高中数学三角函数1周期现象2角的概念的推广教学案北师大版.docx

12 周期现象 角的概念的推广核心必知1周期现象在日常生活、生产实践中存在着大量的周期性变化的现象，如观察钱塘江潮的图片可以看到：波浪每隔一段时间会重复出现，这种现象就称为周期现象2角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形3角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：(1)正角：按逆时针方向旋转所形成的角；(2)负角：按顺时针方向旋转所形成的角；(3)零角：如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角，记作04象限角为了研究问题方便，常在直角坐标系内讨论角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角5终边相同的角一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和问题思考1“东升西落照苍穹，影短影长角不同”是周期现象吗？提示：这里说的自然现象是指：太阳东升西落，昼夜循环因此是周期现象2当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的虽然始边与终边确定了，但旋转的方向和旋转的大小并没有确定，所以角也就不能确定讲一讲1下列说法：相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同；|是锐角|090；小于90的角不一定是锐角；锐角都是第一象限的角其中，正确的说法是_(填上所有正确的序号)尝试解答选项正误原因终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反之也成立是锐角，即090，故|090|090负角和零角都小于90，但它们都不是锐角锐角满足0120，所以也是错误的；由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，因此是正确的；由于90、180都不是象限角，因此是错误的答案：讲一讲2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.尝试解答(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150终边相同的角是210，而210的终边在第三象限，所以150是第三象限角；(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650终边相同的角是290，而290的终边在第四象限，所以650是第四象限角；(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015终边相同的角是12945，而12945的终边在第二象限，所以95015是第二象限角终边相同的角相差360的整数倍判定一个角在第几象限，只要在0360范围内找与它终边相同的角，即把这个角写成k360(0360)(kZ)的形式，判断角是第几象限角即可练一练2已知1 910.(1)把写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解：(1)1 9106360250，其中250，从而250(6)360，它是第三象限的角(2)令250k360(kZ)，取k1，2就得到满足7200的角，即250360110，250720470.所以为110，470.讲一讲3(1)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合；(2)写出终边落在x轴上的角的集合尝试解答(1)根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360的整数倍即可所以，第一象限角的集合：S|k360，090，kZ，或S|k360k36090，kZ第二象限角的集合：S|k360，90180，kZ，或S|k36090k360180，kZ(2)在0360范围内，终边在x轴上的角有两个，即0与180，因此，所有与0角终边相同的角构成集合S1|k360，kZ，而所有与180角终边相同的角构成集合S2|k360180，kZ，于是终边在x轴上的角的集合SS1S2|k360，kZ|k360180，kZ|k180，kZ终边落在坐标轴上的角不是象限角，称为象限界角一般地，当角的终边在某具体位置时，先找到终边在此位置的一个角，再用k360表示后写成集合；当终边在某个范围时，先写出终边在边界位置的角，再用不等式表示此范围内的角，最后用集合表示练一练3写出下面阴影部分角的集合解：由题意S1|45k36045k360，kZ，S2|135k360225k360，kZ，SS1S2 |452k180452k180，kZ|45(2k1)18045(2k1)180，kZ |n18045n18045，nZ故阴影部分角的集合为|n18045n18045，nZ如果角是第二象限的角，那么角的终边落在第几象限？解法一：角为第二象限的角，90k360180k360，kZ.30k12060k120，kZ.当k3n时，有30n36060n360，则角是第一象限的角；当k3n1时，有150n360180n360，则角是第二象限的角；当k3n2时，有270n360300n360，则角是第四象限的角综上可得，角的终边可能落在第一、二、四象限法二：如图，在直角坐标系内，先将各象限分成3等份，再从x轴正半轴起，依次标上1，2，3，4.角是第二象限的角，标号为2的区域所在的象限有第一、二、四象限，角的终边可能落在第一、二、四象限1下列变化是周期现象的是()A地球自转引起的昼夜交替变化B某同学每天上学的时间C某交通路口每小时通过的车辆数D某同学每天打电话的时间解析：选A由周期现象的特点即周期性变化，可知A正确2与265终边相同的角为()A95 B95C85 D85解析：选A26536095，故265与95终边相同3给出下列四个命题：15是第四象限角；185是第三象限角；475是第二象限角；350是第一象限角，其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选D显然正确；又475360115，35036010，故也正确4已知角、的终边相同，则的终边在_解析：、的终边相同，k360(kZ)k360(kZ)的终边落在x轴的非负半轴上答案： x轴的非负半轴上5已知点P(0，1)在角的终边上，则所有角组成的集合S_解析：点P(0，1)在y轴的非正半轴上，在0360内满足条件的角为270，所有角的集合为|270k360，kZ答案： |270k360，kZ6如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角解：在题图(1)中，0360范围内的终边落在指定区域的角满足45210，故满足条件的角的集合为|45k360210k360，kZ在题图(2)中，0360范围内的终边落在指定区域的角满足045或315360，转化为180180范围内，终边落在指定区域的角满足4545，故满足条件的角的集合为|45k 36045k360，kZ一、选择题1435角的终边所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D设与435角终边相同的角为，则435k360，kZ，当k1时，75，75角为第四象限角，435角的终边在第四象限2若是第二象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选A法一：取特值120，则18012060，是第一象限角法二：180180，是第二象限角，而与关于x轴对称，故是第三象限角，再逆时针旋转180，得180，位于第一象限，如下图3与457角终边相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ解析：选C由于4571360972360263，故与457角终边相同的角的集合是.4已知是第四象限角，则是()A第一或第三象限角B第二或第三象限角C第一或第四象限角D第二或第四象限角解析：选D如下图，带4的标号在第二、四象限，故是第二或第四象限角二、填空题5与2 011终边相同的最小正角是_，绝对值最小的角是_解析：与2 011终边相同的角为2 011k360，kZ.当k5时，211为最小正角；当k6时，149为绝对值最小的角答案：2111496设集合M|36k90，kZ，N|180180，则MN_解析：对于M，当k1时，126；当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144.故MN.答案：7若角与的终边互相垂直，则_解析：角与的终边互相垂直，角与90或90的终边相同即90k360或90k360，kZ.90k360，kZ.答案：90k360，kZ8终边落在阴影部分的角的集合是_解析：在180180范围内，阴影部分表示45120，故所示的角的集合为|45k360120k360，kZ答案：三、解答题9已知角的终边与60角的终边相同，写出满足条件的角的集合S，并求出这个集合中在360360范围内的角解：与60角的终边相同的角的集合为S|60k360，kZ，当k0时，60；当k1时，60360300.所以，集合S在360360范围内的角为60，300.10. 如图，点A在半径为1且