《大学文科数学》PPT课件.ppt

第一章 微积分 1.6 定积分 上页 下页 返回 结束 主要教学内容： 定积分的概念 定积分的基本性质 微积分基本定理 定积分的计算 *无穷区间上的反常积分（不讲） 2.6 定积分 上页 下页 返回 结束 2.6.1 定积分概念 1.几个典型的定积分问题 2. 定积分的定义 3. 定积分的几何意义 2.6 定积分 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 1.几个典型的定积分问题 （1）曲边梯形的面积 曲边梯形是由连续曲线 及 轴， 以及两直线 所围成，求其面积 . 矩形面积 三角形面积 多边形面积 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 (a) 基本思想：用矩形的面积积近似代替曲边边梯形的面积积 。 (b) 在a, b中插入7个分点，曲边边梯形分为为8个小曲边边梯 形，每个小曲边边梯形面积积都近似用矩形面积积代替。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 曲边梯形的面积 所有窄条矩形面积之和 矩形估计方法 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 a.分割: 在区间 中任意插入 个 分点 将大曲边梯形分割成 个窄条曲边 梯形 ,则对应的窄曲边梯形的面积 设 在 上连续, 且 . b.取近似: 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 c.作和: d.求极限: 记 ,则 注：09年版教材上，极限过程是：所有小区间的长度趋于0 . 这两种叙述是等价的。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 曲边梯形的面积 = 所有窄条矩形面积之和的极限 矩形估计方法 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 a.分割: 在区间 中任意插入 个分点 b.取近似: c.作和: d.求极限: 记 , 则 某物体作变速直线运动, 设速度 求这段时间内 物体经过的路程 。 记 (2) 变速直线运动的路程 ，则对应该时段上的路程 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 上述解决问题的方法有何共性？ （1）解决问题的步骤相同 （2）所求量的结构式相同 分割，取近似作和，求极限 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 此时称 在 上可积(黎曼可积). 2. 定积分的定义 , 作和数 定义 设函数 在 上有定义，在 中任意插入 个分点 记任意取 记，若只要当 时和数 总趋于确定 的极限 , 则称极限值 为函数 在区间 上的定积 分（黎曼积分），记作 , 即 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 (黎曼和) 积分和 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 （1）定积分定义中的和称为黎曼和，其中 （2）从定积分的定义可知，定积分的计算结果是一个数， 是任意的，因此极限过程不依赖于 与 的选取，而且 这是与不定积分的最大的区别，于是定积分仅与被积函 数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关 ,即 十分复杂. 注： 由于定积分是就闭区间而言的，所以定积分描述的是函数的整体性质。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 （3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的 （4） 数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。 （5）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的 有效方法，牛顿莱布尼兹（NewtonLeibniz)发现 了微积分基本定理。 “可积函数”是同一回事 。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 因此,初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积, 但也存在 不可积的非初等函数. 可积的必要条件和充分条件: 定理2.6.1 若函数 在 上可积, 则 在 上有界（必）; 若函数 在 上连续,则 在 上必可积 （充）. 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 3. 定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 2.6.2 定积分的基本性质 定积分的基本性质：设函数 均为可积函数，则有 性质1 即定积分与积分变量的选取无关。 性质2 从而推出 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 性质3（线性性） 性质5 特别地，有 性质4 是常数） 当ba时，积分即为区间长度。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 性质6（积分区间的可加性) 说明: (1) 当 的相对位置任意时， 上式仍成立 . 例如 时, 有 故 (2) 可推广到有多个分点的情形 . 0 a c b x y 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 2.6.3 微积分基本定理 1. 变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系 2. 微积分基本定理 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 设变速直线运动的速度 , 则物体在时段 上经过 的路程 另一方面, 这段路程又等于路程函数 在时段 上的 增量, 即 1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系 已知变速直线运动物体的速度函数 ，求该物体从时刻 到时刻 经过的路程 。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 故有 即 是 的一个原函数 . 又知路程函数与速度函数之间有关系: 即我们的问题通过不定积分来解决，但不定积分的结果是 无穷多个原函数，选择哪一个？因为 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 这表明差数S(b)-S(a)可用任何一个原函数S(t)+C 来计算， 都会得到同样的结果。 对于一般情形，上述过程正是微积分基本定理。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 2.微积分基本定理 定理2.6.2（微积分基本定理）设 是闭区间 上连 续, 且 F(x) 是 在 上的一个原函数, 则 注:（1）上述公式是由Newton和Leibniz同时发现的， 因此称为NewtonLeibniz公式。 （2）该公式对 的情形同样成立 . 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 （3 ） 定积分计算 求原函数 微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式 （4）使用NewtonLeibniz公式时要注意验证定理的条件, 否则有可能导致错误的结果。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 关于微积分基本定理: 1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限， 而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算; 3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了; 4.为什么称之为微积分基本定理? 2.问题的转化:把定积分的计算问题转化为不定积分的计算; 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 l牛顿（Isaac Newton，16431727）英国伟大的物理学 家、天文学家和数学家，经典力学体系的奠基人。恩格 斯说：“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学， 由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二 项式定理和无限理论而创立了科学的数学，由于认识了 力学的本性而创立了科学的力学。”的确，牛顿在自然科 学领域里作了奠基性的贡献，堪称科学巨匠。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 l莱布尼茨，GW(Leibniz ，Gottfried ，Wilhelm) 1646年7月1日生于德国莱比锡；1716年11月14日卒于德 国汉诺威他是17、18世纪之交德国最重要的数学家、 物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿 同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富 人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼 兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的教 师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在 数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版 的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年 前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我 已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似 的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越 的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉 述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措 词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自 独立地创建微积分的。 上页 下页 返回 结束 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更 多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。而莱布尼兹则从几 何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法 则，其严密的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧性 与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好数学符号是成 功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如， 引入dx 表示x的微分，表示积分， 表示n阶微分等等。这 些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发 表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分 学的思路，说明了自己成就的独立性。 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例1. 计算下列定积分 解： 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例2. 计算定积分 解：原式 , 求 对区间的可加性, 有 例3. 已知 解：因为 是分段函数，所以由定积分 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 故由分段可加性, 有 所求积分值为图中左、右两个 三角形的面积之和, 故 例4. 计算 解法一: 因绝对值函数是分段函数, 解法二: 由定积分的几何意义, 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 2.6.4 定积分的计算 不定积分计算 微积分基本定理 定积分计算 1. 定积分的换元法 2. 定积分的分部积分法 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 则 1. 定积分换元法 不定积分换元法 定理2.6.3 设 满足: (2) 在区间 上有连续导函数 ； (1) (3) 当t在区间 上由 变到 时， 单调地从a变到b 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 证: 设 是 的一个原函数, 则 另一方面, 是 的一个原函数, 故 定积分换元法: 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 说明: (2) 注意换元必换限，且 (3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或凑微分 凑微分时（只要没换元）不换限 同时被积表达式 (1) 当 时，换元公式仍成立 . 定积分换元法: 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 定积分换元法与不定积分换元法的相同与不同之处： 相同的地方： 换元 有两种换元法：凑微分法和第二换元法。 分换元后，积分上、下限要做相应的变化, 不用把原变量换回。 的选择与不定积分相同， 不相同的地方：不定积分换元积分后要把原变量换回；而定积 找到原函数后直接带入新的上、下限即可求值, 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例5. 计算 解: 令 则 当 时, 当 时, 于是 原式 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例6. 计算 解：法一 法二 注意: 凑微分不换限! 例7. 计算 解:原式 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例8. 计算 解: 令 原式 则 （利用倍角公式降幂 ） 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例9. 计算 原式 解: 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例10. 计算 解:原式 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 定理2.6.4 设 是a,b上的连续可导函数，则 即 称为定积分分部积分公式. 不定积分分部积分公式： 或 2. 定积分分部积分法 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 选取 及 （或 ）的原则与不定积分类似 .说明: u及 确定的原则： 1. 比较容易找到原函数v; 2. 右边的积分比左边的积分“简单”。 经验：按 “指、三、幂、对、反” 的顺序选择 v . 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例11. 计算 解: 设 则 原式 上页 下页 返回 结束 2.6 定积分 例1