差d=2的等差数列，a3=a1+2d=a1+4=3，解得a1=1，Sn=1+=n22n故答案为：1，n22n【点评】本题考查数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意等差数列的性质的合理运用11已知圆C：x2+y22x=0，则圆心C 的坐标为（1，0），圆C截直线y=x 的弦长为【考点】直线与圆的位置关系【分析】将圆C方程化为标准形式，找出圆C的半径及圆心坐标即可；利用点到直线的距离公式，求直线l与圆心C的距离，即可求出圆C截直线y=x 的弦长【解答】解：圆C方程x2+y22x=0化为标准方程得：（x1）2+y2=1，则圆C的半径为1，圆心C坐标为（1，0）；圆心C（1，0）到直线l：xy=0的距离d=，圆C截直线y=x 的弦长为2=，故答案为（1，0），【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程的转化，考查计算能力12已知x，y满足，则2x+y的最大值为10【考点】简单线性规划【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【解答】解：令z=2x+y，则y=2x+z，则z表示直线y=2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分做直线2x+y=0，然后把直线2x+y=0向上平移，结合图形可知，当直线平移到B时，z最大由可得B（4，2），此时z=10故答案为：10【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想13如图所示，点D 在线段AB 上，CAD=30，CDB=50给出下列三组条件（给出线段的长度）：AD，DB AC，DB CD，DB 其中，能使ABC 唯一确定的条件的序号为（写出所有所和要求的条件的序号）【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得，结合余弦定理即可得解【解答】解：CAD=30，CDB=50可得：ACD=20，在ACD中，可得，即给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求ABC的各边及角故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比） 据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”其中，说法正确的同学是乙【考点】进行简单的合情推理【分析】根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，即可得出结论【解答】解：根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，A大学的男女生比例有可能等于B大学的男女生比例，即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例故答案为乙【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）（2016秋海淀区期末）已知数列an 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6 （）求数列an 的通项公式；（）设数列ann 的前n 项和为Sn，比较S4 和S5 的大小，并说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出（）由数列ann 的前n 项和Sn 的意义可得S5S4=a55，进而得出【解答】解：（）设数列an 的公比为q，由a3+a4=6，可得又a2=1，所以q+q2=6，解得q=2 或q=3，因为an0 （n=1，2，3，），所以所以q=2，解得，所以，数列an 的通项（）由数列ann 的前n 项和Sn 的意义可得S5S4=a55，所以，所以S5S4【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（13分）（2016秋海淀区期末）已知函数（）求f（x） 的定义域及的值；（）求f（x） 在上的单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可（）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：（）由cosx0，可得xk+，kZ，所以f（x）的定义域为，.（）=2sinx+2cosx=，因为，所以因为函数y=sinx 在上单调递增，所以时， 单调递增，此时，所以，函数f（x）在上的单调递增区间为【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件将函数进行化简是解决本题的关键17（13分）（2016秋海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%（）计算表1中八周水站诚信度的平均数（）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：第一周第二周第三周第四周第三个周期85%92%95%96%请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）由数据统计表能求出八周诚信水站诚信度的平均数（）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，由此利用列举法能求出设至少有1个数据出现在第二个周期的概率（）根据提供的数据，判断该主题教育活动有效【解答】（本小题满分13分）解：（）八周诚信水站诚信度的平均数为=（）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，从这5个数据中任取2个共有10种情况：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A 则（）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；【点评】本题考查数据统计表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用18（14分）（2016秋海淀区期末）如图，在四棱锥PABCD 中，PD底面ABCD，ABDC，CD=2AB，ADCD，E为棱PD的中点（）求证：CDAE；（）求证：平面PAB平面PAD；（）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）PD底面ABCD，DC底面ABCDPDDC又ADDC，ADPD=D故CD平面PAD又AE平面PAD，得CDAE（）由ABDC，CD平面PAD，AB平面PAD又由AB平面PAB，得平面PAB平面PAD（）PB与平面AEC不平行假设PB平面AEC，由已知得到，这与OB=OD 矛盾【解答】解：（）因为PD底面ABCD，DC底面ABCD，所以PDDC又ADDC，ADPD=D故CD平面PAD又AE平面PAD，所以CDAE（）因为ABDC，CD平面PAD，所以AB平面PAD又因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD（）PB与平面AEC不平行假设PB平面AEC，设BDAC=O，连结OE，则平面EAC平面PDB=OE，又PB平面PDB（1分）所以PBOE所以，在PDB 中有=，由E是PD中点可得，即OB=OD因为ABDC，所以，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，属于基础题19（13分）（2016秋海淀区期末）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C （）求椭圆G 的标准方程；（）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题设可得，及其a2=b2+c2，解出即可得出（）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于由题设可得B（0，1），利用数量积运算性质可得：又C（xC，yC） 在椭圆G 上，可得，解出即可得出法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x2），与椭圆方程联立可得（1+4k2）x216k2x+16k24=0利用根与系数的关系可得：由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于解出即可得出【解答】解：（）由题设可得，解得，因为a2=b2+c2，所以，所以椭圆G 的标准方程为（）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于由题设可得B（0，1），所以，所以又C（xC，yC） 在椭圆G 上，所以，由，可得，解得xC=0 或，所以C（0，1）或，所以，直线l 方程为x+2y2=0或3x10y6=0法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x2），由，可得（1+4k2）x216k2