2012-5-4-6.2-正规,正则,T3,T4空间.ppt

定义 6.1.1 X 是一个拓扑 空间, 如果对于X中任意两个不 同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另 一点,则称拓扑空 间X 是一个T0空间. xyU V T0 空 间 定理6.1.1 拓扑空间X 是一个T0空间当且仅当若 xy,则 定义6.1.2 X 是一个拓扑空间 ,若X中任意两个不相同的点都有 一个开邻域不包含另一点，则称 拓扑空间X是一个T1空间. x y U V T1 空 间 定理6.1.2 设X是一个拓扑空 间，则下列条件等价： （1）X是一个T1空间； （2）X中每一个单点集都是闭集; （3）X中每一个有限子集都是闭集. Next th 定理6.1.3 设X是一个T1空间 ,则点 是X的子集A的一个凝 聚点当且仅当x的每一个邻域U中 都含有A中的无限多个点， 即 是一个无限集. 定理6.1.4 设X是一个T1空间, 则X中的一个由有限个点构成的序 列xi收敛于点x当且仅当存在N0 使得xi=x对于任意iN成立. 定义6.1.3 X 是一个拓扑空 间,若X中任意两个不相同的点都 各自有一个开邻域使得这两个开 邻域互不相交，则称X是一个 Hausdorff空间，或T2空间. x y U V T2 空 间 例6.1.1 非Hausdorff的T1空 间的例子. 定理6.1.5 Hausdorff空间中的任 何一个收敛序列只有一个极限点. 6.2 正则，正规，T3 ,T4空间 定义6.2.1 设X是一个拓扑空间， . 若 ，则称U是 集合A的一个邻域. 特别的，若U还是一个开集（闭集）， 则称U是A的一个开（闭）邻域. 换言之 继续 也可以换一个说法 若存在一个开集V满足: 则称U是A的一个邻域. 定义6.2.2 设X是一个拓扑空 间，若X中的任何一个点x和任何 一 个不包含x的闭集A都各有一个 开邻域U,V，使 得 ， 则称X是一个 . x A U V 定理6.2.1 是一个拓扑空间, 则 是一个正则空间当且仅当对于 任 何点 和 的任意一个邻 域U,存在一个 的开邻域V使得: x U V 充分性 对任意的xX和不包含x 的任意闭集A,则 是x的一个开邻域 , 故有x的开邻域U 使得 , 令 ,则有 ,所以V是A 的一个开邻域,并且有 , 这说明X是一个正则空间. 图 继续 xA U 定义6.2.3 设X是一个拓扑空间, 若X中任意两个互不相交的闭集A、B 都各有一个开邻域U、V，满足 则称拓扑空间X 是一个正规空间. A B U V 定理6.2.2 设X是一个拓扑空 间.则X是一个正规空间当且仅当 对于任何一个闭集 和A的 任何一个开邻域U，存在A的一个 开邻域V，使得 . 正则且正规的空间 但非T0,T1,T2空间的例子 设X1,2,3 , T T2空间但非正则、 非正规空间的例子 记 T 为实数空间的通常拓扑 设 , 则T1是R的一个拓扑 继续 继续 (R,T1)是一个Hausdorff空间; (R,T1)不是一个正则空间; (R,T1)不是一个正规空间; 继续 证明 (1) K是T1中的闭集; (2) 0和K在T1中没有互不相交的 开邻域,因而(R,T1)不是正则空间; (3) 0也是T1中的闭集,由(2)知(R,T1) 也不是正规空间 返回 易知它是正规空间； 但它不是正则空间，这是因为在 拓扑空间中1和2，3，没有它们 各自的开邻域互不相交. 定义6.2.4 正则的T1空间称为T3 空间,正规的T1空间称为T4空间. 注: 定理6.2.3 每一个度量空间都是 T4空间. 证明:易知度量空间是Hausdorff 空间，因而是