江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理.docx

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.答案32.(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.解析如图，设m，n，则在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan 7，得cos ，又由余弦定理知即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，当n时，m1050(不合题意，舍去)，当n时，m105，故mn3.答案33.(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_.解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab，ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab，babab，则(a2b2)ab4.答案4.(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f (x)ab，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)ab，3sin xcos x，3sin xcos x0，即sin0.0x，x，x，x.(2)f (x)ab3cos xsin x2sin.x0，x，sin1，2f (x)3，当x，即x0时，f (x)取得最大值3；当x，即x时，f (x)取得最小值2.考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是().(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G.热点一平面向量的有关运算命题角度1平面向量的线性运算【例11】 (1)(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.解析(1)32cos 603，则()223322254，解得.(2)法一如图，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，21，解得2.答案(1)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.命题角度2平面向量的坐标运算【例12】 (1)(2017江苏冲刺卷)已知向量a(2，1)，b(0，1).若(ab)a，则实数_.(2)(2016全国卷改编)已知向量，则ABC_.解析(1)由题意可得ab(2，1)，则(ab)a(2，1)(2，1)50，解得5.(2)|1，|1，cosABC，则ABC30.答案(1)5(2)30探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.命题角度3平面向量的数量积【例13】 (1)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)(2017佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.解析(1)|a2b|2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，|a2b|2.(2)法一在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，0，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.答案(1)2(2)探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2017全国卷改编)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是_.(2)(2017南京、盐城模拟)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_.解析(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y).所以()(x，y)(2x，2y)2x22.当x0，y时，()取得最小值为.(2)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB，AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，则B(，0)，E(，1).设F(x，2)，则(x，2)，又(，0)，x，x1，F(1，2)，.法二|cos BAF，|，|cos BAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.答案(1)(2)热点二平面向量与三角的交汇【例2】 (2017南京模拟)已知向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，t为实数.(1)若ab，求t的值；(2)若t1，且ab1，求tan的值.解(1)因为向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，且ab，所以cos sin ，tsin2.由cos sin ，得(cos sin )2，即12sin cos ，从而2sin cos .所以(cos sin )212sin cos .因为，所以cos sin ，所以sin ，所以tsin2.(2)因为t1，且ab1，所以4sin cos sin21，即4sin cos cos2.因为，所以cos 0，从而tan ，所以tan 2，所以tan.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2017苏北四市模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即sin2Bcos2B2sin2B20，即sin2B，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sin B，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为，所以SABCacsin B，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、填空题1.(2017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.解析cos 60，解之得.答案2.(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析()，x，y.答案3.已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.解析由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90.答案904.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得()，即()，根据平行四边形法则，设ABC中BC边的中点为D，知2，所以点P的轨迹必过ABC的重心.故填重心.答案重心5.(2017苏、锡、常、镇调研)在ABC中，已知AB1，AC2，A60，若点P满足，且1，则实数的值为_.解析由AB1，AC2，A60，得BC2AB2AC22ABACcos A3，即BC.又AC2AB2BC2，所以B.以点A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(1，).由，得P(1，)，则(，)(，)23(1)1，即42310，解得或1.答案或16.(2014江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.解析由题图可得，.222，故有22564，解得22.答案227.ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号).a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析24|a|24，|a|1，故正确；(2ab)2ab，又ABC为等边三角形，|b|2，故错误；b，ab()22cos 602210，故错误；b，故正确；()()22440，(4ab)，故正确.答案8.如图，在ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则_.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以(2，1)(0，3)3.法二()22()23.答案3二、解答题9.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f (x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f (x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f (x)2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f (x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f (x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f (x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾.综上所述.10.(2017镇江模拟)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角的值.解(1)由mn，得2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，又，则cos ，故sin ，则cos 2cos2sin2.(2)由，得.因为sin()，所以cos()，则sin sin()sin cos()cos sin().因为，所以.11.(2017南师附中调研)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与