高数7-1空间直角坐标系,向量及其线性运算.ppt

第七章 空间解析几何与向量代数 通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 空间解析几何： 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算 第七章 一、空间直角坐标系及点的坐标 过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴按 右手规则组成一个空间直角坐标系. 面 面 面 空间的点M有序数组 过空间中任一点M作三个平面分别垂直于x轴、 y轴和z轴，它们与坐标轴的交点依次为P、Q、 R，这三点在各自坐标轴上的坐标依次为x, y, z. 空间两点间的距离 空间两点间距离公式 特别的， 证: 结论成立. 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 模为1的向量. 零向量：模为0的向量. 向量的模：向量的大小. 单位向量： 二、向量的概念 或 | |或 零向量的方向可以 任意规定. 如位移、力、速度等. 几何上以一条有方向的线段表示， 其长度表示向量的大小.或 大小相等且方向相同的向量视为相等。规定： 向量的平行：两向量方向相同或相反. （起点可以不一样） 三、向量的线性运算 1. 加法 或按照三角形法则: 根据力学中力与速度的合成，向量求和 可按照平行四边形法则规定: 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 性质： 2.向量与数的乘法 注意： （向量的伸缩） 向量与数的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 向量的减法： 负向量： 例2. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 证明：必要性 向量经过数乘运算后与原向量平行。反之， 充分性显然. 两式相减，得 上式表明：一个非零向量除以它的模就得 到与原向量同方向的单位向量. 由上述定理可知， 向量的夹角 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角. 空间一点在轴上的投影 向量在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量投影的性质(1)： 证: 关于向量投影的性质(2)： 四、向量的坐标 正如在物理学中力和速度的分解一样，向量 也可以分解，由此引进向量的坐标概念。 向量沿坐标轴方向的分解 向量的坐标就是向量在三条坐标轴上的投影值。 容易证明,向量与其坐标一一对应. 特别的，如果向量的起点在原点o，则 与其终点M 的坐标一致. 所以要求一个向量的坐标， 可将其起点移至坐标原点， 直接求终点的坐标即可. 利用坐标作向量的线性运算 根据向量加法的交换律、结合律，数乘的 结合律、分配律， 所以对向量进行加减和数乘运算，只需对 向量的各个坐标进行相应的运算. （当分母为零时分子也为零） 所以两个向量平行的条件是其对应的坐标成比例. 解： 向量模的坐标表示式 向量的方向 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为 向量的方向角， 向量的方向角的余弦称为其方向余弦. 所以由向量的方向余弦所构成的向量就是 与原向量同方向的单位向量。 解: 解： 要点: 第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算 空间直角坐标系及点的坐标: 空间两点间的距离: 两个向量平行的充要条件是它们之间存在数乘关系. 非零向量除以它的模就得到与原向量同方向的单位向量. 向量及其加法与数乘运算; 向量的坐标: 向量沿坐标轴方向的分解： 向