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文档简介

第十二章 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、线性微分方程的定义 第十二章 第十二章 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 第十二章 证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证:代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 第十二章 说明: 不一定是所给二阶方程的通解 . 例如,是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第十二章 定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如，若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 第十二章 两个非零函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的使 ( 无妨设 线性无关常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性相关 第十二章 定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程有特解且 常数, 故方程的通解为 (自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 第十二章 三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将代入方程左端, 得 第十二章 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 也是通解 . 第十二章 定理 4.分别是方程 的特解,是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 第十二章 定理 5. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解非齐次方程特解 第十二章 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 例3. 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 第十二章 例4. 已知微分方程 个解求此方程满足初始条件 的特解 . 解:是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所
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