高等数学竞赛练习题.docVIP

肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅袃袅蒂薁袂羇芅蒇袁膀蒀蒃袀节莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆莀莆羆羈膂蚄羅肁莈薀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羁膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿蚆肁芆莅蚅膄蒁蚃蚅袃芄虿蚄肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀膅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂蝿膅荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薄螅羁芈蒀螄肃蒄莆螃膆芆蚅 高等数学竞赛练习题1.求分析 求项的和当时的极限, 用到积分和式求极限与夹逼定理.将适当放大、缩小是解题的关键之一，另外注意到用定积分求.解 , 且所以, 由夹逼定理知 2.求极限 分析 本题明显是型不定式, 结合变上限函数,故用洛必达法则求解.解法1 解法2 3. 求极限 分析 本题包含幂指函数, 如果考虑用洛必达法则将使计算很繁.故先用等价无穷小量替换,化简后再灵活求解.解法1 原式 解法2 原式4. 求分析 求极限的题目变换灵活,方法多样,本题是幂指型函数,可采用多种变换方式. 解法1 .故=.所以=9.解法2 =.所以=.解法3 =,=,所以=.5. 设存在极限，求常数与.分析与求解时,极限不存在.时原极限为型极限,改写成.当时, 时, 极限均不存在,于是必有,即,此时 .因此6. 已知,求的值.分析 像这种类型的极限,已知此未定式的极限存在且等于2,要确定极限式中的参数.一般有两种方法: 方法1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值; 方法2 先提出因子,将型化为型, 然后由极限式存在的条件定出极限式中所含参数之值.解法1 原式可改写成.由于上式成立,所以必有, 即=0,.将代入原式,并有理化得 =.故,.解法2 原式改写成.由于上式成立,所以必有, 即=0,.是型.,而, 故有,.解法3 =.因此有 ,故.7. 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.分析题设可知是无穷小量,故其极限为零.在时是比高阶的无穷小,也可得到关于的关系式.解法1由题设条件知.由于,故必有.又由洛必达法则,有因,故.由可得.解法2 由条件可知所以=从而.即当时,有=.8.证明:若, 则分析 可以考虑重要极限公式,但要注意变换的切入点.证法1 设,则, ,因此,则,但是,所以证法2 令, 则,两边取对数得 由此看出, 当时, ,故.9. 设函数在上连续,且,利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点,使.分析 此题要求利用闭区间上连续函数性质证明,实际是给出了提示,说明可以用介值定理或零值定理证明.证法1 因为在上连续,且,由最值定理知, 在上有最大值和最小值,即,故 于是.因此.由介值定理知,存在,使,即.证法2 设,由于在上连续,故在上连续,且有最大值,最小值,其中,.所以故由零值定理可知,存在(或)使.即.故.10. 已知当时,与是等价无穷小,求的值.分析 一方面因为与是等价无穷小,显然由极限式来确定的值.可通过等价无穷小量代换来求解. 另一方面由已知条件有极限式,显然是型未定式,故可用洛必塔法则.解法1 , 所以有而 ,故, 所以,显然为任意实常数.解法2 ,而,所以,显然为任意实常数.11.函数在上可导, ,且满足等式(1) 求导数(2) 证明: 当时,不等式成立.分析 凡是变上限积分出现的地方, 几乎都是要对它求导数,本题也不例外. 这类题总是两边求导得到一个微分方程,然后解之即可. 证明部分则是大家比较熟悉的利用导数证明不等式.解 (1) 已知等式可写为:两边对求导得,.设有 即两边积分得 , 即.由已知等式知因为所以, 由此得,所以 .(2)解法1 由知当时, , 所以单调减少.又因为 所以设则有 所以, 当时, , 从而单调增加; 又因为,所以 即.总之,当时, 有. 解法2 由得.当时, ,所以 即.12.设在上连续, 且, . 对函数回答下列问题(1)证明单调增加;(2)为何值时取得最小值;(3)当把的最小值表为的函数时, 试求.分析 本题的关键是求出的导数,而的表达式中带有绝对值,已知, 任取 , =, 那么当,这样利用定积分对积分区间的可加性,把中的绝对值符号去掉以便求导数.解 (1)因为任意, 有所以 因, 所以, 故单调增加.(2) 则因为,所以当且仅当时, , 故是唯一驻点, 由知, 是的最小值点.(3) 由已知条件,即有为方便起见,将改写为,即上式两边对求导, 得因为,所以, 由此解得由得故13. 计算积分分析 注意被积函数在时不连续, 是广义积分的计算. 另外在去绝对值时注意要写出正确的表达式.解 因为 所以,因此14. 设平面上有正方形及直线若表示正方形位于直线左下方部分的面积, 试求分析 本题考查求函数表达式及分段函数的定积分.解 由的定义可知: 所以, 当时,当时,.当时,.因此15. 求函数在处的阶导数分析 求函数的高阶导数(用两个函数乘积的阶导数的莱布尼兹公式或泰勒展开.解法1 由莱布尼兹公式得 因为所以 因此 解法2 由麦克劳林公式所以 , 比较前的系数知: 因此16. 设在上连续, 在内可导, 且,单调增加,试证:在内也单调增加.分析 当知道在内可导,又知(或)的命题,通常要利用拉格朗日中值定理, 将写成: (或) ,在与(或与)之间.证明 因为(当时), 又由于单调增加,有(当时), 所以 故在内也单调增加.17.设, 证明分析 原命题证明 作辅助函数因为所以 当时, 单调增加.故 当时, 即, 亦即18. 设函数在区间上连续, 在开区间内大于零,并满足(为常数), 又曲线与所围成的图形S的面积值为2 , 求函数, 并问为何值时, 图形S绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.分析 依据已知条件得到函数关系, 它在上连续. 由, 若只有一个驻点, 即是所求的最小值点.解 当时, 解方程得 由图形S的面积为 得, 因此, 于是旋转体的体积分 由是唯一的驻点 (或)故当时, 旋转体的体积最小.19.设, 计算.分析 利用求出的表达式, 后面的不定积分计算较简单.本题也可直接作积分变换.解法1 设, 则, 所以因此.解法2 令.20. 证明.分析 凡积分号中含有参变量的命题的证明, 当满足一定条件时, 可先对参变量求导, 再积分.证法1 令, 则上式在上对积分, 得即故即成立.证法2 用换元法. 设, 则 (1)令, 故 (2)将(2)代入(1), 得 .21. 求的和.分析 求常数项级数的和, 注意到其通项的形式,常常借助于相应幂级数的和, 取的某个特殊值即得所需结论. 此题中, 考虑求幂级数的和函数便可.解 作幂级数, 其收敛区间为.设其和函数为即,逐项积分,得 所以两边求导得:所以, 22. 设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛?并说明理由.分析 本题是一综合题, 含有数列的单调性及交错级数等内容.要考查的敛散性, 由其通项形式, 立即联想到根式审敛法:如果能证明该极限值小于1, 则可得级数收敛的结论.证明 因为是正项数列, 单调减少.所以, 且又因为发散; 假设, 即, 又单调减少, 根据莱布尼兹准则, 收敛, 与已知矛盾, 故, .由上面分析 故是收敛的.23. 设在的某邻域内具有二阶连续导数, 且,证明级数绝对收敛.分析 本题是一个综合性较强的题, 是个抽象的二阶可导函数, 首先设法找到的某种分析表达式, 由题意, 可联想到它在点的泰勒公式:取, 有.证明 因为所以 由已知, 在的某邻域内具有二阶连续导数, 故在含的某个闭区间, 上连续, 由闭区间上连续函数的有界性, 存在0, 使, 于是由上面分析有当时, 而级数收敛, 故级数绝对收敛.24. 求满足下列性质的曲线C: 设为曲线上任一点.则由曲线,所围成区域的面积A与曲线和C所围成区域面积B相等.P0CAB分析 借助面积相等这一条件得到函数关系式, 注意到曲线C过原点,在单调且连续, 也可直接设C: .解法1 设曲线C: , 则., 则有,所以,故 曲线C: 解法2 设曲线C:,由已知是连续曲线,显然它的原函数存在,设其原函数为 (当然有).为曲线上,所以有, 即因此有,或25. 设在上连续, 在内可导, . 证明:在内存在不同的,使.分析 由已知条件利用拉格朗日中值定理比较容易想到. 取,由连续函数介值定理, 存在把区间0,1分为与是切入点.证明 因为,取, 由连续函数介值定理知,存在,使, 在区间与上分别用拉格朗日中值定理, 有,那么, 所以,.于是 取(满足), 由上式即得26. 设在上连续, 证明:分析 等价于若能证明 则成立.由于可令.证法1 由于 (1)令, , 则 (2)将(2)代入(1),得证法2 因为在上连续, 故可令 存在. 于是,则成立.27. 计算分析 该积分是瑕积分. 积分公式仅当两个积分都存在时才成立,否则不一定成立.解 .注:28. 计算不定积分分析 不定积分的计算必须掌握三种基本的积分方法(凑微分、变量替换和分部积分),特别是变量替换法,对一些特殊形式的被积函数要能熟练运用各类特殊变换. 本题被积函数中含有,即想到用变换这些知识在学习过程中要善于总结.解法1 作变量替换 , , 则有=又因为所以, 回代变量得,解法2 移项整理得29.确定常数的值,使分析 有变上限出现的地方常常会涉及变上限求导,在求极限的运算中就需要洛必达法则,但切记用洛必达法则的条件,而判断型极限又为确定常数的值提供了条件.解 因为而,所以 (也可以从以下得出:设, 则有 因此, .因为当时,则对;当时,则对.所以, ,与题设不符, 得.再由洛必达法则得与前述同理, 即有,从而易得:因此, 30. 试证:当时, 分析 用单调性证明不等式或用泰勒公式证明不等式.用拉格朗日中值定理证不等式,关键在于取适当的函数使用拉格朗日中值定理.证法1 令=易知由于所以, 当时, 当时, 从而推知当时, 由,推知, 当时, 当时, 再由推知, 当时证法2 令则 (当),且 所以,当时, ; 当时, 于是当时, 即 证法3 由证法1 有,当时, 当时将在处按拉格朗日余项泰勒公式展开至,得 当时, ;当时.所以当时, 证法4 对在1与之间用拉格朗日中值定理,有其中介于1与之间, 或.所以总有,即. 于是, 当时 芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅羀蒇莇袀袆肄葿蚃螂肃薁衿肁肂莁蚂肇肁蒃羇羃肀薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄肈蒀薁羀膇薂螆袆膆节蕿螂膅蒄螅膀膅薇蚇肆膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袁螄膁薃蚄肃芀芃袀罿艿莅蚂袅艿薇袈袁芈蚀螁腿芇荿薃肅芆蒂蝿羁芅薄薂袇莄芄螇螃莃莆薀肂莃蒈螆羈莂蚁薈羄莁莀袄袀莀蒃蚇膈荿薅袂肄莈蚇蚅