广东高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数学案.docx

1.1.1 变化率问题（1）【学习目标】1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程 体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【重点难点】重点：掌握平均变化率的概念.难点：对平均变化率的概念的理解【学法指导】认真阅读课本，从日常生活中体会平均变化率.【学习过程】一课前预习阅读课本1.1.1节找出疑惑.二课堂学习与研讨1问题1.气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？问题2高台跳水，求平均速度.新知1.平均变化率.试试：设， 是数轴上的一个定点，在数轴 上另取一点 ， 与 的差记为 ，即 或者 ，就表示示从 到的变化量或增量，相应地，函数的变量或增量记为，即 ； 如果它们的比值 ，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率.思考：1. 所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 2. 观察图形，你能看出平均变化率的几何意义吗？课堂学习与研讨2例1 过 曲 线上 两 点 和 作曲线的割线，求出当时割线的斜率.动动手。已知函数的图象上一点及邻近一点，则 = .例2 .已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：（1）； （2）； （3）； （4）.动动手。1. 某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3 个月与第 6个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率.2. 已知函数 分别计算在区间 、上及 的平均变化率.探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1函数f(x)53x2在区间 1,2上的平均变化率为_2一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度为_3甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是_4设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A B C D【课堂小结】1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数f(x)的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量yf(x2)f(x1)；（2）计算平均变化率.【课后作业】1.函数f(x)=4x-3在区间-5,-2上的平均变化率为a,在区间0,3上的平均变化率为b,则有()A.abB.abC.a=bD.a与b大小不确定 2质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）A B C D3. 4.在附近的平均变化率是 .1.1.2 导数的概念（2）【学习目标】 1了解极限是学习导数概念的起点.2理解导数的概念的基本方法.3掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 4会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度【重点难点】重点：导数的概念以及求导数难点：导数的概念【学法指导】运用变化的观点，从瞬时速度的实际背景去理解导数的概念【学习过程】一课前预习：阅读课本1.1.2节找出疑惑之处二课堂学习与研讨一探究点一瞬时速度问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？问题2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题3如何描述物体在某一时刻的运动状态？新知1.瞬时速度定义：物体在某一时刻（ 某一位置）的速度，叫做瞬时速度课堂学习与研讨二导数：问题2：瞬时速度是平均速度当趋近于时的 导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在的导数，记作或，即注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在（2）在定义导数的极限式中，趋于可正、可负、但不为，而可以为（3）是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点及点的割线斜率（4）导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点变化的快慢程度小结：由导数定义，高度关于时间的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率课堂学习与研讨三例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热 如果在第时，原油的温度（单位： ）为 ， 计算第 和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义小结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢例2.已知质点按规律做直线运动（位移单位： ，时间单位：）（1）当时，求；（2），求；（3）求质点在时的瞬时速度动动手：一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是（位移单位：，时间单位：，求小球在时的瞬时速度例3.利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数跟踪训练2已知yf(x)，求f(2)【当堂检测】1函数yf(x)在xx0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量x()A大于0 B小于0 C等于0 D不等于02一物体的运动方程是sat2(a为常数)，则该物体在tt0时的瞬时速度是 ()Aat0 Bat0 Cat0 D2at03已知f(x)x210，则f(x)在x处的瞬时变化率是 ()A3 B3 C2 D24已知函数，则_【课堂小结】1瞬时速度是平均速度当t0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当x0时的极限值2利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率；（2）取极限得导数f(x0) .【课后作业】1.已知物体的运动方程是s=-4t2+16t(s的单位为m;t的单位为s),则物体在t=2 s时的瞬时速度为()A.3 m/sB.2 m/sC.1 m/sD.0 m/s2.已知,若f(a)=,则a的值等于()A.B. C. D.3求函数在处的导数 1.1.3导数的几何意义【学习目标】1理解导数的几何意义.2掌握平均变化率与割线的斜率之间的关系.3体会从形的角度探究导数的几何意义.【重点难点】重点：导数的几何意义及“数形结合”的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义.【学法指导】学习过程中注意紧扣定义.【学习过程】注意运用“数形结合”的 思想方法.一.课前预习阅读课本1.1.3，找出疑惑之处.学习探究探究任务：导数的几何意义问题1、当点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？新知1：当割线无限地趋近于某一极限位置.我们就把极限位置上的直线，叫做曲线在点处的切线.割线的斜率是：，当点沿曲线趋近于点时，无限趋近于切线的斜率因此，函数在处的导数就是切线的斜率，.新知2：函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率，即.思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？二.课堂学习与研讨例1.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.例2.求函数在点处的切线的斜率，并写出切线方程动动手: 1求在点处的导数.2求双曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.【当堂检测】1已知曲线上一点，则点处的切线斜率为（ ）A. B. C. D. 2已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_38.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则=.【课堂小结】1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方