2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第8章§.ppt

8.5 垂直关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.5 垂 直 关 系 双基研习面对高考 1直线线与平面垂直 (1)定义义：如果一条直线线和一个平面内的_一 条直线线都垂直，那么称这这条直线线和这这个平面垂直 双基研习面对高考 基础梳理基础梳理 任何 (2)定理： 相交直线线 abA 垂直于一 个平面 b 2.平面与平面垂直 (1)定义义：两个平面相交，如果所成的二面角 是_，就说这说这 两个平面互相垂直 (2)定理： 直二面角 垂线线 交线线 AB ABMN 思考感悟 能否将直线与平面垂直定义中的“任何 一条直线”改为“无数条直线”？能否将直线与平面 垂直判定定理中的“相交”去掉？ 提示：不能，若平面内的直线互相平行，这些直 线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂 直 3二面角 二面角的定义义 从一条直线线出发发的 _所组组成的图图形叫 作二面角 二面角的度量 二面角的 平面角 以二面角的棱上任一点为为端点，在 两个半平面内分别别作_棱 的两条射线线，这这两条射线线所成的 角叫作二面角的平面角. 两个半平面 垂直于 课前热身课前热身 1设设a、b是两条直线线，、是两个平面，则则 ab的一个充分条件是( ) Aa，b， Ba，b， Ca ，b， Da ，b， 答案：C 2.(教材习题习题 改编编)如图图所示，在RtABC中， B90，点P为为ABC所在平面外一点， PA平面ABC，则则四面体P ABC中有( ) 个直角三角形 A1 B2 C3 D4 答案：D 3已知，表示两个不同的平面，m为为平面 内的一条直线线，则则“m”是“”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 4(2011年合肥调研)m，n是空间两条不同直线 ，是两个不同平面，下面有四个命题： m，n，mn； mn，mn； mn，mn； m，mn，n. 其中，为真命题的有_(写出所有真命题 的编号) 答案： 5如图所示，已知矩形ABCD中，AB1，BC a，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q 满足PQQD，则a的值等于_ 答案：2 考点探究挑战高考 考点突破考点突破 垂直关系的基本应用 此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答 时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定 时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进 行筛选 例例1 1 (2010年高考浙江卷)设l，m是两条不同的 直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A若lm，m ，则l B若l，lm，则m C若l，m ，则lm D若l，m，则lm 【思路点拨拨】 根据线线面垂直、平行的判定和性 质质判断 【解析】 根据定理：两条平行线线中的一条垂直 于一个平面，另一条也垂直于这这个平面知，B正 确 【答案】 B 【名师师点评评】 一要注意定理条件都具备时备时 才能 得出结论结论 ，二要会寻寻找恰当的特殊模型进进行筛筛 选选 变变式训练训练 1 (2009年高考浙江卷)设设，是两 个不同的平面，l是一条直线线，以下命题题正确的 是( ) A若l，则则l B若l，则则l C若l，则则l D若l，则则l 解析：选选C.对对于A、B、D均可能出现现l，故 选选C. 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理 (2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab， ab) (3)利用面面平行的性质(a，a) (4)利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一 直线，常用来证明线线垂直 例例2 2 【思路点拨拨】利用线面垂直、线线垂直的判定 与性质可证 【证明】 连接FG.因为EFCG，EF CG1，且CE1，CEAC， 所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以 BDAC， 又因为平面ACEF平面ABCD， 且平面ACEF平面ABCDAC， 所以BD平面ACEF. 又CF 平面ACEF， 所以CFBD. 又BDEGG， 所以CF平面BDE. 【名师师点评评】 证证明空间线间线 面位置关系的基本 思想是转转化与化归归，根据线线面平行、垂直关系 的判定和性质质，进进行相互转转化，如本题题是证证明 线线面垂直，要通过证过证 明线线线线 垂直达到证证明线线面 垂直的目的解决这类问题时这类问题时 要注意推理严谨严谨 ，使用定理时时找足条件，书书写规规范等 平面与平面垂直的判定和性质 要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证 明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后 进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂 直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化关 系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性 质定理，将其转化为线面垂直进行应用 例例3 3 【思路点拨拨】 (1)利用面面垂直的判定定 理 (2) 【误区警示】 在(2)中，误认为PD为四棱锥的 高，导致体积求错，产生这一错误的原因是空 间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件 出发 二面角的求法 有许多涉及求角与距离的问题可直接利用 来研究，并 在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方 法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二 面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈 现法等等 例例4 4 【思路点拨拨】 (1)由AFED可得CED为为异 面直线线CE与AF所成角由RtCED中的边边角 关系可求其大小；(2)利用线线面垂直的判定定理 可证证；(3)利用“垂线线法”，即在平面ABCD内 作AD的垂线线，过过垂足作棱EF的垂线线，连结连结 可 得二面角的平面角 【规规律小结结】 确定二面角平面角的方法： (1)定义义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个 半平面内分别别作垂直于棱的射线线 (2)垂面法：过过棱上一点作与棱垂直的平面，该该平 面与二面角的两个半平面产产生交线线，这这两条交线线 所成的角，即为为二面角的平面角 (3)垂线线法：过过二面角的一个面内一点作另一个平 面的垂线线，过过垂足作棱的垂线线，利用线线面垂直可 找到二面角的平面角或其补补角，此种方法通用于求 二面角的所有题题目，具体步骤为骤为 ：一找，二证证， 三求 方法感悟方法感悟 方法技巧 1在解决直线线与平面垂直问题过问题过 程中，要注意直 线线与平面垂直的定义义，判定定理和性质质定理的联联 合交替使用，即注意线线线线 垂直和线线面垂直的互相 转转化(如例2) 2面面垂直的性质质定理是作辅辅助线线的一个重要依 据我们们要作一个平面的一条垂线线，通常是先找 这这个平面的一个垂面，在这这个垂面中，作交线线的 垂线线即可(如例3) 3(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的 平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平 面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相 垂直的 (2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用 垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二 面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的 平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由 三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角 的平面角，对于这种方法应引起足够的重视 (3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计 算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几 何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直 的性质定理也是最重要的作图理论依据(如例 3) 失误防范 1直线和平面垂直 (1)判定定理可以简单地记为“线线垂直线面垂直 ”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和 “都垂直”证题时常常是定义和判定定理反复使 用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化 (2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线 平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现 平行与垂直的相互转化，即线线线面线 线线面 2垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一 般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线 ，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线 线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键 考情分析考情分析 考向瞭望把脉高考 垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点 是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质 ，以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、 填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“ 小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角 、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述 知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理 能力以及分析问题、解决问题的能力 预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、 线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的 空间想象能力以及逻辑推理能力 真题透析真题透析 例例 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.4分 (2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以 DMCE.连接MP，则MPCE.又MPDMM ，故CE平面AMD.而CE 平面CDE， 所以平面AMD平面CDE.7分 (3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.因为CEDE ，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD， 故EQP为二面角A-CD-E的平面角.10分 【名师师点评评】(1)本题的图形既可以看做是从长方体 中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和 一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还 是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可 以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材 上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题 (2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是“割补 ”，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用，在解 决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到 一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由 两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所 有要解决的问题几乎都是明显的结论 (3)证明面面垂直常用的2种方法 一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来 证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一 条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线， 再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面 的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面 角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角， 再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种 证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但 这也是立体几何中证明问题的一种重要方法 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，BCA90，AC BC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点