2010届高考数学函数及其基本性质.ppt

第6讲 函数及其基本性质 1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数 （正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类. 各类函数的五大性质：定义域；值域（最值、 极值、边界）；周期性；奇偶性（对称 性）；单调性，是高考的重点与热点，是试卷 命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、 推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题 多不会趋向简单. 2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一 般方法和规律，按照“定义定义域、值域图 象性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微 观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律. 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高 考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、 周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点 与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融 合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域， 还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以 及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数 的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在 研究参数的范围问题、求值问题中进行考查. 4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法. 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试 卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题， 解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和 综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材. 备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想 方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载 体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与 方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对 图象与图象变换的理解与应用. 5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识 和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提 供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建 设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考 查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意 识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践 能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江 苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体 现. 【例1】（2008山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于 . 分析 首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待 求和式的规律. 解析 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233, f(x)=4log2x+233, f(2)+f(4)+f(28) =4(1+2+8)+2338 =2 008. 2 008 探究拓展 当题设中，f(x)解析式未明确，而由条 件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式， 这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含 于其中，备考中要注意体会与掌握. 变式训练1 已知函数f(x)0,对任意x,y有 f(x+y)2f(x)f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则 . 解析 2 f(x)f(y)f(x+y)=f 2(x)+f 2(y) f(x)-f(y)20 f(x)=f(y) 要求的值为1 004. 1 004 【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、bR)是 偶函数，且它的值域为（-，4，则该函数的 解析式f（x）= . 分析 f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x) ， 结合另一条件，可求出待定系数a、b. 解析 f（-x）=f（x）且 f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2， f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2 =bx2-（2a+ab）x+2a2， -（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，a=0或b=-2. 当a=0时，f(x)=bx2,f(x)值域为（-，4， 而y=bx2值域不可能为（-，4，a0. 当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-，2a2. 2a2=4,a2=2.f(x)=-2x2+4. 答案 探究拓展 本题实质以偶函数定义为条件构造了 一个“恒成立问题”,即f(x)为偶函数 f(x)=f(-x)恒成立,即xR,（2a+ab)x=0恒成立 ， 这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任 意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数” 来构造. xR, -2x2+4 变式训练2 （2008北京）已知函数 +ax2+3bx+c (b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求 a,c的值. 解 因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数, 所以,对任意的xR,g(-x)=-g(x), 即f(-x)-2=-f(x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 解得a=0,c=2. f(x)=x3 【例3】设函数f(x)在(-,+)上满足 f(2- f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0，7上， 只 有f(1)=f(3)=0. （1）试判断函数y=f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 010,2 010 上的根的个数，并说明你的结论. 分析 由条件可得f(x)是周期函数， 依规律探寻-2 010，2 010上方程根的个数， 注意考查清楚目标区间包含多少周期. 解 （1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5). 而f(5)0f(1)f(-1),即f(x)不是偶函数. x)= 又f(x)在0，7上只有f(1)=f(3)=0,f(0)0. 从而知函数y=f(x)不是奇函数. 故函数y=f(x）是非奇非偶函数. 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f（3）=f（1）=0， f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0. 故f(x)在0，10和-10，0上均有2个根，从 而可知函数y=f(x)在0，2 000上有400个根， 在2 000，2 010上有2个根，在-2 000，0 上有400个根,在-2 010，-2 000上有2个根， 所以方程f(x)=0在-2 010，2 010上有804个根 . 探究拓展 本题考查抽象函数的奇偶性、周期性 等函数性质，利用周期性求方程根的个数.对抽象 函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋 势.解题的关键是：合理赋值，化抽象为具体，由 此探究函数的性质. 变式训练3 设f(x）定义如下面数表，xn满足 x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2 010的 值为 . 解析 x0=5,x1=f(x0)=f(5)=2, x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1, 可见数列xn周期为4，x2 010=x2=1. x12345 f(x)41352 1 【例4】定义在（0，+）上的函数f(x)，对于任意 的m,n(0,+)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且 当x1时，f(x)x20,f(mn)=f(m)+f(n), f(x1)-f(x2)= f（x）在（0,+）上是减函数. （3）解 探究拓展 （1）抽象函数是近几年来高考考查的 一个重点，在近几年的高考试题中经常出现，因 此也是一个热点. (2)抽象函数的背景函数常见形式如下： f(x+y)=f(x)f(y)，其背景函数为f(x)=ax (a0, 且 a1); f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为 f(x)=logax(a0, 且a1); f(x+y)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=kx; 变式训练4 定义在R上的函数f(x)满足 =f(x)+f(y)+2xy (x,yR),f(1)=2,则f(-3)= . f(x+y) 解析 令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2n f(n+1)-f(n)=2n+2f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n - 1)-f(n-2)+f(n-2)-f(n-3)+f(2)-f(1) +f(1)=2(n-1)+2+2(n-2)+2+21+2 +2= 答案 6 【例5】已知a0且f(logax)= （1）求f(x)； （2）判断f(x)的奇偶性和单调性； （3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1- m)+f(1-m2)1时，a2-10, f(x1)0且a1时，f(x)是增函数. （3）当x(-1,1)时，有 由f(1-m)+f(1-m2)0. 解得m1或m0，且A1）的图象可由函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短 （00,且 1)的图象可由函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（ 1）或伸长 （00时， 且当 x-3，-1时，nf(x)m恒